Chuyên đề 6 môn toán : Tiệm cận của hàm số có phương pháp và lời giải chi tiết rất hay

2. Ôn tập ra sao? Trong kỳ thi THPT quốc gia 2018, nội dung kiến thức trải rộng từ lớp 11 đến lớp 12, trong đó kiến thức lớp 12 là chủ yếu. Thi trắc nghiệm nên nội dung đề thi sẽ trải rộng khắp các kiến thức trong chương trình đã học. Vì vậy cần ôn luyện nắm chắc kiến thức sách giáo khoa tất cả các chương, bài từ lý thuyết tới bài tập. Đặc biệt, với thi trắc nghiệm, lượng kiến thức rộng, học sinh không nên học tủ; không được bỏ bất kỳ phần nào trong sách giáo khoa và bài tập thuộc chương trình lớp 11 và 12, kể cả phần đọc thêm. Tất cả có 15 chủ đề để ôn tập, cụ thể: Lớp 11 có khoảng 15 câu gồm các chủ đề: Lượng giác; Tổ hợp Xác suất; Dãy số Cấp số; Giới hạn Liên tục; Đạo hàm Tiếp tuyến; Phép biến hình; Đường thẳng Mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian; Quan hệ vuông góc.

CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ PHƯƠNG PHÁP VÀ LỜI GIẢI HAY

Dạng 1 Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước

1 Đường tiệm cận ngang

Nếu degP x degQ x :

TCN y 0Nếu degP x degQ x :y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)

Dạng 2:yf x( ) u v (hoặc u v): Nhân liên hợp

Cho

1

x x

1

1lim

x y x

Lờigiải ChọnD

5 41

y x

Câu 4 (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

 





2 2

3 416

y x

Lờigiải Chọn C

416

x y x

Ta có x2  4 0  x2

2 2

  nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận

Câu 6 (Mã1012018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

9 3

x y

 x0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Câu 7 (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

4 2

x y

Lời giải Chọn B

Tập xác định của hàm số: D    4;  \ 0; 1 

Ta có: 0

1lim

x y

x y

Lời giải Chọn D

0

25 9 lim

Þ = không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận

Câu 9. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x 1.

Câu 11 (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

16 4

x y

Câu 12 (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

4 2

x y

TXĐ: D    4;  \ 1;0 

Ta có:  1    1 2

4 2lim lim

x y

Nên đường thẳng x  không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x  1

Câu 13 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số   2 1

x x y

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y 2.

Câu 15 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số

3 21

nên đường thẳng x  2 là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng).

Câu 16 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số

2 3

TXĐ: D \ 0 

2 3

2 2

x x

2 2

x x

Câu 17 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị

x x là

Lời giải Chọn D

2 1lim

nên đường thẳng y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Câu 18 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

2 3

Lời giải Chọn A

3

2lim



;

2 0

Câu 20 Đồ thị hàm số

2 2

x y

[ 2;2 \] { }1

-( ) ( )

2 2

x y

Câu 22 (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số 2

Tập xác định của hàm số là D   1;0  2; Ta có

2 2

Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1

4 3 1 3 5

x y

y 

là đườngtiệm cận ngang của đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Tập xác định D    ;0  3;

2

85

1 0

41

Dạng 2 Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước

1 Đường tiệm cận ngang

Nếu degP x  degQ x :thì không có tiệm cận ngang

Nếu degP x degQ x :

TCN y 0Nếu degP x degQ x :y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)

Dạng 2:yf x( ) u v (hoặc u v): Nhân liên hợp

x y

Xét các trường hơp sau:

Với m 0: hàm số trở thành y x 1 nên không có tiệm cận ngang

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là :

x x m có hai đường tiệm cận đứng Số phần tử của S là

Lời giải Chọn B

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x2 6x2m0 có hai nghiệm

phân biệt x x lớn hơn 21, 2 

m

m m

x y

Kết hợp với điều kiện mnguyên dương ta có m 1;2;3; ;6;8; ;15

Vậy có 14 giá trị của m

Ta có xlim y 0, limx y 0

      

 đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng *

m m

Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt.

Câu 5. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của m thuộc đoạn 100;100

để đồ

thị hàm số   2

12

Ta có điều kiện xác định là 0;2

x m x

Suy ra x0, x2 là hai đường tiệm cận đứng

Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì

02

m m

Câu 6 (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

m m

252

m m

m m m

m m

Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì x2 2mx4 0 có hai nghiệm phân biệt 1

Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số

ax b y

Câu 10 (SởVĩnhPhúc2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

mx x có đúng bốn đường tiệm cận?

Lờigiải TH1:m0 suy ra tập xác định của hàm số là Dx x1; 2

, (x x là nghiệm của phương trình1; 2

2  8  2 0 

mx x ) Do đó m0 không thỏa yêu cầu của bài toán.

TH2:

10

Khi đó ta có x4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó m0 không thỏa yêu cầu của bài toán

Suy ra có tất cả 6giá trị nguyên của

tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 11 (THPTViệtĐứcHàNội2019)Với giá trị nào của hàm số mđể đồ thị hàm số

y x mx x có tiệm cạn ngang.

Lờigiải ChọnA







ax y

bx Tìm a b, để đồ thị hàm số có x1 là tiệm cận đứng và

12



y

là tiệmcận ngang

A a1;b2. B a4;b4. C a1;b2. D a1;b2.

Lời giải Chọn C

+ b 0 đồ thị hàm số

12







ax y

không có tiệm cận

+ b0, tập xác định của hàm số

12







ax y

22







ax y

bx có tiệm cận ngang là đường thẳng

1

22

bx

 đồ thị hàm số

12







ax y



   có haiđường tiệm cận đứng?

Lời giải Chọn C

Ta có đồ thị hàm số 2

1

x y

2.1 6.1 3 0

m m

m m

Vậy có 17giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

mx mx y

Đồ thị hàm số

2

mx mx y

x



 có 3 tiệm cận là nó có đúng 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

* Xét điều kiện tồn tại lim

với x ; 1 x là nghiệm của2

  và xlim y

  

Khi đó:

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m 0

* Xét trường hợp x  là nghiệm của tử số2  x2 là nghiệm củag x  mx23mx4

 đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x  với 2  m 0;2

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số

2

mx mx y

x



 có 3 tiệm cận là  m 0;2

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m 1; m  2

Câu 15 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số

Đặt f x x22m1xm2 2

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f x   0

có 2 nghiệm phân biệt trong

đó có 1 nghiệm x 1 hoặc f x   0

có nghiệm kép

3

x y

họn B

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy=0

Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x3- 3mx2+(2m2+1)x m- =0

Û ê -ë + = .Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x¹ 3 khi và chỉ khi m¹ 3 và phương trình

x - mx+ = có hai nghiệm phân biệt x¹ 3

2 2

33

m m

m m

m m

m

ìïï

ï ¹ï

Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 17 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

TXĐ \ m

x y

Để đồ thị hàm số 2

24

x y

Do đó số giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài là:3 ( 2017) 1 1- - + - =2020 giá trị

Câu 19 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số y=f x( ) thỏa mãn lim ( ) 2019

Đồ thị hàm số yf x  có duy nhất một tiệm cận ngang

Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán

Câu 20 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số 2  

A

12

m m

m m

m m

+ Trường hợp 2: m 0 và cả hai tam thức f x 

m m

Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số  2   2 

6 3

x y

Câu 22 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y= +x mx2+ có tiệm cận ngang.1

A 0< <m 1 B m=1 C m=- 1 D m>1

Lời giải Chọn B

Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: y= +x mx2+ có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k sao1

cho:

2 2

êêHiển nhiên nếu m£ thì giới 0 xlim (x mx2 1)

không hữu hạnNếu m>0 ta có

2

2

1x(1 )(1 ) 1

Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1

Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số 2

2

2 4

x y

mx x





  Có tất cả bao nhiêugiá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ( tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang)?

Lời giải Chọn D

Với m 0; ta có hàm số

22

2 4

x y x

  y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận  đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng 

4

0

m m

Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24 (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số

2

2019

17 1

x y

17 1

m m



Lời giải Chọn B

®- ¥

-

-+ Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang y=1 vày=- 1

=-Trường hợp 1:m=0 khi đó hàm số là

12

x y x

-=+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=- 2.Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2:m>0 Hàm số g x( )

có tập xác định là D= - ¥( ;0] [È m;+¥ )

.2

Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 27 Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn 2019; 2019

của tham số m để đồ thị hàm số 2

3

x y

Dựa vào điều kiện xác định ta suy ra hàm số đã cho không có giới hạn khi x   

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Khi m 12 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Nhận xét:

+ f x( )mx2 2x  có bậc 13  nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang.

+ Do đó: Yêu cầu bài toán 9 đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.

+ m 0, đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng

3

02

thỏa bài toán

+ m 0, đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mx2  2x  3 0có

nghiệm kép hoặc nhận x 1 làm nghiệm

10

   với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận

A 1m5 B  1 m2 C m 1 hoặc m 5 D m 2 hoặc m  1.

y  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận thì phương trình x3 3x2m1 0

có 3 nghiệm phân biệt.

x ax b y



54



12



Lời giải Chọn A

Do hàm số không có tiệm cận đứng nên      

f

a b a

Biểu thức: x22016x2017 có nghĩa khi  x22016x2017 0    1 x 2017

Đặt f x   x22016x2017

Xét x m  0 x m Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là x m , khi đó điều kiện là:



Lời giải Chọn B

Xét g x( )= x x m( - )- 1

®- ¥

-

-+ Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang y=1 vày=- 1

=-Trường hợp 1:m=0 khi đó hàm số là

12

x y x

-=+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=- 2.Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 34 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị

hàm số y= √ mx2+1

x+1 có đúng một đường tiệm cận.

Lời giải Chọn A

Nếu m 0 thì

11

y x

1

x   x



 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1.Vậy với m 0 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận (loại).

Nếu m 0 thì mx  2 1 0 với mọi x và tập xác định của hàm số là D \ 1 

2 1lim

1

x

mx x

11

1

x

mx x

11

1lim

1

x

mx x

Vậy m 0 không thỏa mãn.