Toan 9 hsg cap quan q 12, tp ho chi minh nh 2022 2023

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 12 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 1 trang Môn thi Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN 12

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 1 trang

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho x 2022 2023 và y 2022 2023

Tính giá trị của biểu thức

 2023 4044 2022 4086461 2021  2023 4044 2022 4086461 2021

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh:

a b c a      a b b c      a c b c     2a b c  

b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca  2023

Tìm giá trị nhỏ nhất của  2   2  2

a b c P

 



Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau

a) 5 x25x28x1 x4

3 2

2

27 3 5

4

x x x

x



 



Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O các đường cao AD BE, và CF cắt nhau tại H

Gọi M P, lần lượt là trung điểm của AC và BC

a) Chứng minh: B F H D, , , cùng thuộc đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó;

b) Chứng minh: FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BFD ;

c) Vẽ đường kính AI của  O

, gọi diện tích tứ giác AEHF là S Chứng minh: 2OP2 S

Bài 5: (4, 0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của ABC

a) Chứng minh: AD DH. DB DC. và tan tan

AD

HD



;

b) Gọi a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh BC CA AB, , của ABC

Chứng minh:

sin

2 2

bc



Bài 6: (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; 

thỏa mãn phương trình:

2 4 3 2

(x 2023) y  6y 11y  6y

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm)

Cho x 2022 2023 và y 2022 2023

Tính giá trị của biểu thức:

 2023 4044 2022 4086461 2021  2023 4044 2022 4086461 2021

Lời giải

Ta có: Cx2023 4044x20224086461x2021  y2023 4044y20224086461y2021

2021 2 4044 4086461 2021 2 4044 4086461

C x x  x y y  y

(0,5đ) Với x2022 2023 và y2022 2023 ta được

2 4044 4086461

x  x

2

(2022 2023) 4044 2022 2023 4086461

4090507 4044 2023 8176968 4044 2023 4086461 0

2 4044 4086461

y  y

2

(2022 2023) 4044 2022 2023 4086461

4090507 4044 2023 8176968 4044 2023 4086461 0

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh:

a b c a      a b b c      a c b c     2a b c  

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

a b c a       a 

(0,5đ)

a b b c       b 

a c b c a b

a c b c        c

Ta được: a b c a      a b b c      a c b c     2a b c  

(0,5đ)

b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca  2023.

Tìm giá trị nhỏ nhất của  2   2  2

a b c P

 



Lời giải

Từ giả thiết ab bc ca  2023

Ta có: a22023a2ab bc ca  a b c a    

(0,5đ)

b  b ab bc ac   a b b c 

c  c ab bc ac   a c b c 

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

a   a b c a        

(0,5đ) Chứng minh tương tự, ta có:  2  3 5 2 2 2

Cộng theo vế các bất đẳng thức, ta được:

2

(0,5đ)

2 3 3 2

a b c

a b c P

a b c

 

 

 

Vậy min

2

1, 2 3

Bài 3: (4, 0 điểm) Giải phương trình sau

a) 5 x25x28x1 x4

b)

3 2

2

27 3 5

4

x x x

x



 



Lời giải a) 5 x25x28x1 x4 1  

5 x 5x 28 x 5x 4

Đặt t x25x28(t0)

Ta có: t2 x25x28

Phương trình (1) trở thành: t2  5t 24 0

 

 

8

3

t n

 

 



Ta có: x25x28 8

2

8 0

5 28 64

x x





 

x x

4

9

x

x





  

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: S 4; 9 

b)

3 2

2

27 3

5

4

x x x

x



 



2

27 3

4

x x

x





x2 4 x2 4 x2 4 27x3 3 *x 

(0,5đ) Đặt a x24;b3x thì phương trình  *

trở thành:

a  a b  b a b a ab b    a b

(0,5đ)

Do:

2

a ab b  a ab b  b  a b  b  

2

4 3

0

2

2

2

2 2

2

x

x

x x









 















Vậy nghiệm của phường trình là:

2 2

S 

 

 

Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O các đường cao AD BE, và CF cắt nhau tại H

Gọi M P, lần lượt là trung điểm của AC và BC

a) Chứng minh: B F H D, , , cùng thuộc đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó

b) Chứng minh: FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BFD

c) Vẽ đường kính AI của  O

, gọi diện tích tứ giác AEHF là S Chứng minh: 2OP2 S

Lời giải

a) Chứng minh: B F H D, , , cùng thuộc đường tròn và xác định tâm O (1 điểm)

Vì BFH vuông tại F  BDF nội tiếp đường tròn đường kính BH (0,5đ)

Vì BDH vuông tại D BDH nội tiếp đường tròn đường kính BH

, , ,

B F H D

 cùng thuộc đường tròn đường kính BH

b) Chứng minh: FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BFD (2 điểm)

Đường tròn ngoại tiếp BDF là đường tròn đi qua 4 đỉnh B F H D, , , ( BH là đường kính)

Ta có FCM HBF (vì cùng phụ với BAC ) (1)

Xét AFC vuông tại F có M là trung điểm AC

FM MA MC

MCF

  cân tại M

MFC MCF

Tương tự: O FB HBF '  (3)

Từ đó ta có MFC HFO  'O FB HFO '  ' 90  O FM ' 90

'

FM O F

FM

 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BDF (0,5đ)

c) Gọi diện tích tứ giác AEHF là S Chứng minh: 2OP2 S (2 điểm)

Chứng minh tứ giác BHCI là hình bình hành

P

Mà O là trung điểm AI

 OP là đường trung bình của AHI

 AH 2OP

S S S  AF FH AE EH



AF FH AE EH

AH AH AH

mà AH2 4OP2

Dấu “ = ” xảy ra khi AF FH AE HE; 

 ABC vuông tại (vô lý vì ABC nhọn)

Bài 5: (4, 0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của ABC

a) Chứng minh: AD DH. DB DC. và tan tan

AD

HD



b) Gọi a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh BC CA AB, , của ABC

Chứng minh:

sin

2 2

bc



Lời giải

a) Chứng minh: AD DH. DB DC. và tan tan

AD

HD

 (2 điểm)

Xét ADC và BDH có:

ADC BDH 90

DAC DBH (cùng phụ với ACB )

 ADCBDH (g-g)



AD BD

DC DH

Ta có:tan

AD B

BD



;tan

AD C DC



 tan tanB C AD AD

BD DC



2

AD

BD DC



Từ (*)

2

AD

BD DC

AD HD



Từ (1) và (2) tan tanB C

AD HD



(0,5đ)

b) Gọi a b c, , lần lượt là độ dài các cạnh BC CA AB, , của ABC

Chứng minh: sin 2 2

bc



(2 điểm)

Gọi AF là tia phân giác BAC Kẻ BM , CN lần lượt vuông góc với AF

Ta có: .sin 2

A

BM c

Tương tự .sin 2

A

CN b

Do đó ( ).sin 2

A

BM CN  b c

(0,5đ)

Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a   (0,5đ)

Nên ( ).sin 2

A

b c a

 sin

b c b c

Dấu “ = ” xảy ra khi: BM CN hay ABC cân tại A

Vậy:

sin

2 2

b c



(0,5đ)

Bài 6: (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; 

thỏa mãn phương trình:

(x 2023) y  6y 11y  6y

Lời giải

(x 2023) y  6y 11y 6y

 (x 2023)2 y y( 1)(y 2)(y 3) (0,25đ)

Ta có y y( 1)(y 2)(y 3) 1 (  y2 3y1)2 (0,25đ) (Áp dụng kết quả lớp 8 tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là 1 số chính phương)

Đặt (y2 3y1)2 A2  y y( 1)(y 2)(y 3)A2 ; 1 A 0 (0,5đ) Khi đó phương trình trở thành:

2 ( 2023)2 1

Hay (y y1)(y 2)(y 3) 0  y ; hoặc 1 y 2 hoặc y  (do y nguyên dương)3

Vậy các cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình là:

HẾT.