Báo cáo bài tập lớn phương pháp số đề tài b 10 cho một tấm uranium có chiều dày l và hệ số dẫn nhiệt k = 28 wm °c

Một bên của tấm được duy trì ở nhiệt độ 0°C bởi nước đá và bên còn lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T∞ và hệ số truyền nhiệt h.. Tính nhiệt độ của các nút 1,2 trên b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2021

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành đề tài bài tập lớn lần này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ, quan tâm từ quý thầy cô, anh chị và bè bạn Đặc biệt, nhóm xin gửi đến thầy Lê Thanh Long, những người đã ra sức truyền đạt, chỉ dẫn chúng em đề tài báo cáo lần này lời cảm ơn sâu sắc nhất Không thể không nhắc tới sự hợp tác, đoàn kết của các thành viên trong nhóm, xin cảm ơn mọi người đã cùng góp sức, góp lực để hoàn thành bài tập lớn này Vì còn tồn tại những hạn chế về mặt kiến thức, trong quá trình trao đổi online, hoàn thành bài tập lớn này, chúng em không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự đóng góp từ thầy Những góp ý từ thầy sẽ là động lực để chúng em hoàn thiện hơn Một lần nữa, nhóm 8 – L02 xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy vì đã giúp chúng em đạt được kết quả này

Nhóm thực hiện đề tài

Cho một tấm uranium có chiều dày L và hệ số dẫn nhiệt k = 28 W/m.°C (Hình 1).

Tốc độ truyền nhiệt không đổi ´g = 5.106 W/m3 Một bên của tấm được duy trì ở nhiệt độ 0°C bởi nước đá và bên còn lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T∞ và hệ số truyền nhiệt h Xét 3 nút cách đều nhau trên bề mặt tấm gồm 2nút ở 2 biên và 1 nút ở giữa tấm Tính nhiệt độ của các nút 1,2 trên bề mặt tấm với điều kiện ổn định bằng cách sử dụng công thức sai phân hữu hạn Viết

chương trình MATLAB và vẽ biểu đồ thể hiện nhiệt độ của tấm

Bài làm

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1/ Phương pháp sai phân hữu hạn ( Finite Difference Method)

Các phương pháp số giải phương trình vi phân dựa trên việc thay thế các phương trình vi phân bằng các phương trình đại số Phương pháp sai phân hữu

hạn sẽ thay thế đạo hàm bằng sai phân.

Rời rạc hóa và xấp xỉ (Discrete Approximation)

Trong phần này ta sẽ thay thế các đạo hàm cấp 1 và 2 trong phương trình

vi phân thành các sai phân hướng tâm của nó

Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1:

y’(xi) ≅ Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 2:

y”(xi) ≅ Phương trình (1) tại điểm x = xi và thay các đạo hàm bằng sai phân

= p(xi) + q(xi)y(xi) + r(xi)Thay y(xi) = wi ( Gía trị gần đúng của y(xi)), và biến đổi, ta viết được

– [1 + p(xi)] wi−1 + [2 + h2q(xi)] wi – [1 – p(xi)] wi+1 = −

h2r(xi) (2)

Để giải được nghiệm, ta lập hệ phương trình gồm các phương trình (2) cho tất cả các khoảng [xi-1,xi+1] ( a ≤ x ≤ b ).

Sau đó ta sử dụng điều kiện biên

y(a) = w0 = α và y(b) = wN+1 = β

Hệ phương trình có thể được mô tả bằng ma trận NxN có dạng

Aw = b, với

2/ Phương trình truyền nhiệt (Heat Conduction Equation)

Biến đổi phương trình truyền nhiệt theo phương pháp sai phân

Sự truyền nhiệt tuân theo phương trình Fourier-Biot, có dạng tổng quát như sau

Với T : Nhiệt độ (°C)

ġ : Tốc độ truyền nhiệt(heat generation) (W/m3)

t : Thời gian (s)Chúng ta xét bài toán 1 chiều, ổn định (steady-state) tức là không có nhiệt theo 2 chiều y và z(hàm 1 ẩn), và nhiệt không thay đổi theo thời gian (= 0 ).Ta có

A là diện tích bề mặt

k là hệ số dẫn nhiệt (W/m.°C)Định luật làm mát Newton ( Newton’s law of cooling) ta có

Qconv = hAs(Ts – T∞ ) (W) (6)

Với Qconv là độ đối lưu nhiệt (the rate of convection heat transfer)

As là diện tích mặt đối lưu nhiệt

h là hệ số truyền nhiệt đối lưu (W/m2 )

Ở trạng thái ổn định, năng lượng tại 1 điểm không thay đổi Ta bảo toàn năng lượng

-Qconv + Qcond + ġ(A) = = 0 (7)Kết hợp 3 phương trình (4)(5)(6) và thay đạo hàm bằng sai phân ta được điều kiện biên đối lưu

hAs(T∞ –Ts) – kA + ġ(A) = 0 (8)

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

1.Phần giải tay

Công thức sai phân hữu hạn trong bài toán truyền nhiệt cho các nút ở giữa:

T m −1−2Tm+T m+1

∆ x2 + g´

k = 0Thay m = 1 vào công thức trên ta được:

=> 50.(30 - T2) + 28.T1 −T2

0,04 + 5.106.0,042 = 0

=> 700T1 - 750T2 = -101500 (10)

Từ (9) và (10) => T1 = 394,720C, T2 = 503,740C

2.Phần giải bằng phần mềm Mathlab:

Cách 1 (FDM) : Tính nhiệt độ gần đúng của các nút và vẽ biểu đồ gần đúng bằng

thuật toán sai phân hữu hạn như đã trình bày ở trên

Code mathlab :

%%% %%%

%%% KHAI BAO DU LIEU DE BAI %%%

%%% %%%

sai phan huu han ' )

Cách 2 (Analys): Tính nhiệt độ gần đúng của các nút và vẽ biểu đồ bằng cách

giải phương trình nhiệt(4) với điều kiện biên đối lưu(8) và T0 = 0.Ta được hàm :

+Cả 2 nhiệt độ tại nút 1 và nút 2 khi giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn hoặc giải tích đều rất giống nhau có sai số nhưng sai số rất nhỏ không đáng

kể khi tính toán vì vậy ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn để tính thay

vì phải giải những phương trình vi phân phức tạp

+Nhiệt độ ở ngoài thành thì bằng nhiệt độ của môi trường do có sự đối lưu

Bài 2:

Một cây cầu được lắp ghép từ các thanh với tiết diện của các thanh bằng nhau và bằng A; module đàn hồi E (Hình 2) Một đoàn tàu dừng trên cầu, cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu Tính chuyển vị theo phương ngang gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng Xác định chuyển vị tại các nút và ứng suất trong mỗi thanh cầu Giải bài toán bằng hai cách: tính tay và bằng phần mềm ANSYS

Bài làm

Kí hiệu các nút và các thanh của cầu như hình vẽ

U:là ma trận chuyển vị của các nút trên thanh

F:là ma trận lực đặt tại các nút theo các phương chuyển vị của thanh+Tính ứng suất của mỗi thanh:

Ta có:

Mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị : ɛ=BU

Với B là ma trận biến dạng-chuyển vị:

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

1.Giải tay theo cách đã được học:

Trong phương án này với E=300GPA , A=4000mm2 , L=3600mm

Thanh 1

(N/m)

Từ ma trận, ta được hệ phương trình:

Đặt điều kiện biên và tải trọng như đề đã cho :

Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 Fx3 Fy3 Fx4 Fy4 Fx5 Fy5 Fx6 Fy6 Fx7 Fy7

0 -280 0 0 0 -210 0 0 0 -280 0 0 0 -360 (kN)Giải phương trình trên ta thu được chuyển vị của các nút:

2 Giải bài toán bằng phần mềm ANSYS:

Đầu tiên ta thiết lập các thông số của đề bài đối với đề bài B-9 này ta có :

+Modun đàn hồi(young’s modulus) Ethep=300GPA=300000N/mm2

+Hệ số poisson (poission’s ratio)của thép là 0.3

+Tiết diện vật liệu các thanh giống nhau :A=4000mm2

+Đơn vị độ dài của toàn bài là (mm).

Bài làm Bước 1:

Sau khi khởi động phần mềm ta vào thẻ Preferences,khu vực làm việc hiện lên một bảng làm việc ta chọn Structural và nhấn OK

Bước 2:

Vào tiền xử lý ta chọn thẻ Preprocessor ,tiếp theo ta chọn thẻ Element Type sau

đó ta chọn thẻ Add/Edit/Delete và Ansys sẽ hiện lên một bảng ta nhấn vào Add

Link3D finit stn 180 và nhấn OK

Bước 3:

Trong thẻ Preprocessor ta chọn ModelingCreate sau đó ta chọn Keypoint

In Active CS Ta thiết lập điểm đầu tiên với tọa độ x=0;y=0;z=0 và nhấn OK

Tương tự các nút khác cũng vậy ta đều thực hiện giống ở bước 3 lần lượt các nút

có tọa độ như bảng bên dưới đây

Nút Tọa độ x Tọa độ y Tọa độ z Đơn vị

Bước 5:

Vào thẻ Material Props  Material Model  Structural Linear

Isotropic Nhập lần lượt module đàn hồi E và hệ số Poison và nhấn OK.

Bước 6:

Vào mục Sections LinkAdd Sau đó ANSYS sẽ hiện lên cửa sổ Add Link

Section và điền vào số 1 sau đó nhấn OK sẽ hiện được cửa sổ như bên dưới ta

điền vào diện tích của mỗi thanh A=4000mm2 và sau đó nhấn OK.

Bước 7: Chia lưới

 Trong Preprocessor  Meshing Size Cntrls ManualSizeLines

All Lines.

Nhập vào 1 như hình bên dưới và nhấn OK.

 Vào Mesh  Lines , sau đó nhấn vào từng thanh như bên dưới và nhấn

OK.

Bước 8: Đặt điều kiện biên và lực

 Đặt điều kiện biên: Trong LoadsDefine Loads Apply

StructuralDisplacement On Keypoints, sau đó nhấn vào ux , uy và

nhấn OK cho nút số 1 Tiếp tục đặt điều kiện biên cho nút số 7 , ta được

như hình bên dưới

 Đặt lực: Trong LoadsDefine Loads Apply Structural Force/ MomentOn Keypoints, sau đó chọn lực Fy và nhập 4 lực như đề đã cho

và nhấn OK.

Bước 9:

Trong mục Solution Solve  Current LS, sau đó nhấn Close.

Bước 10:

Vào mục General Postproc Plot ResultsDeformed Shape sau đó Ansys

sẽ xuất hiện bảng và ta chọn Def+ undeformed và nhấn OK ta sẽ được hình

chuyển vị của các nút như hình bên dưới

Và hiện ra kết quả như hình dưới đây

Bước 11:

Vào trong mục General Postproc Element Table  Define Table 

Add và sau đó sẽ hiện cái bảng như hình bên dưới và chọn như hình bên dưới

và nhấn OK.

Kết quả:

Hình dạng biến dạng của các nút

Bảng chuyển vị của các nút

Hình biểu diễn ứng suất của các thanh

Bảng ứng suất của các thanh

Nhận xét:

Dựa vào kết quả bằng cách tính tay và tính bằng phần mềm ta thấy kết quả thu được là như nhau dù có sai số nhưng chúng là rất ít và có thể chấp nhận được

Về hiện tượng đề bài này ta thấy:

+Chuyển vị tại ba nút 2,nút 3,nút 5 chuyển vị nhiều nhất điều này là hiển nhiên vì ở 3 nút này phần lớn tải đặt vào đề bài đều tác dụng vào.Tuy nhiên chuyển vị ở đây rất nhỏ có thể chấp nhận được và vẫn đảm bảo được mức độ an toàn

+Về mặt ứng suất thanh số 10 ứng suất bé nhất thanh này chịu nén lớn nhất.Ba thanh 2,thanh 7,thanh 9 chịu ứng suất lớn ba thanh này chịu kéo Nếu muốn tăng độ an toàn có thể gua cố thêm vật liệu để được an toàn hơn

Tài liệu tham khảo :

1.Phương pháp phần tử hữu hạn (Tác giả : Trần Ích Thịnh -Ngô Như Khoa)

2 Numerical Methods in Heat, Mass, and Momentum Transfer(Instructor: Jayathi Y Murthy)