Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)

Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)Bài tập Chương 5. Tứ giác Toán 8 (Chương trình mới)

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của

hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB  cm, 6 AC  cm.8

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại A , có AC  cm,9 BC 15

cm Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho AD  cm Tính độ dài các cạnh 5 AB BD, .

Để tính được chu vi ABC , ta cần xác định độ dài của AB BC,

Trong ABH vuông tại H , ta có

Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông

 Nếu một tam giác được cho với độ dài 3 cạnh của nó thì sử dụng định lý Py-ta-go đảo để

kết luận tam giác vuông

 Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng bình phương của hai

cạnh còn lại

a) 4 cm, 7 cm, 6 cm; b) 6 cm, 10 cm, 8 cm.

Lời giải

a) Ta có 42 62 52 49 72 nên tam giác này không phải là tam giác vuông

c) Ta có 62 82 100102 nên tam giác này là tam giác vuông

Ví dụ 6 Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau:

a) 20 cm, 12 cm, 16 cm; b) 6 cm, 11 cm, 9 cm

Lời giải

a) Ta có 122 162 400 202 nên tam giác này vuông

b) Ta có 62 92 117 112 nên tam giác không vuông

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB  cm, 6 AC  cm D là một điểm sao cho 8 BD 16

cm, CD 24 cm Chứng minh CBD không thể là tam giác vuông

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore ta có

2 2 2 62 82 100 100 10 cm

Tam giác CBD không thể là tam giác vuông vì 242 102 162

Ví dụ 8 Cho tam giác ABC , đường cao AH Biết AH  cm,6

Do đó ABC vuông tại A

Dạng 3: Dùng định lý Pythagore giải quyết một số bài toán thực tế liên quan

Trang 3

Ví dụ 9:

Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây

diều từ tay bạn đến diều dài 170m và bạn đứng cách nơi

diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 80m Tính độ

cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách

Hai cây A và B được trồng dọc trên đường, cách nhau 24m và cách đều cột đèn D Ngôi trường C

cách cột đèn D 9m theo hướng vuông góc với đường (xem hình vẽ) Tính khoảng cách từ mỗi cây

CD vừa là đường cao đồng thời là đường trung

tuyến suy ra tam giác CAD cân tại C suy ra

AC = BC = 25m

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau:

32 45°

60°

4 4

3

45°

12 9

M G

E A

Bài 4: Cho tam giác ABC , đường cao AH Biết AC  cm, 15 AH  cm, 12 BH  cm Hỏi tam giác9

ABC là tam giác gì?

Lời giải:

Trang 5

Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go ta có

2 2 2 122 92 225 15 cm

Do đó AB AC nên ABC cân tại A

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tính độ dài cạnh BC

b) Làm tương tự câu a, tính được H C1 m c  B C 10 c m

Bài 6: Cho DABC vuông ở A có

815

Bài 7: Các tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh

Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào?

a) AB = 25; BC = 7;CA = 24. b) DE =2;EF = 11; FD= 15

H C B

A

c) Ta có: 7 6 5 

Mà GH2+HI2=52+62=25 36+ =61 49> =72=IG2

Vậy GHI không phải là tam giác vuông

Bài 8:

Lăng Chủ tich Hồ Chí Minh (Lăng Bác) tại Quảng trường Ba Đình

-Hà Nội là nơi hội tụ tình cảm, niềm tin của đồng bào và bầu bạn Quốc

tế đối với Chủ tịch Hồ Chí Minh và đất nước, con người Việt Nam

Ngay từ ngày khánh thành công trình Lăng Chủ tịch Hồ Chí Minh

(29/8/1975), trước Lăng Bác đã có một cột cờ rất cao, trên đỉnh cột cờ

luôn tung bay lá cờ Tổ quốc Việt Nam Vào một thời điểm có tia nắng

mặt trời chiếu xuống ta thường nhìn thấy bóng của cột cờ dưới sân

Quảng trường Ba Đình, bằng kiến thức hình học người ta đo được

chiều dài cái bóng của cột cờ này là đoạn BH = 40m và tính được

khoảng cách từ đỉnh cột cờ đến đỉnh cái bóng của nó là đoạn AB = 50m

(như hình vẽ bên) Em hãy tính chiều cao của cột cờ trước Lăng Bác

(độ dài đoạn AH)? Biết rằng cột cờ được dựng vuông góc với mặt đất.

Cho hình vẽ bên Tính chiều dài của cánh buồm ?

Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ

tay bạn tới diều là 130m và bạn đứng cách con diều theo phương

thẳng đứng là 120m Tính độ cao của con diều so với mặt đất.

Biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m (Hình bên)

Vậy chiều cao con diều so với mặt đất là 51,5 m

Bài 10: Tính chiều dài đường trượt AC trong hình vẽ trên

Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông Trên

đỉnh cây có một con chim đang đậu và

chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước

(như hình 1 và được mô phỏng như hình 2).

Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất

bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá?

(Biết con cá cách gốc cây 5m và nước cao

nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam

giác vuông (xem hình vẽ) Hãy tính khoảng cách từ

Bài 13:

Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào nhà không được lấn chiếm vỉa hè quá 85 cm ra phía vỉa hè Biết rằng nhà bạn Nam có nền cao

60 cm so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là 1 m Theo em nhà bạn Nam có thực hiện

Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn dầu từ điểm A

trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo như hình vẽ Giá

để xây dựng đường ống trên bờ là 40 000 USD mỗi km và 130

000 USD mỗi km để xây dưới nước Hỏi công ty nên xây đường

ống theo phương án nào để tiết kiệm chi phí nhất? Biết rằng

công ty đưa ra ba phương án:

Phương án 1: Xây đường ống từ điểm A trên bờ đến điểm C

trên đảo.

Phương án 2: Xây đường ống từ điểm A đến điểm M trên bờ biển, rồi xây đường ống từ

điểm M đến điểm C trên hòn đảo.

Phương án 3: Xây đường ống từ điểm A đến điểm B trên bờ biển, rồi xây đường ống từ

điểm B đến điểm C trên hòn đảo Biết: BC = 60km, AB = 100km, AM = 55km

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ nhà máy C

trên bờ đến một điểm B trên đất liền Điểm A đảo cách

bờ biển ở điểm B là 9km Giá để xây dựng đường ống từ

nhà máy trên biển điểm B đến diểm C trên bờ là

5000USD/km Khoảng cách từ A đến C là 12km Em hãy

tính chi phí làm đường ống từ điểm B tới điểm C của

công ty trên bằng tiền VND Biết 1 USD= 23150 VND.

63.5000.23150 918737142,8( VND)

Bài 16:

Để xác định chiếc điện thoại là bao nhiêu inch,

các nhà sản xuất đã dựa vào độ dài đường chéo

của màn hình điện thoại, biết 1 inch2,54cm,

điện thoại có chiều rộng là 7cm; chiều dài là

15,5 cm Hỏi chiếc điện thoại theo hình vẽ là

bao nhiêu inch ? (Làm tròn kết quả đến hàng

Bài 17:

Một chiếc thang có chiều dài AB = 3,7m đặt cách một

bức tường khoảng cách BH = 1,2m

a/ Tính chiều cao AH

b/ Khoảng cách đặt thang cách chân tường là BH có

“an toàn” không ? Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi

b/ Ta có :

3,52,9

Khi xây móng nhà, để kiểm tra xem 2 phần móng có

vuông góc với nhau hay không, người thợ xây thường

lấy AB = 3cm, AC = 4cm (A là điểm chung của hai

phần móng nhà hay còn gọi là góc nhà), rồi đo đoạn BC

nếu BC = 5cm thì hai phần móng đó vuông góc với

nhau Hãy giải thích vì sao ?

Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A

Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau

Bài 19:

Trên hình là một khung mái nhà tam giác cân

tại A, được làm từ các thanh thép bằng cách

hàn chúng lại với nhau Biết độ dài cạnh

AH = 10dm (AH  BC) , độ dài cạnh

BC = 48dm Để hoàn thành khung mái nhà

này người thợ cắt các đoạn thẳng AB; AC;

ME; MH; NH; NF Hãy tính độ dài các đoạn

thẳng trên để giúp chú thợ hàn cắt chuẩn kích thước Biết rằng 4 điểm M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB; AC; HB; HC và ME // AH // NF

Vì H là trung điểm BC

48242

; F là trung điểm HC

24122

M là trung điểm AB

26132

; N là trung điểm AC

26132

Hình e Hình d

Hình c Hình b

 Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc

 Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về cùng một phía của đường thẳng chứa bất kì một cạnh

nào của tứ giác đó Chẳng hạn, hình 1.1 là tứ giác lồi; hình 1.2 không phải là tứ giác lồi

Hình 1.1 Hình 1.2

 Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Nhận biết tứ giác lồi

 Dựa vào phần nhận biết tứ giác lồi

Ví dụ 1 Quan sát các hình vẽ bên dưới và cho biết hình nào là tứ giác lồi Đọc tên các cạnh, các đỉnh, các

góc của tứ giác lồi đó

Trang 15

TỨ GIÁC

Lời giải:

Các tứ giác lồi là hình a, hình b, hình c.

Tứ giác ABCD có : cạnh AB; BC; CD; AD Đỉnh là đỉnh A; B; C; D Góc là góc A; B; C; D

Tứ giác FGHE có : cạnh FG; GH; EH;EF Đỉnh là đỉnh F; G; H; E Góc là góc F; G; H; E

Tứ giác IJKL có : cạnh JK; KL; JL; IJ Đỉnh là I; J; K; L Góc là góc I; J; K; L

M +N + + =P Q ° Þ x+ x+ +x x= ° Þ x= °Þ x= °.Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình tứ giác

 Vận dụng các kiến thức chu vi , diện tích môt số hình đã học

Ví dụ 3

Tùng làm một con diều có dạng tứ giác ABCD Cho

biết AC là trung trực của BD và AC = 90 cm, BD = 60

cm Tính diện tích thân diều

.60.90 2700( )2

 Vận dụng các kiến thức đã học ở lớp 7 về tam giác, chu vi, đường trung trực của đoạn

thẳng; các đường đặc biệt trong tam giác,… để chứng minh

Ví dụ 5 Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh:

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Cho tứ giác ABCD có AB =BC ; CD=DA.

a) Chứng minh BD là đường trung trực của AC ;

b) Cho ˆB =100°, ˆD =80° Tính ˆA và ˆ C

Lời giải

a) Vì AB =BC suy ra B thuộc đường trung trực của AC

Vì DA =DC Þ D thuộc đường trung trực của AC

+ + +Vậy ˆA =36°, ˆB =72°; ˆC =108°, ˆD=144°.

Bài 3 Cho tứ giác MNPQ có ˆ N =Mˆ +10°, ˆP =Nˆ +10°, Qˆ=Pˆ+10° Hãy tính các góc của tứ giác

d) Vì góc ngoài tại K có số đo là 100° nên IK L· =180°- 100° =80°.

Góc ngoài tại L có số đo là 60° nên KLR· =180°- 60° =120°.

Ta có tổng các góc trong tứ giác là 360° nên

D D

Góc ngoài tại A có số đo là 180°- 75° =105°.

Góc ngoài tại B có số đo là 180°- 90°=90°.

Góc ngoài tại C có số đo là 180°- 120° =60°.

Góc ngoài tại D có số đo là 180°- 75°=105°.

Bài 8 Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi chu vi của tứ giác

ABCD là P ABCD

Chứng minh:

ABCD P

AC +BD>

ABCD P

AC +BD>

.b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào các tam giác ABC , ACD:

AC <AB+BC ; AC <AD CD+ 2

ABCD P AC

Þ <

ABCD P

 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

2 Tính chất.

Trong hình thang cân:

 Hai góc kề một đáy bằng nhau

 Hai cạnh bên bằng nhau

 Hai đường chéo bằng nhau

3 Dấu hiệu nhận biết.

 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Lưu ý : Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân Chẳng hạn hình thang như hìnhbên.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính số đo góc

 Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau

 Trong hình thang, hai góc kề một cạnh bên bù nhau

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC cân tại A Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E saocho AD=AE

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân;

b) Tính góc của hình thang cân đó, biết rằng ˆA =50°.

Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân

b) Vì BCDE là hình thang cân nên

 Sử dụng các tính chất của hình thang cân để chứng minh

 Sử dụng các kết quả đã biết về chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau để

Þ íï

=ïïî

Hình 3.2

Xét hai tam giác VADC và VBCD có

íïïïïïî

Þ = (cặp góc tương ứng) Suy ra VOCD cân tại O Þ OC =OD.

Chứng minh tư tương tự với OA =OB

Ví dụ 3 Cho hình thang cân ABCD có AB CDP , đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC , DB làtia phân giác góc D Tính chu vi của hình thang, biết BC =3 cm

Chu vi của hình thang ABCD là 3 3 6 3+ + + =18 cm.

Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân

 Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Ví dụ 4 Cho hình thang MNPQ , ( MN PQP ), có MP =NQ Qua N kẻ đường thẳng song song với

MP , cắt đường thẳng PQ tại K Chứng minh

a) NKQV là tam giác cân; b) MPQV =VNQP ;

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (DÎ AC , E Î AB).

a) Chứng minh BEDC là hình thang cân;

b) Tính các góc của hình thang cân BEDC , biết ˆC =50°.

Þ V cân tại A Þ BEDC là hình thang cân.

b) Do BCDE là hình thang cân có ˆC =50°

Suy ra VOAB cân tại O Þ OA =OB.

Chứng minh tư tương tự với OC =OD

b) VEBA, VEDC cân tại E

Mà OA=OB; OC =OD (cmt) Þ O thuộc trung trực AB, DC . (2)

Từ (1) và (2)Þ OE là đường trung trực của AB, CD.

Bài 3 Cho hình thang ABCD (AD BCP , AD>BC ) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD,

AC là tia phân giác góc ·BAD và ˆD =60°.

a) Chứng minh ABCD là hình thang cân;

b) Tính độ dài cạnh AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm

Lời giải

vừa là đường cao nên VOAD cân tại A

Lại có ˆD =60° nên VOAD là tam giác đều Suy ra ABCD là hình

thang cân

trung bình trong VOAD Þ AD=2BC .

Lại có ABCD là hình thang cân Þ AB =CD.

a) VABC cân tại

ˆ180

E Þ C =C .

Vậy BE , DC là các đường phân giác của VABC thì BD =DE =EC

Trang 27

Bài 7 Cho hình thang cân ABCD có AB CDP , C =60° DB là tia

phân giác của góc D Tính các cạnh của hình thang biết chu vi hình thang bằng 20 cm

Xét hai tam giác BCD và ADC có





2 Tính chất.

Trong hình bình hành:

 Các cạnh đối bằng nhau

 Các góc đối bằng nhau

 Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

3 Dấu hiệu nhận biết.

 Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành

 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành

 Dựa vào một trong năm dấu hiệu

Ví dụ 1 Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH và CK vuông góc với BD tại H và K Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành

Trang 29

HÌNH BÌNH HÀNH

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành.

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có H là trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với

AC tại C cắt nhau ở D Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành

Vì F là trung điểm của 2

Dạng 3: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng

Xét hình bình hành MPNQ có O là trung điểm của PQ

Suy ra O là giao điểm hai đường chéo của của hình bình hành MPNQ

PPVậy tứ giác DEBF là hình bình hành.

Bài 2 Cho tam giác ABC Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại

F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D Giả sử AE =BF Chứng minh:

a) Tam giác AED cân; b) AD là phân giác của góc A

Lời giải

a) Vì EF BCP Þ EF DBP

Vì ED ABP Þ ED BFP

Þ Tứ giác BFED là hình bình hànhÞ ED =FB

Mà AE =BF (gt)Þ AE =EDÞ Tam giác EAD cân

Vì tam giác EAD cân tại E nên EAD· =EDA·

Þ là tia phân giác của góc A

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đường thẳng AC và BD Qua điểm O vẽđường thẳng song song với AB cắt hai cạnh AD BC, lần lượt tại M N, Trên AB CD, lần lượt lấy cácđiểm P Q, sao cho AP =CQ Gọi I là giao điểm của AC và PQ Chứng minh:

a) Các tứ giác AMNB APCQ, là hình bình hành;

PP

Vậy ba đường thẳng AC MN PQ, , đồng quy

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Gọi K , I lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Chứng minh:a) AI =CK và IAC· =KCA·