SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNHĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 18/3/2023 Bài[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023 Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023
Bài 1: (5,0 điểm).
1 Giải hệ phương trình:
2
x y
2 Giải phương trình: 3(x2 3x1) x4x21.
Bài 2: (5,0 điểm)
1 Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
4( 4
( 2 4)
2 Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d . Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30
Tính giá trị biểu thức
(12) ( 8) 2023
H
Bài 3: (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các đường kính DE, AF của đường tròn (O) Gọi G, I lần lượt là các giao điểm thứ hai của đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M
1 Chứng minh HO là phân giác của góc IHD.
2 Chứng minh KD DM
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong AD BE CF, , cắt nhau tại I Chứng
Bài 5: (2,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cho đa giác đều có 2n đỉnh n N n , 3 Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 1000
-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 - 2023 Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Lưu ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số
Bài 1: (5,0 điểm).
1 Giải hệ phương trình:
2
x y
2 Giải phương trình: 3(x2 3x1) x4x21.
m
1) Giải hệ phương trình:
2
x x y y
x y
1 (2,5
điểm)
2
x y
2
2 2 5
x y
x xy y
0,25
0,25
Trang 3Ý Đáp án Điể
m
2
1; 1
x y x y x
TH
2
2
x y x y x
x 2 2 (loại)
0,25
0,25 0,25
5 2
TH
2
1
2 x
y
vì x y 4; 2 0
2 2
1
x
y xy
Mà x2 xy y 2 5 TH2 vô nghiệm
0,25
0,25 0,25 0,25
Vậy hệ có 2 nghiệm 1 1
2) Giải phương trình: 3(x2 3x1) x4x21.
2.(2,5
điểm)
3(x 3x 1) x x 1.
Vì x4x2 1 0 với x x4x2 1 0 x
ĐK x2 3x 1 0
0,25
Ta có:
2 32 18 18 2 0
9 16 9 1 0
0,25
0,25
Vì x = 0 không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho x2 ta được:
2
2
2 2
9 1
( ) 9( ) 16 0
x x
0,25
Trang 4Ý Đáp án Điể
m
Đặt
2
2
phương trình trở thành
2
2
2 9 16 0
9 14 0
81 56 25 0
7, 2
0,25
0,25
Với
2
1
x
1
49 4 45
7 3 5 2
x
loại vì x2 – 3x + 1 < 0
2
7 3 5 2
x
loại vì x2 – 3x + 1 < 0
0,25
0,25 Với y = 2
2
1
x
Bài 2: (5,0 điểm)
1.Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
4( 4
( 2 4)
2.Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d . Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30
Tính giá trị biểu thức
(12) ( 8) 2023
H
1) Cho các số thực x,y thỏa mãn x – 2y + 4 < 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
4( 4
( 2 4)
Ta có :
2 2
2
2 2
2
4( 4 4
( 2 4)
4 ( 4) 4(2 4) ( 4) 4(2 4)
x y
y x
0,25
Đặt 4
a y
b y x
0,25
Trang 5Ý Đáp án Điểm
1.(2,5 điểm)
Khi đó
2 2
2
4( 4 )
b
0,25
2 2
(1 ) 4
Vì
0
a
,
2
4
b
,
0 2 4
0 4.4 16
P
Dấu “ =” có khi
0,5
Vậy GTNN của P = 16 khi x = 2, y = 4
0,25
2).Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d . Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30
Tính giá trị biểu thức
(12) ( 8) 2023
H
2.(2,5 điểm)
P(1) = 10 a + b + c + d = 9
P(2) = 20 8a + 4b + 2c + d = 4 16a = 8b + 4c + 2d = 8 P(3) = 30 27a + 9b + 3c + d = – 51
Lấy + – ta được 6a + b = – 25 P(12) = 20736 + 1728a + 133b + 12c + d P(– 8) = 4096 – 512a + 64b – 8c + d P(12) + P(– 8) = 1216a + 208b + 4c + 2d + 24832
= 1214a + 206b + 2c +2(a + b + c + d) + 24832 = 1188a + 198b + (26a + 8b + 2c) + 2.9 + 24832 = 198(6a + b) – 60 + 24850
= 19840
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 3: (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất kì nằm trong tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, dựng các
Trang 6đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K là giao điểm của AI và DG Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên OP, đường thẳng OP cắt EF tại M
1.Chứng minh HO là phân giác của góc IHD .
2.Chứng minh KD DM
1 (2,5 điểm )
1.Chứng minh HO là phân giác của góc IHD .
Ta có : AIF 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25
180 0 90 0
Tương tự ta có : KGP 900 mà KH OP KHP900 0,25
năm điểm H, K, G, P, I cùng nằm trên đường tròn đường kính
IHP IGP
mà
2
IGP IDE s IE
IHP IDE
OHD OID ODI IHO
2 (2,5 điểm)
Ta có
90 0 90 0 90 0
( Do
IHO IDO
hay PHI IDE )
0,25
mà IDE vuông tại I nên 900 IDE IED
KHD IED IAD
suy ra AHKD là tứ giác nội tiếp (*) 0,25
Mặt khác HIP IDE IFE PFM 0,25
IHP MFP g g
IP PH
PF PI PM PH
Ta chứng minh được AIP FDP g g( ) PI PE PA PD. . (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra PM.PH = PA.PD hay tứ giác HIMD nội tiếp(**)
Trang 7Ý Đáp án Điểm
Từ (*) và (**) suy ra năm điểm A, H, K, D, M thuộc một đường tròn
Suy ra tứ giác HKDM nội tiếp
0,25
0 0
180 90
KHM KDM KDM
Hay DM KD
0,25
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong AD BE CF, , cắt nhau tại I Chứng
Dấu “ =” xẩy ra
a b c
b a c
c a b
2
Trang 8Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa giác đều có 2n đỉnh n N n , 3 Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 1000
5 (2,0điểm)
Giả sử đa giác
1 2 3 2n
A A A A
Nội tiếp ( O ) Ta thấy các đỉnh tạo ra các cung AiAi+1 có số đo
360 180 2
o o
Có 2n đỉnh chứa góc > 100o tại đó
Gọi tam giác Am AiAp là tam giác thỏa mãn yêu cầu với
A A A m i p 1000
Giả sử :
m i p
A A A
chắn x cung có số đo
0
180
n
và
m p i
A A A
chắn y cung
có số đo
0
180
n
(x , y là các số tự nhiên khác 0)
2
i m p m p i
n
0,25
0,25
0,25
180 ( ) 100 2
m i p
n
8 ( )
9
n
x y
mà
,
9
n
x y N x y K
Khi đó tồn tại
Trang 9Để x +y +z =k (1)
Khi đó cặp số ( x;y) thỏa mãn (1) là số tam giác AmAiAp thỏa
mãn
Ta có : x = 1 => tồn tại k – 1 số y
X =2 => tồn tại k – 2 số y
X = 3 tồn tại k – 3 số y
X= k tồn tại có 1 số y
0,25
Khi đó tổng bộ ( x;y) là 1+2+3+ +( k-1) =(k-1).k/2
Vậy tổng số tam giác là
2
k k
Với
8
9
n
k
0,25