TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2007–2014) MÔN ĐẠI SỐ
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2007 – 2014
Môn Đại số
Biên soạnL A TEX
Mai Mẫn Tiệp
maimantiep@gmail.com
Homepage
maimantiep.wordpress.com
Lưu hành nội bộ
Cần Thơ, 2014
Trang 2ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2007–2014)
MÔN ĐẠI SỐ
LATEX by Mai Mẫn Tiệp∗ Ngày 13 tháng 5 năm 2014
Lưu ý
a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút.
b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào.
c) Nếu đề thi có hai phần Đại số tuyến tính và Đại số đại cương thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi riêng.
d) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học
Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com.
e) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồnL A TEXcủa ebook này, nhưng phải ghi rõ đội ngũ thực hiện
Tài liệu
[1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán:
nguyenchiphuong.wordpress.com
[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ:
gs.ctu.edu.vn
Trang 31 Đại số, năm 2007, đề số 01
Câu 1 Chứng minh rằng tập hợp
K =na + bp7 | a,b ∈ Qo
là một trường con của trường số thựcR
Câu 2 Trong lí thuyết nhóm có định lí sau đây: “Với mọi số tự nhiên n 6= 4, A n là
nhóm đơn” (Nhắc lại rằng nhóm đơn là nhóm không có nhóm con chuẩn tắc nào
khác{e}và chính nó.)
Hãy sử dụng định lí nói trên để chứng minh rằng, vớin 6= 4, nhóm đối xứngS n
chỉ có3nhóm con chuẩn tắc là{e}, A n vàS n
Câu 3 Cho A là nhóm xylic cấpm vàB là nhóm xylic cấpn Chứng minh rằng tích trực tiếpA ×B là nhóm xylic khi và chỉ khim vànlà những số nguyên tố cùng nhau
Câu 4 Vớialà một số thực vàn là một số tự nhiên bất kì, hãy tính
µa 1
0 a
¶n
.
Câu 5 Hãy tìm điều kiện đối với các số thựca, b, csao cho ma trận sau đây chéo hóa được
A =
1 a b
0 2 c
0 0 2
Câu 6 Xét không gian vectơV = M2 ( R)gồm các ma trận vuông cấp2trên trường số thựcR Giả sử A = µa b c d
¶
là một ma trận cho trước thuộcV
a) Chứng minh rằng ánh xạ
ϕ: V → V,vớiϕ(X ) = AX , ∀ X ∈ V
là một phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơV
b) Tìm ma trận biểu diễnϕtrong cơ sở gồm các ma trận sau
µ1 0
0 0
¶ , µ0 1
0 0
¶ , µ0 0
1 0
¶ , µ0 0
0 1
¶
—————HẾT—————
Trang 4Câu 1 Chứng minh rằng nếu f : (Q,+) → (Z,+)là một đồng cấu nhóm aben thì f = 0.
Từ đó suy ra( Q,+)không phải là nhóm xyclic
Câu 2 ChoG là nhóm và H là một nhóm con củaG NếuH 6= G thì ta nói H là một
nhóm con thực sự của G Chứng minh rằngG không thể là hợp của hai nhóm con thực sự của nó
Câu 3 Xét vành số nguyênZvà giả sửm, n ∈ Zlà hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng
a) n Z ∩ mZ = mnZ,
b) n Z + mZ = Z
Câu 4 Phân tích đa thức sau thành tích những nhân tử bất khả qui
a) X6− 8trên trườngQcác số hữu tỉ
b) X3+ 2X + 1trên trườngZ 3
Câu 5 Xét vành số nguyênZ Giả sửm là một số nguyên dương vàm không phải là
số chính phương Đặt
R = ©a + bpm | a,b ∈ Zª
a) Chứng minh rằngR là vành con của trườngRcác số thực
b) Giả sửplà số nguyên tố ĐặtI p=©a + bpm : p | a, p | bª
Chứng minh rằngI p là ideal củaR
Câu 6 ChoS vàT là các không gian con của R 4 sinh ra bởi các véctơ trong R 4 Cụ thể như sau
S = 〈(1;−1;2;−3),(1;1;2;0),(3;−1;6;−6)〉 vàT = 〈(0;−2;0;−3),(1;0;1;0)〉.
Hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian conS ∩ T
Câu 7 Cho ma trận
A =
1 2 2 1
3 2 3 2
−1 −3 0 4
0 4 −1 −3
Hãy tìm không gian nghiệm của hệ phương trìnhAX = 0
Câu 8 Với những giá trị nào của a, b, c, d , e, f ma trận dưới đây chéo hóa được trên
R?
1 a b c
0 2 d e
0 0 2 f
0 0 0 2
Trang 53 Đại số, năm 2009, đề số 01
Câu 1 ChoG là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn củaG là một nhóm con củaG Kết quả trên còn đúng khiG không gian hoán hay không? Tại sao?
Câu 2 Giải phương trình sau trongZ 488
68x − 60 = 620.
Câu 3 TrongQ[x], xét hai đa thức
f (x) = (x − 1)(x2+ 1) và g (x) = x 3n − x 2n + x n− 1,
trong đón là số nguyên dương Xác địnhnđể f (x) | g (x)
Câu 4 Trong không gianR 4cho các véctơ
u1= (1; 2; 3; 4), u2= (2; 1; 5; 4), u3 = (1; 4; 3; 8).
GọiW là không gian con củaR 4sinh bởiu1, u2, u3
a) Chứng minhB = (u1, u2, u3)là một cơ sở củaW
b) Xác định tham sốmđể vectơu = (−1;1;2;m)thuộcW Với giá trịm đó, hãy tìm
[u] B
Câu 5 Trong không gianR 3cho các véctơ
u1= (1; 1; 2), u2= (0; 1; 1), u3 = (0; 1; 2),
và toán tử tuyến tính f (x, y, z) = (x − y + z, 2x − 3y, 2x − y + 4z)
a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gianIm( f ),Ker( f )
b) Chứng minhB = (u1, u2, u3)là một cơ sở củaR 3và tìm ma trận biểu diễn của f
theo cơ sởB
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =
2 2 1
1 3 1
1 2 2
a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A b) Chứng minhAchéo hóa được và tìm một ma trậnP khả nghịch sao choP−1AP
là ma trận chéo Tính A20
—————HẾT—————
Trang 6Câu 1 ChoG là một nhóm cyclic cấpn Chứng minh rằng với mỗi ước số dươngm
củan tồn tại duy nhất một nhóm conH củaGcó cấpm Kết quả trên còn đúng khi
G không cyclic hay không? Tại sao?
Câu 2 Trong vànhR = M(2,R), xétI = ½µa 0 b 0
¶
: a, b ∈ R
¾
a) Chứng minhI là một vành con củaR
b) I có là một ideal củaRkhông?I có là một ideal phải hay ideal trái củaRkhông?
Câu 3 Xác định các số tự nhiênn sao cho đa thức f (x) = x 2n + x n+1 − x − 1 chia hết cho đa thứcg (x) = x2+ x + 1trongQ[x]
Câu 4 Trong không gianR 3cho các véctơ phụ thuộc tham sốm
u1= (1; m; −1), u2= (1; 2; 0), u3 = (5; 14; −2).
a) Xác định tham sốm đểB(m) = (u1, u2, u3)là một cơ sở củaR 3
b) ĐặtB 1 = B(3)vàB 2 = B(5) Chứng minh B 1 vàB 2 là hai cơ sở củaR 3 và tìm
ma trận chuyển cơ sở từB 1 sangB 2
Câu 5 Cho f là toán tử tuyến tính trênR 3thỏa
[ f ]B =
4 1 3
16 10 15
12 −7 −11
,
trong đóB = (u1, u2, u3)là cơ sở củaR 3 vớiu1= (1; 1; 2), u2= (0; 1; 1), u3 = (0; 1; 2)
a) Xác định biểu thức của f
b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gianIm( f ),Ker( f )
Câu 6 Cho toán tử tuyến tính f trênR 3định bởi
f (x, y, z) = (−4x − 4y − 2z, x + 2y + 2z,−x − 2y − 3z).
a) Tìm các trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của f b) Chứng minh f chéo hóa được và tìm một cơ sởBcủaR 3sao cho ma trận biểu diễn[ f ]B là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó
Trang 75 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01
Câu 1 ChoG là nhóm nhân cyclic cấpn sinh bởix Chứng minh rằng vớim, k là hai
số nguyên bất kì ta có〈x m 〉 = 〈x k〉khi và chỉ khiUCLN(m, n) = UCLN(k,n)
Câu 2
a) Xét vànhZn các số nguyên đồng dư modulon Tìm điều kiện củak ∈ Nđể ánh
xạ f :Zn → Zn định bởi f (x) = kxlà một đồng cấu vành
b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vànhZp vớipnguyên tố
Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên
f (x) = x6+ 7x5+ 10x4− 35x3− 120x2− 108x − 16.
a) Viết khai triển Taylor của f (x)tại x0 = −2
b) Phân tích f (x)thành tích các đa thức bất khả qui trênQ
Câu 4 Trong không gianR 4cho các vectơ
u1= (1; 2; −1; 3), u2= (2; 3; −2; 5), u3 = (1; 1; 0; 2),
v1= (2; 3; −1; 5), v2= (1; 2; −2; 3), u3 = (5; 8; −5; 13).
GọiW là không gian con củaR 4sinh bởiu1, u2, u3
a) Chứng minhB 1= (u1, u2, u3)là một cơ sở củaW
b) Chứng minhB 2= (v1, v2, v3)là một cơ sở củaW Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
B 1 sangB 2
Câu 5 Trong không gianR 3cho các vectơ
u1= (1; 1; 2), u2= (0; 1; 1), u3 = (0; 1; 2),
v1= (2; 9; −3), v2= (0; 3; −3), u3 = (1; 7; −4).
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính f trên R 3 thỏa
f (u k ) = v k với mọik = 1,2,3và xác định biểu thức của f
b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gianIm( f ),Ker( f )
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =
3 2 1
0 2 0
1 2 3
a) Chéo hóa ma trậnA
b) Cho f là toán tử tuyến tính trênR 3 thỏa[ f ]B= A, trong đóB = (u1, u2, u3)là cơ
sở củaR 3 với
u1= (1; −1; 1), u2= (0; 1; 1), u3 = (1; 1; 4).
Tìm một cơ sởC củaR 3 sao cho[ f ]C là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó
—————HẾT—————
Trang 8A Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 Trong không gian vectơ M (2, 2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trênR, cho
E =
½
M = ·a 0
b a + b
¸
: a, b ∈ R
¾
vàH = Sp
½
v1=·1 01 2
¸
, v2=·0 11 0
¸¾
a) Chứng minh rằng E ∩ H là không gian con của M (2, 2) và tìm cho E ∩ H một
cơ sở
b) ChoB =
½
v1 =·1 01 2
¸
, v2=·0 11 0
¸¾
là cơ sở củaH, tìmv ∈ E ∩ H sao cho
[v ]B =·20
¸
Câu 2 ChoB0= {1, x, x2}là cơ sở chính tắc củaP2(x)và phép biến đổi tuyến tính
T : P2(x) → P2(x)xác định bởiT (1) = 3 + 2x + x2, T (x) = 2, T (x2) = 2x2
a) TìmKerT vàImT
b) BiếtB = ©1,1 + x,1 + x2 ª
là cơ sở củaP2(x) Tìm ma trận củaT đối với cơ sởB,
từ đó tìm đa thứcp ∈ P2(x)sao cho£T (p)¤B=
4 2 1
c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tínhT là chéo hóa được, từ đó tìm cho
P2(x)một cơ sởC để ma trận củaT đối với cơ sởC là ma trận chéo
d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tínhT4(2 + x)
B Phần Đại số đại cương
Câu 3 Cho X là một nhóm nhân Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếpk, k + 1,k + 2
sao cho với các phần tửa, bbất kì củaX ta luôn có
(ab) k = a k .b k, (ab) k+1 = a k+1 .b k+1 và (ab) k+2 = a k+2 .b k+2.
Chứng minh rằngX là nhóm giao hoán
Câu 4 Cho X và Y là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là m và n Chứng minh rằngX × Y là một nhóm cyclic khi và chỉ khim vànnguyên tố cùng nhau
Câu 5 ChoX là một vành giao hoán có đơn vị, vàPlà một ideal củaX Chứng minh rằngX /P là miền nguyên khi và chỉ khiP là ideal nguyên tố
Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trongQ[x]
f (x) = x4+ 5x3− 2x2− 6x + 3.
Trang 97 Đại số, năm 2013, đợt 2, đề số 01
A Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 TrongP2(x), (không gian vectơ các đa thức bậc không quá2trênR), cho các tập
E = ©p ∈ P2(x) | p(1) + p(−1) = 0ª
H = Sp ©1 + x,1 + x2 ª
a) Chứng minh rằngE ∩ H là không gian con củaP2(x)
b) Tìm một cơ sở củaE ∩ H
Câu 2 Cho ánh xạT : P1(x) → P1(x),T (a.1 + b.x) = (4a + 3b).1 − (2a + 3b).x;
a) Chứng minh rằngT là phép biến đổi tuyến tính
b) Chứng minhT chéo hóa được
c) TrongP1(x)tìm cơ sởBsao cho[T ]Blà ma trận chéo
d) Biếtp = (α + β).1 − (2α + β).x,¡
α,β ∈ R¢, tínhT3(p)
B Phần Đại số đại cương
Câu 3 Cho X , Y là các nhóm nhân cyclic có các phần tử sinh theo thứ tự là x và y, với các cấp tương ứng làsvàt
a) Chứng minh qui tắcϕcho tương ứng mỗi phần tửx n ∈ X với phần tử³y k´n ∈ Y, vớik là một số tự nhiên khác không cho trước, là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khisk là bội củat
b) Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cộngZ 3đến nhóm cộngZ 15
Câu 4 Trong trường số thựcRxét các tập
Q(p2) =na + bp2 | a,b ∈ Qo vàQ(p7) =na + bp7 | a,b ∈ Qo.
a) Chứng minh rằngQ(p2)vàQ(p7)là các trường con củaR
b) Chứng minh rằngQ(p2)vàQ(p7)không đẳng cấu
Câu 5 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trongQ[x]
f (x) = 3x4+ 7x3− 4x2+ 12x + 9.
—————HẾT—————
Trang 10A Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 TrongR 3cho tậpE = ©x = (a,b,c) ∈ R3
| a − 2b + c = 0ª a) Chứng minh rằngE là không gian con củaR 3
b) Tìm một cơ sở củaE, từ đó xây dựng choE một cơ sở trực chuẩn từ cơ sở này c) ChoF = © y = (a + 2b,b, a + b)| a,b ∈ Rªlà không gian con củaR 3, tìm cơ sở và số chiều của các không gianE ∩ F,E + F
Câu 2 Cho ánh xạ f : P2(x) → P2(x), f ¡a1 + bx + cx2¢ = (a + 2c)1 + bx + (2a + c)x2 a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìmKer( f ),Im( f )
b) Chứng tỏ f là chéo hóa được, từ đó tìm choP2(x)một cơ sởBsao cho[ f ]B là
ma trận chéo và viết ra ma trận chéo này
c) Giả sửp = 1 + x + 5x2, tìm f k (p), k = 2,3,
B Phần Đại số đại cương
Câu 3 ChoX , Y là các nhóm nhân vàX là một nhóm hữu hạn Cho f : X → Y là một đồng cấu nhóm Chứng minh rằng
a) Cấp của phần tửa ∈ X chia hết cho cấp của phần tử f (a)
b) Cấp của f (X )chia hết cấp củaX
Câu 4 Tìm tất cả các tự đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỉQđến nhóm cộng các
số nguyênZ
Câu 5 Tìm tất cả các trường con của trường các số hữu tỉQ
Câu 6 Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng vành Zn là một miền nguyên khi và chỉ khinlà một số nguyên tố
Câu 7 TrongQ[x], cho đa thức f (x) = 2x4+ 13x3+ 39x2+ 58x + 20
a) Hãy phân tích f (x)theo các lũy thừa củax + 2
b) Đa thức f (x)có bất khả quy trongQ[x]không? Giải thích
—————HẾT—————