Luận án tiến sĩ toán giải tích về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

Về các kếtquả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phươngtrình parabolic trong không gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tôi, chỉcó một số kết quả trong các

MỤC LỤC

1.1 Một số kiến thức về Giải tích 24

1.2 Một số kiến thức về nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn 30

1.3 Bài toán đặt không chỉnh 35

1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn 38

Chương 2 Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian 42 2.1 Giới thiệu bài toán 42

2.2 Đánh giá ổn định 49

2.3 Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn 51

2.4 Thuật toán và ví dụ số 63

2.5 Kết luận Chương 2 72

Chương 3 Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian 73 3.1 Giới thiệu bài toán 73

3.2 Đánh giá ổn định 75

3.3 Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn 79

3.4 Thuật toán và ví dụ số 88

3.5 Kết luận Chương 2 97

Chương 4 Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

4.1 Giới thiệu bài toán 98

4.2 Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn 100

4.3 Thuật toán và ví dụ số 114

4.4 Kết luận Chương 3 118

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của riêng tôi Luận án nàyđược hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học củaPGS TS Nguyễn Văn Đức và TS Nguyễn Trung Thành Các đồng tác giảcũng đã đồng ý để tôi đưa các kết quả viết chung vào luận án Các nội dung,kết quả, kết luận mà tôi trình bày trong luận án này là mới và chưa từngđược công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác

Tác giả

Lương Duy Nhật Minh

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đếnnhững người Thầy của mình: PGS TS Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tựnhiên, Trường Đại học Vinh) và TS Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại họcRowan, Hoa Kỳ) là những người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu chotác giả Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, các Thầy luôn nhiệttình và tận tâm chỉ dạy cho tác giả nhiều điều, dưới sự hướng dẫn khoa họccủa Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Đức và Thầy giáo TS Nguyễn TrungThành, luận án đã được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các quý Thầy Cô trong Bộ môn Giảitích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng banchức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giảhoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh

Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những người bạnthân thiết đã luôn sẻ chia, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Tác giả

Lương Duy Nhật Minh

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa của ký hiệu

1 Lp(Rn) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p

khả tích trên Rn, p = 1, 2

2 k · kL2 Chuẩn trong không gian L2(Rn)

3 F(v) := bv Phép biến đổi Fourier của hàm v ∈ L2(Rn)

4 F−1(v) := ˇv Phép biến đổi Fourier ngược của hàm v ∈ L2(Rn)

5 Hp(Rn) Không gian Sobolev Hp(Rn)

6 k · kHp Chuẩn trong không gian Sobolev Hp(Rn)

7 ||| · |||q Chuẩn ||| · |||q trong không gian Sobolev Hp(Rn)

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic đã được các nhàkhoa học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ 20 Các nhà toánhọc có các công trình về bài toán xác định nguồn có thể kể ra là Cannon([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99],[103]), Yang và Fu ([27, 133]),

Bài toán kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]).Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn

cả ba điều kiện sau:

i) Nghiệm của bài toán luôn tồn tại

ii) Nghiệm của bài toán là duy nhất

iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, thì bàitoán được gọi là đặt không chỉnh Với bài toán đặt không chỉnh, một sai sốnhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến sai lệch lớn về nghiệm Do đó, bài toánđặt không chỉnh thường khó giải số hơn bài toán đặt chỉnh vì các dữ liệu sửdụng trong các bài toán này thường được tạo ra do đo đạc nên không tránhkhỏi có sai số Hơn nữa nhiều tính toán chỉ được thực hiện gần đúng Để giảicác bài toán đặt không chỉnh, các nhà khoa học thường đề xuất các phươngpháp chỉnh hóa, tức là sử dụng nghiệm của một bài toán đặt chỉnh để làmnghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh ban đầu

Các nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolicthường tập trung vào ba chủ đề chính đó là:

i) Tính duy nhất nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]).ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]).iii) Các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32,

33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135])

Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về bài toán xác định nguồn chophương trình parabolic do đây là mô hình toán học của các bài toán thực tiễnnhư xác định nguồn nhiệt trong phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]),xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm không khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]), Hiện nay có nhiều vấn đề mở liên quan đến bài toán xác định nguồn chophương trình parabolic cần được nghiên cứu, trong đó các kết quả về đánhgiá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộcthời gian chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, chỉ có một vài kết quả vềtính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra trong [25, 111].Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolicbậc phân đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]) Tuy nhiên, hầu hết các kếtquả kể trên dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gianhoặc theo biến không gian, chỉ có ít kết quả dành cho phương trình parabolicbậc phân theo cả biến không gian và thời gian ([3, 5, 69, 124]) Về các kếtquả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phươngtrình parabolic trong không gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tôi, chỉ

có một số kết quả trong các công trình của Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]),Hasanov ([57]) và Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]).Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mìnhlà: "Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic"

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án nghiên cứu bài toán xác định nguồn trong 03 trường hợp:

i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gianHilbert L2(Rn);

ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời giantrong không gian Hilbert L2(Rn);

iii) Phương trình parabolic trong không gian Banach.

4 Phạm vi nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu các đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa

và phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn cho: phương trìnhparabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2(Rn);phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trongkhông gian HilbertL2(Rn); phương trình parabolic trong không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản chuyên ngành ToánGiải tích và Toán Ứng dụng Do đó, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương phápsuy luận lôgic trên cơ sở các kết quả đã có Đồng thời chúng tôi sử dụng cácphương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu trong lĩnhvực bài toán ngược và bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic.Luận án đã đạt được một số kết quả về đánh giá ổn định, đề xuất cácphương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải bài toán xác định nguồncho phương trình parabolic Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho họcviên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng

và những người quan tâm đến hướng nghiên cứu này

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Để tiện cho việc giới thiệu các kết quả nghiên cứu liên quan đến bài toánxác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tôi lấy một ví dụ cụ thểcủa phương trình parabolic tuyến tính trong không gian Hilbert Cho T là

số thực dương, X là không gian Hilbert với chuẩn k · k, u : [0, T ] → X làhàm từ [0, T ] đến X và F ∈ X Ta xét bài toán giá trị ban đầu







u0(t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),u(0) = 0,

(1)

trong đó A là toán tử tuyến tính không bị chặn trên X Bài toán (1) là bài

toán thuận, trong đó ta cần xác định u khi F đã biết Bài toán xác địnhnguồn cho (1) là tìm hàm nguồnF từ các đo đạc của hàm u Đây là một bàitoán ngược Có nhiều kiểu đo đạc khác nhau được sử dụng, ví dụ: đo đạc trênbiên, đo đạc tại thời điểm cuối hoặc đo đạc tại một số điểm rời rạc Do đó,

có rất nhiều dạng bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Cácbài toán xác định nguồn là các bài toán đặt không chỉnh Do tính đặt khôngchỉnh, nghiệm của bài toán không phải bao giờ cũng tồn tại và trong trườnghợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán Điềunày làm cho bài toán đặt không chỉnh khó giải hơn nhiều so với các bài toánđặt chỉnh Thông thường, các nhà toán học phải đề xuất các phương phápchỉnh hóa để giải các bài toán đặt không chỉnh

Sau đây, chúng tôi tóm tắt một số công trình tiêu biểu về bài toán xácđịnh nguồn cho phương trình parabolic Năm 1968, Cannon ([13]) đã xemxét bài toán xác định nguồn nhiệt từ quan sát trên biên Giả sử V là mộtmiền bị chặn trong không gian Rn với biên S và D là một tập con của S.Cannon xét bài toán tìm cặp hàm u = u(x, t) và f = f (x) cho bài toán giátrị biên ban đầu

trong đó,∆ulà toán tử Laplace,φ(x, t)vàg(x, t) là các hàm đã biết Cannon

đã chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một nghiệm (u, f ) cho phương trìnhtrên và đã xây dựng một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Đểchứng tỏ rằng bài toán trên là đặt không chỉnh, Cannon đưa ra ví dụ

đó, với mỗi số nguyên dương n, nghiệm của bài toán trên sẽ là

∂x(0, t) hội tụ đều về 0nhưng kfnk

lại tiến ra vô cùng Năm 1993, Yamamoto ([130]) đã giải bài toán xác địnhnguồn nhiệt trong miền Ω × T trong đó Ω = (0, 1) × (0, 1), với nguồn nhiệt

có dạng tách biến Cụ thể, Yamamoto đã nghiên cứu bài toán giá trị biênban đầu của phương trình truyền nhiệt trong không gian hai chiều

Năm 1990, Cannon ([15]) cũng đã đạt được một số kết quả về đánh giá

ổn định cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trongkhông gian R3 Năm 1998, Cannon và cộng sự ([16]) đã đề cập đến bài toánxác định nguồn với hàm nguồn có dạng f (t) = f (u(t)) Trong bài báo này,

họ chủ yếu nghiên cứu về tính duy nhất nghiệm

Năm 2004, Yi và Murio ([137, 138]) đã sử dụng phương pháp làm nhuyễn

để giải bài toán xác định nguồn trong không gian một chiều và hai chiều Họđạt được các đánh giá ổn định, các đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa vàcũng thực hiện một vài ví dụ số để làm rõ phương pháp mà họ đề xuất.Năm 2005, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([119]) đã nghiên cứu bài

toán tìm cặp hàm (u, f ) thỏa mãn

(8)

trong đó hàm φ và hàm dữ liệu g đã được biết Họ đã chứng minh tính duynhất nghiệm (u, f ) và đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa trên phép biếnđổi Fourier

Năm 2006, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([120]) đã mở rộng nghiêncứu bài toán trên cho nguồn nhiệt có dạng φ(t)f (x, y) trong không gianhai chiều Họ đã chứng minh được rằng bài toán này có duy nhất nghiệm

f (x, y) Bên cạnh đó, các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân

và phương pháp biến đổi Fourier để chỉnh hóa bài toán

Năm 2009, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([121]) đã nghiên cứu bàitoán xác định nguồn nhiệt có dạng tách biến trong không gian hai chiều Cụthể, họ đã xét bài toán xác định cặp hàm (u, f ) thỏa mãn

u(x, y, 0) = g(x, y),

(9)

với (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), t ∈ (0, T ), trong đó g ∈ L1(Ω) và φ ∈ L1(0, T ) đãbiết Họ đã xây dựng được nghiệm chỉnh hóa f từ dữ kiện không trơn bằngcách sử dụng phép nội suy và phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier Cũngtrong năm 2009, Dou, Fu và Yang ([27]) đã đề xuất chỉnh hóa cho bài toánxác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiềubằng kỹ thuật dựa trên phương pháp tựa đảo Họ đạt được đánh giá sai sốgiữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnhhóa kiểu tiên nghiệm, họ cũng thiết lập thuật toán giải số và thực hiện các

ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa

Năm 2010, Cheng, Zhao, Fu ([22]) đã sử dụng phương pháp chỉnh hóaTikhonov để giải một bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt

Cũng trong năm 2010, Yang và Fu ([131]) đã sử dụng phương pháp Tikhonov

để xác định nguồn phụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt Họ

đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa đồng thời họ cũng đạt được đánh giá sai

số kiểu H¨older giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác, họ cũng khẳngđịnh trong bài báo rằng đánh giá sai số đạt được là tối ưu

Năm 2011, Ismailov và các cộng sự ([67]) chứng minh sự tồn tại và tínhduy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn nhiệt như sau

f (x, t) trong không gian một chiều Cũng trong năm 2012, Hasanov ([55])

đã xác định nguồn phụ thuộc cả không gian và thời gian cho phương trìnhtruyền nhiệt trong không gian một chiều Tác giả cũng sử dụng phương phápbiến phân để xác định nguồn nhiệt có dạng F (x)H(t) trong không gian mộtchiều, họ đã tách thành hai bài toán xác định nguồn, bài toán thứ nhất làxác định F (x)khi biết H(t), bài toán thứ hai là biếtF (x) và xác định H(t)

Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán thứ nhất, tuy nhiênđiều đó chưa chắc đúng ở bài toán thứ hai Để giải hai bài toán trên họ đã sửdụng phương pháp chỉnh hóa gradient liên hợp và họ cũng xây dựng thuậttoán và trình bày các ví dụ số để mô tả tính hữu hiệu của phương pháp chỉnhhóa mà họ đề xuất

Năm 2013, Hasanov và Pektas ([56]) đã áp dụng phương pháp gradientliên hợp để xác định hàm số phụ thuộc thời gian trong nguồn nhiệt có dạngtách biến với quan sát dữ kiện biên Dirichlet Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán

tìm nguồn nhiệt phụ thuộc thời gian trong bài toán truyền nhiệt dưới đây

họ xây dựng thuật toán và thực hiện các ví dụ số để mô tả cho phương phápchỉnh hóa mà họ đề xuất

Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình paraboliccũng được Đinh Nho Hào cùng các cộng sự quan tâm nghiên cứu Họ đề xuấtgiải các bài toán này với quan sát tích phân ([51], [94]) Cụ thể, trong [51],các tác giả đã nghiên cứu bài toán sau ChoΩ là một miền bị chặn trong Rnvới biên ∂Ω và T là một số thực dương cho trước Kí hiệu Q := Ω × (0, T ],

S := ∂Ω × (0, T ], xác định f1(x) và f2(t) trong bài toán

u(x, t)dt = g(x), x ∈ Ω,

Z

Ω

ω1(x)f1(x)dx = C0

Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm Sau đó,

họ sử dụng phương pháp gradient liên hợp để chỉnh hóa bài toán này Các

ví dụ số trong không gian một chiều và hai chiều cũng đã được họ trình bày

để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa Trong [94], các tác giả nghiên cứu

bài toán sau trong miền Ω ⊂Rn

u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S := ∂Ω × (0, T ],

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,

(14)

ở đây, ∂Ω là biên của Ω, ai (i = 1, , n), b và ϕ ∈ L∞(Q), g ∈ L2(Q),

f ∈ L2(0, T ) và u0 ∈ L2(Ω) Các tác giả đã giải bài toán bằng phương phápsai phân hữu hạn và đề xuất thuật toán để giải số bài toán này

Năm 2016, Yang và các cộng sự ([136]) đã giải bài toán xác định nguồnphụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt, cụ thể họ xét trường hợpxác định hàm nguồn chỉ phụ thuộc vào biến thời gian trong bài toán sau

u(0, t) = 0, t > 0,u(x, t)|x→∞ bị chặn , t > 0,u(1, t) = g(t), t > 0

(15)

Họ khôi phục lại hàm nguồn từ dữ liệu bổ sung u(1, t) = g(t) Bằng cách

sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa, họ đạt được đánh giá sai sốkiểu Logarit cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểutiên nghiệm và hậu nghiệm

Năm 2018, Prilepko và các cộng sự ([103]) cũng xem xét bài toán xácđịnh nguồn cho phương trình parabolic với quan sát tích phân, họ đã nghiêncứu về sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm

Cũng trong năm 2018, Yan Gu và cộng sự ([43]) đã xem xét bài toánxác định nguồn phụ thuộc thời gian trong không gian ba chiều Họ sử dụngphương pháp sai phân hữu hạn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn trongkhông gian ba chiều Họ xét bài toán: Xác địnhu(x, y, z, t) và f (t) thỏa mãn

trong đó, u0(x, y, z) và b(x, y, z, t) là các hàm đã biết Cũng trong năm này,Ismailov ([68]) đã giải bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệtvới điều kiện biên Wentzell–Neumann không địa phương.

Năm 2019, Hazanee và các cộng sự ([59]) đã xét bài toán xác định nguồnphụ thuộc thời gian cho phương trình truyền nhiệt với điều kiện biên khôngđịa phương trong không gian một chiều

cố định, các tác giả xét bài toán xác định nguồn λ(t)f (x) trong hệ phươngtrình khuếch tán sau

(18)

trong đó λ(t) > 0, u0(x) được cho trước và g(x) là dữ liệu tại thời điểmcuối t > 0 Các tác giả sử dụng phương pháp giải tích mở rộng (the analyticcontinuation method) để chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra đánhgiá ổn định cho bài toán này

Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải bài toán xác định nguồn chophương trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo ([134, 135]),phương pháp Tikhonov ([129, 131]), phương pháp tựa giá trị biên ([128]),phương pháp biến phân ([88]), phương pháp gradient liên hợp ([55, 56]),phương pháp làm nhuyễn ([40, 46, 47, 91, 136]) Trong luận án này, chúngtôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn

cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gianHilbert, sau đó chúng tôi tiếp tục sử dụng phương pháp này để chỉnh hóabài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thờigian và không gian trong không gian Hilbert Tuy nhiên, đối với bài toán xácđịnh nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach thì phươngpháp làm nhuyễn không sử dụng được, do đó chúng tôi sử dụng một phươngpháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán này Một số kếtquả sử dụng lý thuyết nửa nhóm để giải bài toán xác định nguồn cho phươngtrình parabolic trong gian Banach có ở các công trình [57, 105].

Sau đây, chúng tôi tóm tắt về các dạng bài toán xác định nguồn chophương trình parabolic mà luận án nghiên cứu và tóm tắt về những kết quảchính mà luận án đã đạt được

i) Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phươngtrình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian HilbertL2(Rn).Khi tìm hiểu về dạng bài toán này, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bàitoán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số không phụ thuộcthời gian, có nhiều kết quả đạt được liên quan đến tính duy nhất nghiệm[13, 59, 63, 64, 99, 103]; đánh giá ổn định [28, 31, 32, 49, 50, 64, 79, 125] vàcác phương pháp chỉnh hóa [27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129].Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài toán tìm cặp hàm

ra trong [25, 111] Trong [25], các tác giả xét bài toán xác định nguồn phụthuộc biến không gian cho phương trình parabolic với các hệ số phụ thuộcvào không gian và thời gian Cụ thể, với miền Ω ⊂ Rn, họ xét bài toán xác

với T > 0 là thời điểm cuối, L là toán tử elliptic vi phân tuyến tính cấphai với hệ số phụ thuộc vào cả biến thời gian và không gian, ∂Ω là biên củamiền Ω Họ xác định hàm nguồn f (x) với các điều kiện của bài toán thuận

và thêm thông tin bổ sung từ dữ liệu đo đạc tại một thời điểm nhất định

u(x, T ) = ΨT(x) Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra mộtphương pháp lặp ổn định để giải bài toán này Trong [111], các tác giả đưa

ra các kết quả về tính duy nhất nghiệm của một số bài toán xác định nguồncho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian Một ví

dụ về bài toán xác định nguồn mà họ xét trong nghiên cứu này đó là: xácđịnh f (x) thỏa mãn

số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểutiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 và 2.3.5) Chúng tôi đề xuất thuậttoán và trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đã

sử dụng

ii) Thứ hai, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phươngtrình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian trong không gianHilbert L2(Rn) Trong những năm gần đây, các phương trình đạo hàm riêngbậc phân đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vì đây là một vấn

đề toán học có tính ứng dụng thực tiễn Các nhà khoa học sử dụng phươngtrình đạo hàm riêng bậc phân để mô tả các hiện tượng vật lí, quá trình truyền

nhiệt, phản ứng hóa học, ô nhiễm nguồn nước, tốc độ tăng trưởng dân số,bệnh thủy đậu, các mô hình bệnh do virus, các vấn đề trong hóa học, sinhhọc, kỹ thuật cơ khí, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, lĩnh vực tài chính([9, 10, 18, 41, 90, 97, 104, 108, 127]).

Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân cũng là

mô hình bài toán thực tế Phương trình parabolic bậc phân xuất hiện khi tathay đạo hàm bậc nguyên trong phương trình ban đầu bằng một đạo hàmbậc phân Theo sự tìm kiếm của chúng tôi, có nhiều nghiên cứu về bài toánxác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân (xem [75, 86, 87, 127,

128, 133, 134, 135] và các tài liệu tham khảo trong các nghiên cứu đó) Cácnghiên cứu liên quan đến tính duy nhất nghiệm của bài toán này có thể xemtại [5, 20, 86]; các nghiên cứu về đánh giá ổn định, xem tại [3, 5, 71, 86, 134]

và các nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa có thể tìm thấy tại [19, 134, 135]cùng các tài liệu tham khảo trong các công bố đó Năm 2013, Zhang, Wei([127]) đã đưa ra đánh giá ổn định và chỉnh hóa của bài toán xác định nguồncho phương trình khuếch tán bậc phân Năm 2014, Yang và các cộng sự([133]) đã giải bài toán xác định nguồn cho phương trình khuếch tán bậcphân theo thời gian bằng phương pháp làm nhuyễn Họ xét bài toán xácđịnh hàm nguồn f (t) dưới đây

∂u(x, s)

∂s

ds(t − s)α, 0 < α < 1,

∂0α+u(x, t) = ∂u(x, t)

∂t , α = 1.

Mục đích của họ là xác định f (t) từ dữ liệu đo trên biên u(1, t) = g(t).Các tác giả trong [133] đưa ra đánh giá sai số theo luật chọn tham số kiểutiên nghiệm và hậu nghiệm Đối với luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm, họđạt được đánh giá ổn định kiểu H¨older Đối với luật chọn tham số kiểu hậu

nghiệm, họ đạt được đánh giá sai số kiểu Logarit Ngoài phương pháp làmnhuyễn, các tác giả kể trên còn sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier đểgiải bài toán (22) ([134]) Năm 2015, Yang và Fu ([135]) tiếp tục nghiên cứubài toán xác định nguồn của phương trình parabolic bậc phân theo biến thờigian bằng phương pháp tựa đảo và họ cũng đạt được đánh giá sai số theo cảluật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm.

Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài toán xác địnhnguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và khônggian trong không gian Hilbert L2(Rn), bài toán như sau: Tìm cặp hàm

về các thành phần này được nêu rõ trong các phần sau của luận án

Theo sự tìm kiếm của chúng tôi, các nghiên cứu thường tập trung vào bàitoán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân chỉ theo biến thờigian ([86, 128, 133, 134, 135]), hoặc chỉ theo biến không gian ([6, 69, 70, 110]),chỉ có một số ít kết quả đối với bài toán có phương trình theo cả biến khônggian và thời gian như bài toán chúng tôi nghiên cứu Kết quả về tính tồntại và duy nhất nghiệm, hay một số đánh giá ổn định của bài toán xác địnhnguồn nói trên đã được đưa ra trong các nghiên cứu [3, 4, 5, 69, 83, 113, 114].Chẳng hạn như trong [114], các tác giả xét bài toán xác định hàm u(t, x) và

trong đó, ΩT := (0, T ) × Ω, r > 0 là tham số, f (x) ∈ L2(Ω), h(t, x) chotrước là hàm khả vi liên tục, β ∈ (0, 1), α ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậcphân theo biến thời gian và không gian, T > 0 là thời điểm cuối và ∂β

∂tβ làđạo hàm bậc phân Caputo Với dữ liệu tại thời điểm cuối T, các tác giả đãchứng minh được nghiệm tồn tại và duy nhất Trong [83], các tác giả xét bàitoán xác định thành phần phụ thuộc thời gian p(t) của hàm nguồn có dạng

trong đó, ΩT := Ω × (0, T ], Ω ⊂ Rn; T > 0 là thời điểm cuối; α ∈ (0, 1),

β ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậc phân theo biến thời gian và không gian;

∂0+α là đạo hàm bậc phân Caputo Các tác giả đã chứng minh tính duy nhấtnghiệm và đưa ra đánh giá ổn định cho bài toán này Trong [124], các tácgiả nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậcphân theo biến không gian và thời gian, bài toán của họ ngoài các thông

số tương tự [114] thì họ thay phương trình đầu của (24) bởi phương trình

∂β

∂tβu(t, x) = −rβ(−∆)α/2u(t, x) + f (x)h(t) Hàm h lúc này chỉ phụ thuộcvào biến thời gian t Ngoài ra, ở phương trình u(T, x) = ϕ(x), thì trong đó

x ∈ Ω thay vì x ∈ ¯Ω Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt Fourier

để giải bài toán này, họ nêu ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,

họ đã đưa ra đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham sốchỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm Tuy nhiên, các tác giả đã khôngđưa ra các ví dụ số để minh họa cho kết quả của họ

Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh được đánh giá ổn định với bậctối ưu cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phântheo biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2(Rn)(Định lý3.2.3 và Nhận xét 3.2.4) (dựa vào kết quả về bậc tối ưu trong [115]) Chúngtôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán và đạt được cácđánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham sốchỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 3.3.2 và 3.3.6) Chúng

tôi cũng đề xuất thuật toán và trình bày các ví dụ số để minh họa cho kếtquả.

iii) Thứ ba, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phươngtrình parabolic trong không gian Banach Lý thuyết chỉnh hóa các bài toánđặt không chỉnh tuyến tính trong không gian Banach đã được các nhà khoahọc nghiên cứu (xem [61, 78, 109]) Phương pháp chỉnh hóa giải bài toán đặtkhông chỉnh trong không gian Banach dựa trên lý thuyết nửa nhóm đã đượccác nhà khoa học quan tâm nghiên cứu (xem [2, 36, 57, 60, 61, 62, 105, 117]).Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài toán xác định nguồncho phương trình parabolic trong không gian Banach và sử dụng lý thuyếtnửa nhóm để chỉnh hóa bài toán này Giả sử X là không gian Banach vớichuẩn k · k, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính không bị chặn sao cho

−A sinh ra nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 trên X (xem Định nghĩa 1.2.4), ởđâyD(A) là miền xác định của A và giả thiết D(A) là trù mật trongX Với

t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) là một hàm từ [0, T ] vào X và F ∈ X, ta xác địnhhàm nguồn F từ bài toán

u(T ) = g,

(26)

với g ∈ X là dữ liệu đo đạc tại thời điểm cuối T Theo sự tìm hiểu của chúngtôi, các kết quả về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trongkhông gian Banach vẫn còn hạn chế, một vài kết quả sớm nhất về dạng bàitoán này là của Iskenderov và Tagiev ([66]) và Rundell ([105]) Tính duy nhấtnghiệm của bài toán (26) đã được chứng minh trong [36, 116] Trong trườnghợp F là một hàm phụ thuộc biến thời gian, các tác giả cũng đã chứng minhđược tính duy nhất nghiệm ([105, 117]) Trong [117], các tác giả xét bài toánngược trong không gian BanachE, với Alà toán tử tuyến tính đóng với miền

D(A) ⊂ E (có thể không trù mật trong E) Lấy T > 0 và hàm ϕ 6= 0 liêntục trên [0, T ] Bài toán xác định cặp hàm {u(t), p} thỏa mãn

(27)

Các tác giả chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài toán nói trên

và nghiệm được mô tả qua các giá trị riêng của toán tử A Trong [105], với

X là không gian Banach, k · k là chuẩn của X, tác giả xét bài toán tìm cặphàm {u(t), f } thỏa mãn

∂t = Av + f (t) + p, ở đây A là toán tử tuyến tính

không bị chặn,f (t) là một hàm liên tục trên[0, t1] lấy giá trị trong E,p ∈ E

là thành phần chưa biết và thêm các điều kiện biên: v(0) = v0, v(t1) = v1.Trong [101], các tác giả đã đề xuất chỉnh hóa một bài toán xác định nguồntrong không gian Banach Tuy nhiên, các tác giả không đưa ra đánh giá vềtốc độ hội tụ và các ví dụ số không được thực hiện trong công trình [101].Năm 2013, Hasanov và cộng sự ([57]) đã sử dụng lý thuyết nửa nhóm củatoán tử để biểu diễn nghiệm và chứng minh tính duy nhất nghiệm của bàitoán xác định nguồn cho một phương trình truyền nhiệt ut = Au + F với

dữ liệu đo tại thời điểm cuối uT(x) := u(x, T ) Một số nghiên cứu khác vềbài toán ngược cho phương trình parabolic trong không gian Banach đượcchúng tôi tham khảo tại [35, 36, 44, 98, 100, 116]

Quay trở lại bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trongkhông gian Banach đã được đề xuất trong luận án, như đã nói ở trên, chúng

tôi sử dụng một phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bàitoán, chúng tôi đạt được đánh giá sai số kiểu H¨older theo luật chọn tham sốkiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 4.2.7 và 4.2.9) Chúng tôi cũng sửdụng một vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.

7.2 Cấu trúc luận án

Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và kiếnnghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trựctiếp đến luận án và Danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận

án được trình bày trong 04 chương

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ cần sử dụngtrong luận án này

Trong Chương 2, luận án chứng minh các đánh giá ổn định và sử dụngphương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phươngtrình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian HilbertL2(Rn).Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các ví dụ số để minh họa cho phươngpháp chỉnh hóa sử dụng trong chương này

Trong Chương 3, luận án chứng minh đánh giá ổn định và sử dụng phươngpháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phương trìnhparabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong không gianHilbert L2(Rn) Các ví dụ số đã được đưa ra ở cuối chương để nhằm mụcđích minh họa cho phương pháp chỉnh hóa

Trong Chương 4, luận án sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửanhóm toán tử để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phương trìnhparabolic trong không gian Banach Cuối chương, chúng tôi đưa ra một vài

ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa mà chúng tôi đề xuất.Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các buổi seminarcủa Bộ môn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh,Hội thảo khoa học "Nghiên cứu và dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi mớiGiáo dục hiện nay" tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An ngày 21/9/2019 Cáckết quả này cũng đã được viết thành 03 bài báo trong đó 01 bài đăng trêntạp chí Inverse Problems in Science and Engineering (SCIE, IF: 1.314), 01bài đăng trên tạp chí Applicable Analysis (SCIE, IF: 1.107) và 01 bài đăngtrên tạp chí Applied Numerical Mathematics (SCIE, IF: 1.979)

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1 ([93, Trang 5]) Giả sử v : Rn → R là một hàm đo được.

Vớip là số thực thỏa mãn 1 ≤ p < ∞, không gian Lp(Rn) được xác định bởi

Bổ đề 1.1.2 (Bất đẳng thức H¨older) ([93, Trang 22]) Với u ∈ Lp∗(Rn),

v ∈ Lq∗(Rn) và p∗, q∗ ≥ 1 sao cho p1∗ + q1∗ = 1 Khi đó, bất đẳng thức dướiđây là đúng

kuvkL1 ≤ kuk1/pL ∗

p∗ kvk1/qL ∗

q∗

Định nghĩa 1.1.3 ([93, Trang 37]) Với các hàmk ∈ L1(Rn) vàf ∈ L2(Rn),

ta định nghĩa tích chập của k và f như sau

(k ∗ f )(x) = 1

(√2π)n

Z

Rn

k(x − y)f (y)dy = 1

(√2π)n

Z

Rn

k(y)f (x − y)dy,

với x ∈ Rn

Định nghĩa 1.1.4 ([93, Trang 35]) Với mỗi hàm v ∈ L2(Rn), ta xác địnhcác hàm F và F−1 từ L2(Rn) vào L2(Rn) như sau

F(v)(ξ) := bv(ξ) := 1

(√2π)n

Z

Rn

eiξ·xv(ξ)dξ, x ∈ Rn,

trong đó, ξ · x là tích vô hướng của ξ và x trong Rn Ta gọi F(v)(ξ) và

F−1(v)(x) lần lượt là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngượccủa hàm v

Định nghĩa 1.1.5 ([89, Trang 80]) Với số thực dươngp, không gianHp(Rn)

được định nghĩa bởi

Khi so sánh giữa chuẩn k · kHp và chuẩn ||| · |||q, ta thấy rằng, chuẩn q

mạnh hơn, nghĩa là, một hàm bị chặn theo chuẩn q phải giảm theo biến đổiFourier nhanh hơn trường hợp hàm đó bị chặn theo chuẩn Hp

Một số tính chất của phép biến đổi Fourier được nêu trong bổ đề sau

Bổ đề 1.1.7 ([46, 93]) Với v ∈ L2(Rn), ta có bv và ˇv thuộc vào L2(Rn) vài) kvkL2 = kbvkL2 = kˇvkL2;

ii) Với một đa chỉ số j := (j1, , jn), ta có

là hàm nguyên dạng mũ η, nếu thỏa mãn các tính chất sau:

i) Hàm g được phân tích thành một chuỗi lũy thừa

Z

Rn

e−iξ·xv(x)dx, ξ ∈Rn, (1.1)trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa hội tụ

Z

∆N

e−iξ·xv(x)dx

L 2 (∆ N )

→ 0 (N → ∞), (1.2)

∆N = {ξ ∈Rn | |ξj| < N ; j = 1, , n},

thì hàm v(ξ) thuộc vào L2(Rn)

Xét ∆η = {ξ ∈ Rn | |ξj| < ηj; j = 1, , n} Nếu ϕ là một hàm bất

kỳ thuộc L2(∆η), thì hàm

v(x) = 1

(√2π)n

được gọi là nhân Dirichlet

Chúng tôi lưu ý rằng Định nghĩa 1.1.11 có thể được mở rộng cho trườnghợp hàmDν(x)được định nghĩa bởi

g(ξ) nếu ξ ∈ Mν,

0 nếu ξ ∈ Qν

(1.4)

Nhận xét sau cho ta thấy mối quan hệ giữa biến đổi Fourier của Sν(g),biến đổi Fourier của nhân Dirichlet Dν và biến đổi Fourier của hàm g.Nhận xét 1.1.13 Ta có

\

Sν(g)(ξ) =



2π

Các bổ đề sau đây mô tả một số tính chất của hàm Mittag-Leffer

Bổ đề 1.1.18 ([97]) Với0 < α < 1, hàm Mittag-Leffler Eα,1 có tính chất sau

Bổ đề 1.1.19 ([85]) Với 0 < α < 1, tồn tại các hằng số C1, C2 > 0 sao cho

với mọi θ ≥ 0 Hơn nữa, Eα,α(−θ) là một hàm đơn điệu giảm theo θ > 0

Bổ đề 1.1.23 ([83, Trang 259]) Với 0 < α < 1, ta có 0 < Eα,1(−θ) < 1 vớimọi θ > 0 Hơn nữa, Eα,1(−θ) là một hàm hoàn toàn đơn điệu

Nhận xét 1.1.24 Từ Bổ đề 1.1.23, với 0 < α < 1 và với mọi θ ≥ 0, ta có

Điều đó có nghĩa là Eα,1(−λξγ) là một hàm giảm theo biến ξ trên [0, ∞)

Bổ đề 1.1.25 ([73, Trang 262]) Giả sử X là không gian Banach với chuẩn

k · k Hàm f : [0, ∞) → X khả tích trên [0, ∞) Khi đó bất đẳng thức sauđây là đúng