Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 (kèm đáp án)
Trang 1BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
x
x
3
1 0
) ( '
x
x x
Ta có : f(4)13; f(3)20; f(1)12; f(3) 20 Vậy: max ( ) 20 3
3
;
3
;
b.Bạn đọc tự làm
c Xét h/s : f(x)2sinxsin2x, trên đoạn
2
3
;
0 Đạo hàm : f'(x)2cosx2cos2x f'(x)0
1 cos
5 , 0 cos
2 3 0
0 1 cos cos
x x
x x
x
x Z k k x k x k x x
3 x 0 x
; 2 3 2 3 2 0
2
3 3 3
; 0 ) 0
2
3 2
3
3 3 ) ( min
2
3
; 0
x f
3
2
3
; 0
x f
x
x
Đạo hàm :
x x
x e
x
x e x x
ln
2 ln
ln
2 ) (
Vậy : min 3 ( ) 4
;
x f
e
3
;
x f
e
e e x
)
2
1
e e x
) (
2
1
2 ln
; 2
1 ln
x f
2
1
2 ln
; 2
1 ln
x f
ln2
4 )
f TXĐ : D = [-2;2]
4 2
2 1 ) ( '
x
x x
Lại có : f(-2) = -2 ; f 2 2 2 ; f(2) = 2
2
;
2
;
g Xét hàm số :
1
1 )
(
2
x
x x
f , trên đoạn [-1;2] TXĐ : D = [-1;2]
Đạo hàm :
1 )
1 (
1 1
1
) 1 ( 1 1
1 2
) 1 ( 2 1 )
( '
2 2
2 2 2
2 2 2
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x
Lại có : f(-1) = 0 ; f(1) =
5
5 3 ) (
;
2
;
2
;
1
3
3
2 )
x
3
2 lim ) (
x
1
3 0
) ( '
x
x x
Bảng biến thiên :
Trang 2BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
x -∞ 1 3 +∞
f'(x )
+ 0 - 0 +
f(x)
3
8 +∞
-∞ 0 Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ =
3
8 H/số đạt cực tiểu tại x = 3 ; yCT = 0 Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số
3
2 )
Có đồ thị h/số (C) TXĐ : D = R Đạo hàm : f'(x) = 2x 2 - 8x + 6
Hoành độ tiếp điểm của ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - 6 là nghiệm của phương trình : 2x2 - 8x +6 = 6
0
4 0
8
2 2
x
x x
Với x = 0, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) <=> y = 6x
3
2 0 1 6
4 3
2
3
5 3
8 1
3
2 6 4 3
2 9
3
8 3
2
k hay 0 < k < 4 thì pt x3 6x9xk có 3
0
4 0
3 2 3
8 3 2
k
k k
k
0
4 0
3 2 3
8 3 2
k
k k
k
thì pt x3 6x9xk có 1 nghiệm duy nhất
Bài 3 : 1 Khi m = 1, h/s trở thành :
2
1 2
3 )
2
1 2
Giả sử A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị của h/số
Suy ra : x1 , x2 là hai nghiệm của pt : 3x2 - 3mx = 0
m x
2
1
;
2
; 3
m m
4
; 2
3
m m
là trung điểm của AB Và n( 1 ; 1 ) là vtcp cuả đ/thẳng : y = x
4 2 0 2
3
m m m m x t
đ
M
n
AB
3 Tương tự ý 4-Câu 2 Bạn đọc tự làm
Bài 4 : 1 (ĐHKTQD-2001) Xét h/s :
3
1 )
(
x
x x f
3
1 lim ) (
x x
f
( ) ; lim ( )
lim
3
x
x x
) 3 (
4 )
(
3
1 )
(
x
x x f
Trang 3BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
Bảng b/thiên
Bạn đọc tự vẽ ĐTHS
2.Pttt của (C) tại x0 = 1 có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + 1 = -1(x - 1) y x
3.Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 là ng của pt : y' 1 = -1
Từ đó tìm ra các giá trị của x ta sẽ viết được các pttt cần tìm ĐS :có hai pttt thảo mãn là ( 1) : y x 8 ; 2 : y x
4 Pttt đi qua điểm A(5;3) có dạng ( ): y = k(x - 5) + 3 Đ/thẳng ( ) tiếp xúc với ĐTHS (C) khi hệ sau có nghiệm :
1 1 2 1 2 1 2 3 2
3
4
3 2 4 3
4
1
3
4
3
)
5
(
3
1
2 2
2
k k k
k x k x
k x x
k
x
x
x
x
.Thay vào ta đc (): y = -x + 8
) 3 (
4 )
a a y
4 3
1 )
3 (
4 :
)
(
a
a a
a x a
0
3 )
3
(
4
3
)
3
(
4
2
2
a a
a
a
a
y
0
; 4
3 6
a
2
2
) 3 (
3 6
; 0
a
a a
.
2
2 2
2
2 2
3
3 6 8
1 )
3 (
3 6 4
3 6 2
1
2
1
a
a a a
a a a a y
x
3 6 8
1 3
3 6 8
2
2 2
a
a a a
a a
Giải ra các giá trị của a thay vào ( ) ta được các pttt
4
1 4
1 :
3
1 9
4 :
x
x
0 ,
0 ,
a a a a a
Phần từ trục Ox trở lên của ĐTHS
3
1
x
x
3
1
x
x
Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C)
2 y'' = 12x2 - 8 ; y'' = 0
3
6 0
8
3
5 9
6 16
3 ĐS:Với -4<k<0,pt có 4 nghiệm.Với k = -4 và k>0,pt có 2 nghiệm.Với k = 0,pt có 3 nghiệm.Với k < -4,pt vô nghiệm.
Suy ra pt : x2 - (m+1) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 Để thoả mãn điều này thì m+1 > 0 hay m > -1
) ( , 2 3 3 1 3 0 3 5 ) 3 (
3 0 2 3 5
loai
x
x x
x x
.
b Ta thấy : 4x > 0 ; 6x > 0 ; 9x > 0.Nên: 3.4x + 8.6x + 4.9x > 0,x R.Suy ra pt đã cho vô nghiệm
Ta có thể giải bằng cách chia cả hai vế của pt đã cho cho 22x,sau đó giải tiếp.
1 1 0 2 log 2 ) 2 ( log 1 0 2 2 log ).
( log 1 0 1
log
).
2
(
2
x x x x x x x
x
x x x
d.ĐS : x = 5 Bạn đọc tự giải
2 2 6 4 1 6 log 5 log 2 2 6 4 log 6 log 2 2 2 log ) 6 4 ( log 6 log 2 ) 2 2
(
log
)
6
4
(
log
4
5 5 4
5 5 2 5
5
x x x
x x x
x
x x
x
Từ đó giải tiếp ta được nghiệm là x = 2.
x -∞ 3 +∞
f(x)
1
-∞
+∞
1
Trang 4BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
10 1 lg 4 lg 0 0 lg 5 lg
x x x
4
1 0 2 log 2
1 2 3 16 4 2 log 2 8 log
2 1
3 4
BPT trên nghiệm đúng với mọi x
b Bạn đọc tự giải
3 2 1 0 2 2 3
2 3 0 2 log )2 3 ( log
2 3 0 1 )2 3 ( log
2 3 0 1 )2
3
(
2
2 2 2 2
2 2
2
1
x
x x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
x x x
x x x
x x x
2 1 1 2 1 ) 2 ( log 1 1 log 2 1 ) 2 ( log ) 1 ( log 2 1 ) 2 (
log
)
1
(
log
2 2 2 2 2
Giải tiếp hệ trên ta được kết quả ĐS :
2
5 1 2
5
3
3
1
1
v u v u
x
x
v u v v u v v v u v uv v
9 9 0 10 9 9 10 9
10 2
.
2 0 9 log 3 log 3 log 3 log 9 3 1 3
3 1 3 1 1 1
x x x
x x x x
2 5 3 1 0
1 2 5 3 3 0
3 3
1 3
0 3
1 ) 3
(
log
2 2
x x
x x x
x x x x x x
2
3 3
2 )
5 3 2
x x
x dx x
x
2 ln 8 4 3
)
2
8 4 2 (
2
2 3 2
3
2
1 )
cos 1 ( 2
1 2 sin 2 2
1 2
x
dx dx
x dx
x
cos 2 sin 3 cos
2 sin
t
dt dx e
e
x
x
ln
3
2 1 3 1
t x
dx
1 3 3
2 3
2 3
2
3
2
1 1
x
x C x
x dx x
x x
x
dx x
x
dx
1
2 ln 1
ln 2 ln 1
1 2
1 )
1 )(
2 ( 2 3
Bài 9 :
Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC) Do S.ABC là hình chóp đều nên O
Cũng là trọng tâm, trực tâm của ABC đều
Gọi H là trung điểm của AB Dẽ dàng c/minh : SH AB S
SA
AH
2
2 2
2 45
Do Tam giác ABC đều cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH =
2
3
a
(đ.v.đ.d)
Và CO =
3
3 2
3 3
2 3
6
6 3
2
2 2
a
A C
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là :
4 3 2
a
SABC (đ.v.d.t) H O
Do đó :
24
2 4
3 6
6 3
1
3
.
a a
a S
SO
A C Bài 10 : Ta thấy hình chiếu của A' trên mp(ABC) là điểm A
Suy ra: hình chiếu của cạnh A'B trên mp(ABC) là AB A'B;mp(ABC)A'BA600
Xét A' BA vuông tại A và có A'BA600, nên : A'A = AB.tan A' BA = a.tan 600
hay A'A = a 3(đ.v.đ.d)
Mặt khác : ABC là tam giác vuông cân tại B nên diện tích là : S ABC BA.BC
2
1
Trang 5BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013
2
3
2
1 3
'
3 '
'
'
.
a BC BA a
S A A
Bài 11:
a Bạn đọc tự làm ĐS :
3
2 3
a
V S ABCD (đ.v.t.t) S
SO cắt B'D' tại H Kéo dài AH cắt SC tại C'
Ta có : BC AB và BCSA nên BCmp(SAB) BC AB' C' D'
Tương tự, ta có :AD ' SC Suy ra : SC mp(AB'D') (đ.p.c.m)
c Có AC = 2a 2 a 2= SA Suy ra SAC vuông cân tại A B'
AC
SA = a A D
ABC S
C AB S
2
' '
'
.
' '
ADC S
C AD S
2
' '
'
.
' '
3
2 2
2 '
'
2 2
2 2
2
a a
a SB
SA SB
SB SB
SA SA
SB SAB
Tương tự, ta có:
3
2 '
SD
SD
Do ABC ADC V S.ABC V S.ADC 0,5.V S.ABCD
3
2 3
2 2
1
5 ,
' ' '
' '
' '
ABCD S
D C AB S ADC
S
C AD S ABC S
C AB S
V
V V
V V
V
9
2 6
2 3
' ' '
a a
V S AB C D
Bài 12 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD, O' là tâm đường tròn
Hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD
3
6 9 3 1 cos
3
3 sin
3
3 2
3
3
2
AB
BO OAB a
4
6 cos
2
a OAB
AB
4
6
a
(đ.v.đ.d)
C
