CHUYÊN ĐỀ 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHẦN 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT CẦN NHỚ 1) Căn bậc hai căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 =a Với a 0 thì Với A thì 2) Các công thứ.
Trang 1* CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHẦN 1: TÓM TẮT LÍ THUYẾT CẦN NHỚ
1) Căn bậc hai : - căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 =a
- Với a 0 thì( a) 2 a
- Với A thì A 0
2) Các công thức biến đổi:
A2 A
A B A B. ( với A0; B 0 )
B B ( Với A 0; B>0 )
| A |
A B B ( B 0 )
A B A B2 ( Với với A0; B 0 )
A B A B2 ( Với với A < 0; B 0 )
A B
( Với với A0; B 0 , A ≠ B)
A B
( Với với A0; B 0 , A ≠ B)
3 Hằng đẳng thức đáng nhớ
1 (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2
2 (A-B) 2 = A 2 – 2AB+B 2
3 A 2 -B 2 = (A-B) (A+B)
4 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3
5 (A-B) 3 = A 3 -3A 2 B+3AB 2 -B 3
6 A 3 +B 3 = (A+B)(A 2 -AB+B 2 )
7 A 3 -B 3 = (A-B) (A 2 +AB+B 2 )
PHẦN 2 : BÀI TẬP VẬN DỤNG
DẠNG 1: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức P(x) tại x = m
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn biểu thức P
Bước 2: Thay x = m (TMĐK) vào P và tính giá trị
(Lưu ý: Nếu x = m là một biểu thức phức tạp thì phải biến đổi trước khi thay)
1 1
M
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M tại x 4
Bài giải: Với x 0 và x 1
: 1 1
M
( 1)
2
x
x x
x
Trang 2M= ( ( 1) ) : (2( 1) 2 )
( 1)( 1) 2
M =
1
x
x
Vậy với x ≥0 , x≠1 thì M =
1
x
x
b) Với x =4 thỏa mãn điều kiện
Thay x =4 vào biểu thức M, ta có:
M = 4
4 1 = 4
Vậy với x =4 thì M = 4
x x P
với x 0 và x 9 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P tại x 25
c) Tính giá trị của P tại x 6 4 2 6 4 2
Bài giải: Với x 0 và x 9
x x
P
x x
3
x x
Vậy Vớix 0 và x 9thì P = 2
3
x x
b) Với x =25 thỏa mãn điều kiện
Thay x =25 vào biểu thức P ta có
5 3 8
25 3
c) Với x 6 4 2 6 4 2
=> x (2 2) 2 (2 2) 2
=> x = 2 2 2 2 = 2 2 2 2 = 4 (thỏa mãn)
Thay x =4 vào biểu thức P ta có
P = 4 2 2 2 4
2 3 5
4 3
Trang 3Bài 3: Cho biểu thức 1 7 : 1 1
4
x Q
x
với x 0 và x 4 a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tính giá trị của Q tại x 9
c) Tính giá trị của Q tại 2 2
Bài làm:
với x 0 và x 4
4
x Q
x
1
2
x x
4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 =2( 3 1) 2( 3 1)
3 1 3 1 2
x
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức P, tìm x để P=m
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2: Giải phương trình P = m tìm ra x
Bước 3: Đối chiếu x với điều kiện và kết luận.
Bài 1: Cho biểu thức: P =
x x
x x
x x
x x
x
2
3 :
2
2 4
4 2
2
a) Rút gọn biểu thức P b)Tìm các giá trị của x để P = 2
Bài làm
Với x > 0, x ≠4
P =
x x
x x
x x
x x
x
2
3 :
2
2 4
4 2
2
P= ( 2)2 4 (2 )2. (2 )
P= 4 8 .
x x
P =4 ( 2).
P = 4
3
x
x
Trang 4b) Với P = 2 4
3
x
x =2 4x = 2 ( x 3) 4x 2 x 6 0 ( x 1)( x 3) 0
Bài 2: Cho biểu thức :
1 3
5 6 : 9 1
2 1 1 3
2
1
x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để A = x
Bài 3: Cho biểu thức
A =
2
2 3
2
x
x x
và B =
2
2 2
3
x
x x x
a) Rút gọn A và B b) Tìm x để A=B
Bài 4: Cho biểu thức A =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
a) Rút gọn A b) Tìm x để |A|=1
Bài 5: Cho biểu thức A = 1 1
x x
với x 0; x ≠9 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x =4 c) Tìm x để A = 3
4
Bài 6: Cho biểu thức :
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x
x
a)Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để A =
5 6
DẠNG 3: Tìm x để P>m; P<m; …
Cách giải tổng quá:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2: Giải các bất phương trình P>m; P<m; …
Bước 3: Kết hợp với ĐK và kết luận
Bài 1: Cho biểu thức Cho B = ( 1 7 ) : ( 1 1)
4
x x
a) Rút gọn B b) Tìm x để B > 2
x x
x x x
x x
x x
x
2
3 2
2 : 4
4 2
2 2
2
a) Rút gọn B b) Tìm x để B > 0 c) Tìm x để B = -1
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 0
Bài 4: Cho biểu thức : P = 2 2 1
a) Rút gọn P b) So sánh P với 1 c) Tìm x để P < 1
2
Trang 5Bài 5: Cho biểu thức : P =
3
2 2 : 9
3 3 3
3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn B b) Tìm x để B <
2
1
Bài 6: A = ( 3 1 ) :
với x > 0 ; x ≠9 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x = 27 10 2 18 8 2 c) So sánh A với 1
3
a a
a a a
a
a a
1
1 1
1
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < 4
DẠNG 4: Rút gọn P, chứng minh P>m; P<m; …
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2: Tính hiệu P-m
Bước 3: Nếu P-m>0 thì kết luận P>m
Nếu P-m<0 thì kết luận P<m
a) Rút gọn A
b) Chứng minh A < 1
3
Bài 2: Cho biểu thức M= 1 1
1
1
x với x>0
1 Rút gọn biểu thức M 2.Tính giá trị của N tại x= 9 3 Chứng minh 1
2
M
N
Bài 3: Cho biểu thức C =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x x
a/ Rút gọn C b/ Tìm các giá trị của x sao cho C =
2
1
c/ Chứng minh C ≤
3 2
DẠNG 5: Rút gọn P - So sánh P với m
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2: Tính hiệu P-m
Bước 3: Nếu P-m>0 thì kết luận P>m
Trang 6Nếu P-m<0 thì kết luận P<m
Bài 1 : Cho biểu thức :
x
x x
x x
x P
4
1 2 2
3 2
2 : 2
3 3
a, Rút gọn P b, So sánh P với 1
1
2 1
: 1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B khi x = 25 c) Tìm x để B < 2
1
1 1
1 :
1 1 1
1
x
x x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn G b) Tính giá trị G để x =
2
3
2 c) So sánh G với
2
1
b) d) Tìm x để G = 0
Bài 4: Cho M = 2 1 1
x
1 Rút gọn M 2 So sánh M với 1
1 2 1
2 1
1 2
a
a a a
a
a a a a a
a a
a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a biết M =
6 1
6
c) So sánh giá trị của M với
3
2
DẠNG 6: Rút gọn biểu thức, tìm giá trị của x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2:
+ Cho f(x) bằng các giá trị ước của m để giải ra tìm x
+ Đối chiếu với ĐK và KL
+ Lập luận đưa về dạng 2.1
Bài 1: Cho biểu thức P = 2 1 1 : 1 4
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương
Bài 2 Cho biểu thức P =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5 9 2
Trang 7a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P < 1 c)Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Bài 3 Cho biểu thức:
1 1
1 2 2
1 2
3 9 3
x x
x x
x x
x
x x
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
c)Tìm các giá trị của x để P = x
2
1 1
2 2
3 9 3
a a
a a
a
a a
b) a) Rút gọn P b) Tìm a để P 1 c) Tìm các giá trị a N để P N
Bài 5: Cho biểu thức.
2
1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
Bài 6: Cho P =
a a
a a
a
2
1 6
5 3
2
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a để P < 1
c) Tìm P biết | a -1 |= 5 d) Tìm a Z để P Z;
Bài 7: Cho biểu thức.A = 2 9 2 1 3 ; 0, 4, 9
b) 1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
DẠNG 7: Tìm tất cả các giá trị x để P nhận giá trị nguyên
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Tìm được a≤ P ≤ b
Bước 2: Cho P bằng các giá trị nguyên trong đoạn từ a đến b
Bước 3: Tìm ra x ; đối chiếu ĐK và KL
Bài 1 : Cho D = 15 11 3 2 2 3
a) Rút gọn D b) Tìm giá trị của D nếu x = 16 c ) Tìm x để D = 1
2
d) Tìm tất cả các giá trị của x để D có giá trị nguyên
a) Rút gọn A b) Chứng minh A < 2 c) Tìm x để A <1 d) Tìm x để A nguyên
Bài 3: Cho biểu thức.A = +1 2 2 5
4
x
1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm giá trị của x để A = 2 3) Tìm x để A nhận giá trị nguyên
Bài 4: Cho A = 7
8
9 3
x x
với x x 0;x 9
a) Tính giá trị của A khi x = 25
b) Chứng minh B = 8
3
x x
c) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên
Trang 8Bài 5: Cho biểu thức P= 1
1
x
x x x Với x>0; x≠1 a) Rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x > 1
9 để P nhận giá trị nguyên
Bài 6: Cho M = ( 1 1
x x x ).3 x 3
x x
với x > 0 và x ≠ 1 a) Rút gọn M b) Tìm x để M nhận giá trị nguyên
DẠNG 8: Rút gọn và tìm GTLN, GTNN
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn
Bước 2:
a P= m
a P= m
+ Nếu h(x) là hằng số thỡ trở về dạng 2.1
+ Nếu h(x) là đa thức chứa biến thì biến đổi h(x) về giống f(x) rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi
x x
x x
x
x x
x
x x
2
2 2
1
1 1 : 1 2
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P
<-2
1
C) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x
x x x x
x x
a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1 1 1
1 :
1 1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của P nếu a = 2 - 3 và b =
3 1
1 3
c) Cho a b= 4, tìm giá trị của a và b để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 5: Cho biểu thức A = 2 1
1
2
a
a a a
a
a a
a) rút gọn A b) Biết a >1, hãy so sánh A với A c) Tìm a để A =2 d)Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức P =
3
3 1
2 3
2
19 26
x
x x
x x
x
x x
x
Trang 9a/ Rút gọn P b/ Tính giá trị của P khi x = 7 - 4 3
c/ Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 7: Cho A =
y x
y y
x
y x y x
y x y
x
x
2 2 2
a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A biết x = 3 + 2 2 và y = 3 - 2 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của A biết : 1 4 50
y x
Bài 8: Cho biểu thức A = 1 5 2
x
1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên 3 Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài tập 9 Cho biểu thức A= 1 : 1
1
x
1 Rút gọn A 2 Tìm x để A= 3
2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1
1 Rút gọn P 2 Tính giá trị của P khi x= 3 3 Khi P xác định, hãy tìm GTNN của P
Bài 11: Cho biểu thức.
1
x
1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho biểu thức x 3 2 3 3
A =
x
1.Rút gọn biểu thức A 2 Tính A biết x 14 6 5
3 Tìm x, biết A = 8 4 Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
5 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1
x A
x
với x ≥ 0; x ≠ 1
1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất
1 2 3 : 1
1 4 3
2
x
x x
x x x
a) Rút gọn D b) Tính giá trị của D khi x =
3 2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của D
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt GTNN
Trang 10Bài 16: Cho P = (( 2 1 ).4
3
a) Rút gọn P b) tìm x để P =8
9 c) Tìm GTLN và GTNN của P
x x x x và B = 3
1
x x
với x ≥0; x≠1 a) Tính giá trị của B khi x= 36 b) Rút gọn A c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = A.B
b) Bài 18 : Cho biểu thức : A=
3
2 2
x
x
và biểu thức B=
9
3 3 3 3
2
x x
x x
x
( Với x≥ 0; x≠ 9)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
1
A B
DẠNG 9: Rút gọn P và tìm m để có x thỏa món điều kiện cho trước
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Rút gọn P
Bước 2: Rút x theo m
Bước 3: Tìm điều kiện để có x, sau đó cho x thỏa mãn các điều kiện của đề bài
Bài 1: Cho biểu thức P = 1 5 4 : 2
với x>0; x≠4
1) Rút gọn P 2) Tính giá trị của P khi x =3 5
2
3) Tìm m để có x thỏa mãn P=
mx x mx
1
x
x
với x>0; x≠1 1) Rút gọn Q 2) Tìm x để Q >0 3) Tìm m để có Q thỏa mãn Q
x m x