Bai Tap - Phuong Phap Tinh - Ts. Nguyen Van Quang.pdf

Bài tập Phương pháp tính Bài tập Phương pháp tính TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 1 Chương 1 Tính gần đúng, sai số Bài 1 Phép đo có kết quả 999 847 ( ) 0 001( )g g   Xác định sai số[.]

Vì tất cả các chữ số của x đều đáng tin nên:  x 0.5 10 2   x 0.5 10 2

y x

u



Chương 2 Giải hệ phương trình đại số

3 4

x x

Bài 3: Tìm ma trận X thoả mãn phương trình:

Chọn x0 g và lập dãy  xn theo công thức sau: xn1 Bxn g

Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: nếu

1

B

n ij i

Chương 3 Trị riêng, véc tơ riêng

A Phương pháp lũy thừa

Tìm trị riêng có biên độ lớn nhất (trị tuyệt đối lớn nhất) trong các trị riêng của bài toán:





Lập dãy  n theo công thức sau: Axn  n1xn1

Chọn x0  1,1,1T Sau mỗi bước đưa 1 thành phần (ở cùng 1 vị trí so với các véc tơ riêng trong các bước lặp trước) của véc tơ riêng x về 1 (tỷ lệ hóa) n

 là trị riêng có biên độ bé nhất của ma trận A

Bài 1: Dùng phương pháp lũy thừa, lũy thừa nghịch đảo đến bước lặp thứ 4, tìm trị riêng có biên độ lớn nhất, bé nhất và véc tơ riêng tương ứng của ma trận sau:

Chương 4 Phương trình phi tuyến

Định nghĩa: Khoảng phân ly nghiệm là khoảng chứa 1 nghiệm duy nhất của phương trình

a Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm

b Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn đối với khoảng phân ly nghiệm này

c Sử dụng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ 4 với x0  0.5, đánh giá sai số tại bước lặp này

x x       Do đó: x4  x

Bài 2: Cho phương trình: 3

5x 20x 3 0 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn với độ chính xác 104, biết khoảng phân ly nghiệm là  0,1

Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: Nếu f   x , f x liên tục, không đổi dấu trên

 a b Với , x0 thỏa mãn: f x   0  f x0 0 Khi đó: lim n

a Chứng minh 6.94, 6.23  là khoảng phân ly nghiệm

b Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp Newton đối với khoảng phân ly nghiệm này

c Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ 3, đánh giá sai số tại bước lặp này

Do đó: f   x , f x liên tục, không đổi dấu trên 6.94, 6.23 

Mà f 6.9  f 6.90 nên chọn x0  6.9 Phương pháp Newton sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác x

e dt

 , chính xác đến 6 chữ số thập phân

Do đó f x đồng biến trên   0, 1 3 và nghịch biến trên 3  31 3, 2

Ta có: f  0   1 0, f 31 3 0, f 2 0 Nên 0, 1 3 , 3  31 3, 2 là các khoảng phân ly nghiệm, mà f x  f  2 0,x2 Vậy phương trình f x 0 sẽ có 2 nghiệm dương duy nhất thuộc các khoảng trên

Xây dựng dãy nghiệm  x n theo công thức truy hồi:  

Như vậy 2 nghiệm dương gần đúng là: x2 x1;x4 x2

Bài 4: Sử dụng phương pháp Newton, tìm nghiệm dương của phương trình:

Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: Nếu f   x , f x liên tục, không đổi dấu trên

 a b , không giảm tổng quát giả sử , f x 0,x a b, Khi đó lim n

a Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm

b Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp dây cung đối với khoảng phân ly nghiệm này

c Sử dụng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá 102

f x  x  x  x  là khoảng phân ly nghiệm

b f x 6x   2 0 1 f x 6 Do đó, phương pháp dây cung sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác

Chương 5 Xấp xỉ đa thức, nội suy

I Đa thức nội suy

Giả sử ta có bảng các giá trị (mốc nội suy):

x x0 x1 …… x n

 

y f x y0 y1 …… y n

Xây dựng 1 đa thức (nội suy) bậc n, yP x n  đi qua các điểm x y i, i

Sai phân tiến (lùi) cấp 1 tại x i:  f i : f i1 f i  f i : f i  f i1

D Đa thức nội suy Newton lùi với mốc cách đều

Giải: Vì các mốc nội suy không cách đều Ta tính các tỷ sai phân (tiến):

Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách đều xuất phát từ x0:

a Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 của hàm số trên, tính gần đúng giá trị

Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách đều xuất phát từ x0:

Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách đều xuất phát từ x : 0

Đa thức nội suy Newton lùi, mốc cách đều xuất phát từ x : 3

II Bình phương tối thiểu

Giả sử ta có bảng các giá trị (mốc nội suy):

2 1

a b c

S S S

Giải: Lập bảng tỷ sai phân (tiến):

2

55.55533 326.7866 0.12

0.127422.7571

Giải: Vì mốc nội suy cách đều, nên ta có thể thực hiện theo 2 cách

Cách 1: Lập đa thức nội suy Newton tiến với mốc cách đều với h0.02:

0.000

1

120.77393 0.00874

2!

P t    t t t

21

2!

0.00010.00874

!4

b a h h

Bài 1: Cho tích phân:

a Tính gần đúng tích phân trên theo công thức hình thang, với h0.1

b Đánh giá sai số của giá trị gần đúng tìm được

c Khi sử dụng công thức hình thang, phải chia đều đoạn 2.1,3.1 bằng ít nhất bao nhiêu 

điểm chia để sai số nhỏ hơn 10-4

 Chọn n55, vậy cần ít nhất 56 điểm chia

Bài 2: Cho tích phân:

3.5

2.0

11

a Tính gần đúng tích phân trên theo công thức Simson 1/3, với n12

b Đánh giá sai số của giá trị gần đúng tìm được

Chương 8 Giải gần đúng phương trình vi phân

Tính y1 y x 1  y0.25:

2 3

1 0.25 2 0.3125 2 0.32031 0.39258 1.318036

k k

k k y

Chú ý: Nghiệm chính xác của ptvp được giải bằng phương pháp thừa số tích phân, nhân cả 2

vế của ptvp với ex, đưa ptvp về dạng toàn phần, khi đó:y   1 x 2e x

Nghiệm chính xác của ptvp tại các điểm chia: y1 1.318050834,y2 1.797442542

Bài 4: Cho phương trình vi phân: 2  

Bài 5: Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp

Runge-Kutta bậc 4 tại x0.6, với bước h0.1: