Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên báo cáo tổng kết đề tài khoa học cấp trường

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng c[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG

Tên đề tài: Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên

Mã số đề tài: 21/1CB03

Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Thị Thanh Hà

Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học cơ bản

Tp Hồ Chí Minh, …

1

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài “Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên”, chúng tôi đã nhận được sự quan tâm, khích lệ từ phía lãnh đạo Khoa Khoa học cơ bản và Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp TPHCM Hơn nữa, đề tài này có thể thực hiện được là nhờ sự hỗ trợ về mặt kinh phí từ phía trường Đại học Công nghiệp

2

PHẦN I THÔNG TIN CHUNG

I Thông tin tổng quát

1.1 Tên đề tài: Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên

1.2 Mã số: 21/1CB03

1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực hiện đề tài

(học hàm, học vị) Đơn vị công tác Vai trò thực hiện đề tài

1 TS Võ Thị Thanh Hà Khoa Khoa học cơ bản Chủ nhiệm đề tài

2 ThS Hồ Duy Bình Đại học Thủ Dầu Một Thành viên chính

1.4 Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học cơ bản

1.5 Thời gian thực hiện: 12 tháng

1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022

1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm…

1.5.3 Thực hiện thực tế: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022

1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có):

(Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quả nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên nhân;

Ý kiến của Cơ quan quản lý)

1.7 Tổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 55 triệu đồng

II Kết quả nghiên cứu

1 Đặt vấn đề

a) Tình hình nghiên cứu quốc tế

Trong những năm gần đây, rất nhiều bài toán đã không thể mô hình hoá được bằng các phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên như phương trình elliptic, parabolic hay hyperbolic Việc mô hình hoá các bài toán như vậy dẫn đến khái niệm đạo hàm cấp không nguyên Những thập kỷ gần đây là giai đoạn các bài toán với đạo hàm cấp không nguyên phát triển mạnh mẽ và ứng dụng sâu rộng vào rất nhiều lĩnh vực khoa học với

số lượng lớn các bài báo, sách chuyên khảo của nhiều nhà toán học trên thế giới như S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev [41,50], R Gorenflo, Y Luchko [3,4,5,5], K.S Miller, Bertram Ross [7,8], I Podlubny [9], R Hilfer [10], K Diethelm [11],

[1] S.G Samko, A A Kilbas and Oleg I Marichev; Fractional integrals and derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Naukai Tekhnika, Minsk (1987) [2] K.S Miller, S.G Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec Funct, 12 (2001), 389–402

[3] R Gorenflo, F Mainardi, Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order, in: A Carpinteri, F Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, (1997), 223–276

[4] Y Luchko, Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion

equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351(2009), 218-223

[5] Y Luchko, Some uniqueness and existence results for the initial–boundary value

[9] I Podlubny; Fractional differential equations, Academic Press, London, 1999

[10] R Hilfer; Fractional calculus in Physics, World Scientific, Singapore (2000)

[11] Kai Diethelm; The analysis of fractional differential equations, Springer, Berlin, 2010 b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Ở Việt Nam hiện nay, có các công trình về lĩnh vực phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Chẳng hạn nhóm nghiên cứu của GS Nguyễn Đình Công và PGS Đoàn Thái Sơn (Viện Toán Học) với các công trình như [1,2,3], nhóm nghiên cứu của PGS Trần Đình Kế (Đại Học Sư Phạm Hà Nội) với các công trình [4,5,6]

[1] N.D Cong, D.T Son, S Siegmund, H.T Tuan, An instability theorem for nonlinear fractional differential systems Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22 ( 2017), 3079 - 3090

[2] N.D Cong, H.T Tuan, Existence, Uniqueness and exponential boundedness of global solutions to delay fractional differential equations, Mediterranean Journal of Mathematics,

14 (2017)

[3] N D Cong, H T Tuan, Generation of nonlocal fractional dynamical systems by

fractional differential equations Journal of Integral Equations and Applications, 29 (2017), 1-24,

[4] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects J Fixed Point Theory Appl, 19 (2017), 2185-2208

[5] T.D Ke, V T Tran, Finite-time attractivity for semilinear fractional differential

equations Results Math, 73 (2018), 7 – 19

[6] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in , Mathematische Annalen, 366

(2016), 941–979

c) Đánh giá kết quả các công trình nghiên cứu đã công bố (ưu, khuyết, những tồn tại…)

Các công trên chưa khảo sát tính chỉnh của bài toán ngược thời gian Cũng như sự tồn tại nghiệm và tính chính quy hóa cho bài toán thuận Đó là động lực để chúng tôi thực hiện đề tài này

d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học)

Đây là hướng nghiên cứu mới mẻ, có nhiều tiềm năng và thu hút được sự quan tâm lớn từ các nhà toán học Ở đề tài này, chúng tôi khảo sát một số bài toán cho các phương trình với đạo hàm cấp không nguyên như phương trình Rayleigh-Stokes, phương trình khuếch tán, … cho trường hợp tất định hoặc trường hợp ngẫu nhiên

• Chỉ ra tính không chỉnh và xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho các bài toán ngược thời gian

• Nghiên cứu các phương pháp số để minh họa cụ thể cho các đánh giá sai số và tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa

• Đưa ra ví dụ minh họa cụ thể để chỉ ra tính không chỉnh cho nghiệm của các bài toán ngược thời gian Sau đó, sử dụng các phương pháp chỉnh hóa thích hợp như phương pháp chặt cụt, phương pháp Quasi-reversibility, phương pháp lọc, … để xây dựng nghiệm chỉnh hóa

• Sau khi đưa ra các đánh giá hội tụ của nghiệm chỉnh hóa, chúng tôi sử dụng các ví dụ số cụ thể để minh họa cho các kết quả này

3 Phương pháp nghiên cứu

Nội dung 1: Thiết lập công thức nghiệm

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng định lý điểm bất động Banach để

thiết lập sự tồn tại, duy nhất nghiệm

Nội dung 3: Thiết lập tính chính quy/Thiết lập nghiệm xấp xỉ

- Cách tiếp cận: Lý thuyết

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Chỉ ra tính không chỉnh và xây dựng nghiệm

chỉnh hóa cho các bài toán ngược thời gian Đối với bài toán thuận, chúng tôi sử dụng các tính chất của các hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá các toán tử

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Lý thuyết

4 Tổng kết về kết quả nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên Conformable Bằng Phương pháp Fractional Tikhonov, chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự hội tụ cho hai trường hợp chọn tham số hậu nghiệm và tiên nghiệm Hơn nữa, phương pháp chặt cụt cũng được xét đến

5 Đánh giá các kết quả đã đạt được và kết luận

Đề tài là ý tưởng mới không trùng lặp với công trình nào đã công bố trong và ngoài nước Sản phẩm của đề tài là 1 bài báo thuộc danh mục Scopus (Q3)

6 Tóm tắt kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh)

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm conformable:

𝐶𝑜𝐷𝑡(𝛾)𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺, trong đó 0 < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇)

Chúng tôi khảo sát các nội dung sau:

➢ Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

➢ Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

➢ Thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số trong

In this report, we study inverse source for diffusion equation with conformable derivative:

𝐶𝑜𝐷𝑡(𝛾)𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥), 𝑥 𝜖 𝛺,

where 0 < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇)

We survey the following issues

➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a priori parameter choice rule

➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a posteriori parameter choice rule

➢ Regularization and estimate by Truncation method

6

III Sản phẩm đề tài, công bố và kết quả đào tạo

3.1 Kết quả nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3)

- Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm trong phần phụ lục minh chứng ở cuối báo cáo (đối với ấn phẩm là sách, giáo trình cần có bản photo trang bìa, trang chính và trang cuối kèm thông tin quyết định và số hiệu xuất bản)

3.2 Kết quả đào tạo

TT Họ và tên

Thời gian thực hiện đề tài

IV Tình hình sử dụng kinh phí

T

Kinh phí được duyệt

(triệu đồng)

Kinh phí thực hiện

(triệu đồng)

Ghi chú

7

VI Phụ lục sản phẩm ( liệt kê minh chứng các sản phẩm nêu ở Phần III)

1 Hợp đồng thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học

2 Thuyết minh đề tài đã được phê duyệt

3 Quyết định nghiệm thu

4 Hồ sơ nghiệm thu (biên bản họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, bản giải trình, phiếu phản biện)

5 Sản phẩm nghiên cứu (bài báo)

Tp HCM, ngày tháng năm

Chủ nhiệm đề tài Phòng QLKH&HTQT Khoa Khoa học cơ bản

Trưởng khoa

PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Khảo sát một số Phương trình đạo hàm riêng

Cấp không nguyên

Võ Thị Thanh Hà Ngày 18 tháng 04 năm 2022

Chương 1

Giới thiệu bài toán

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn cho phươngtrình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên Conformable:

CoD(tγ)u−∆u=Φ(t)F (x), trong đó 0<γ <1, (x, t) ∈ Ω× (0, T)

Chúng tôi khảo sát các nội dung cụ thể sau:

• Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham sốchỉnh hóa tiên nghiệm

• Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham sốchỉnh hóa hậu nghiệm

• Thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số trongLp

Xét bài toán

CoDt(γ)u(x, t) −∆u(x, t) =Φ(t)F (x), x ∈ Ω, (1.1)với các ràng buộc

u(x, t)|x∈∂Ω =0, t∈ (0, T), (1.2)điều kiện đầu

u(x, 0) = u0(x), x∈ Ω, (1.3)

và điều kiện cuối

u(x, T) = ℓ(x), x ∈ Ω, (1.4)

Hàm u = u(x, t) biểu thị cho mật độ của chất tại vị trí x và thời điểm t CoD(tγ) là

ký hiệu của đạo hàm Conformable theo biến thời gian với cấp đạo hàm γ ∈ (0, 1)

1

(xem Khalil [1]) Với hàm G : [0,∞) → R cho trước thì đạo hàm Conformable với

cấp γ∈ (0, 1]được định nghĩa bởi

t → t+0 CoD(tγ)G(t).Các phương trình vi phân đạo hàm cấp không nguyên với bài toán ngược xuất hiệntrong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau [2,3,4,5,6] Có nhiều loại đạohàm cấp phân số: Riemann-Liouville, Caputo, Conformable, Grunwald-Letnikov, (xem [7, 8] và các tài liệu tham khảo trong đó) Trong bài toán xác định hàmnguồn (1.1), theo định nghĩa của Hadamard [11] bài toán này được gọi là bài toánchỉnh nếu thỏa 3 tính chất: tính tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm.Nếu không thỏa 1 trong 3 tính chất trên thì bài toán được gọi là không chỉnh Theokinh nghiệm nghiên cứu của chúng tôi, tính ổn định của nghiệm sẽ bị vi phạm Vìvậy để giải quyết vấn đề này cần đưa ra phương pháp chỉnh hóa Ở đây chú ý rằng

ta không biết các dữ liệu đầu vàoΦ,ℓmà ta chỉ có các dữ liệu xấp xỉΦϵ,ℓϵ thỏa

∥ℓ − ℓϵ∥L

2 ( Ω )+ ∥Φ−Φϵ∥L∞(0,T) ≤ϵ (1.6)

trong đó ϵ > 0 là sai số Có nhiều kết quả nghiên cứu cho bài toán tìm hàmnguồn của các phương trình khuếch tán Trong những thập kỷ qua đã nhiều kỹthuật chỉnh hóa được đề xuất cho bài toán xác định hàm nguồn, có thể kể đến:phương pháp Quasi-Reversibility (xem [12]), phương pháp Quasi-Boundary Value(xem [13]), phương pháp lặp Landweber (xem [14, 15]), phương pháp FractionalLandweber (xem [16]), phương pháp chỉnh hóa Tikhonov (xem [17]) phương phápchặt cụt Fourier truncation (xem [18]) Mục tiêu của đề tài này là thiết lập hàm nguồn

F (x) của bài toán (1.1) bằng phương pháp Fractional Tikhonov Phương pháp nàyđược giới thiệu bởi Daniel Gerth và nhóm nghiên cứu của ông (xem [19]) Phươngpháp Quasi-Boundary Value và phương pháp Tikhonov cổ điển là trường hợp đặcbiệt của phương pháp Fractional Tikhonov (xem [20])

3

2.2 Công thức của hàm nguồnF

Bổ đề 2.1 Giả sử Φ, Φ là các hằng số dương sao cho Φ≤Φ ≤Φ Giả sử chọn ϵ∈0, Φ

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu nghiệm mild của bài toán giá trị đầu sau

2.3 Tính không chỉnh của bài toán tìm hàm nguồn

Định lý 2.1 Bài toán xác định hàm nguồn trên là không chỉnh.

Chứng minh. Ta xác định toán tử tuyến tínhL: L2(Ω) → L2(Ω)như sau:

2.3 Tính không chỉnh của bài toán tìm hàm nguồn

2.4 Điều kiện ổn định của hàm nguồn

Nếu dữ liệu cuốiℓ =0 thìF = 0,ℓvàℓkđược ước lượng:

Định lý 2.2 Giả sửM >0, s >0 và giả thiết rằng∥F ∥Hm ( Ω ) ≤ M, ta có

∥F ∥L2(Ω) ≤C(m,M)∥ℓ∥

m m+1

ℓ(·), ej(·)

S (λj, γ,Φ)

2 m+1

ℓ(·), ej(·)

2m m+1

∑

j = 1

2ξ− 1

B ξ, A(Φ, λ1, T, γ)

 (3.11)

3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Từ (3.12), ta có ước lượng cho L1 L

3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm Bước 3: Tiếp theo, ta cần ước lượng∥A2∥L2(Ω),

3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

Chọn tham số chỉnh hóa β(ϵ)như sau:



ϵ

1 m+2Mm+21

 B(|Φ|,|Φ|)

 (3.22)



Mξ+11

 B(|Φ|,|Φ|)

ϵ

ξ ξ+1M1−ξ ξ+1

 (3.23)

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm theoquy tắc của Morozov (bạn đọc có thể xem trong [7])

3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

Từ các bất đẳng thức trên, ta có thể thấy rằng

2

S (λj, γ,Φ)

 Φ(2ξ−m−1)

ξ|4A(Φ, λ1, T, γ)|m + 1

 1 m+1 m + 1

β(ϵ)(·) L

2 ( Ω ) được thiết lập bởi định lý sau

Định lý 3.2 Giả sử điều kiện ổn định của hàm nguồn, giả định về sai số dữ liệu đầu vào

(1.6) thỏa và tồn tại δ>1 sao cho 0 <δϵ< ∥ℓϵ∥L2(Ω) Ta thu được các đánh giá sau

• Nếu 0<m <2ξ−1, thì

F (·) − Fϵ

β(ϵ)(·) L

2 ( Ω ) có bậc hội tụ ϵm+1m (3.34)16

3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

2ξ F (·), ej(·)ej(x)

L 2 ( Ω ) (3.38)Bất đẳng thức H ¨older cho ta kết quả

2ξ F (·), ej(·)ej(·)

m m+1

2ξ

F (·), ej(·)

S (λj, γ,Φ)