CHUYÊN ĐỀ 12 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ RỜI RẠC DIRICHLET ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10 Bài 1 Cho số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7 Bài 2[.]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 12 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - RỜI RẠC-DIRICHLET
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.Cho số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số
mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7
Bài 2.
Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là dương
Bài 3.
Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tùy ý sau đó đem cộng với mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10
Bài 4.
hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10
Bài 5.
máy là Hùng và Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng lúc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc
của Ninh bằng vận tốc của Hùng Tính quãng đường BC
Bài 6.
Một đoàn khách 300 người đi du lịch tham quan thẳng cảnh Vịnh Hạ Long Trong đó có ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lái chở được 30 khách, loại thứ hai 2 người lái chở được 30 khách, loại thứ ba hai người lái chở được 24 khách Tính toán sao cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa,
không thiếu người trên thuyền Đoàn đã dùng 11 chiếc thuyền và 19 người lái Tính số thuyền mỗi loại ?
Bài 7.
Bài 8.
tồn tại ba số có tổng lớn hơn hoặc bằng
Bài 9.
Một hộp bi có 2019 viên bi Hai bạn chơi bốc bi ra khỏi hộp, mỗi lần chỉ được lấy từ 2 đến 7 viên bi Hai bạn lần lượt thay nhau bốc, ai bốc được viên bị cuối cùng thì
Trang 2người đó thắng cuộc Chứng minh rằng có cách chơi để bạn bốc trước bao giờ cũng thắng ?
Bài 10.
Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10
Bài 1.
Ta có 100 số khi đem chia cho 7 thì các số dư nhận nhiều nhất là 7 giá trị khác nhau
cùng số dư
Vậy hiệu của hai số tùy ý trong 15 số này thì chia hết cho 7
Bài 2.
Trong các số đã cho có ít nhất 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết
Tách riêng số dương đó còn 30 số chia là 6 nhóm Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương
Bài 3.
luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và số là chia hết cho 10
Bài 4.
Lập dãy số
Đặt
Nếu không tồn tại nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
(đpcm)
Trang 3Bài 5.
Quãng đường AB là 30km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10km
Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20km
Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là:
Do vận tốc của Ninh bằng vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là:
Từ đó suy ra quãng đường BC là:
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Muốn thắng thì trước lần bốc cuối bạn thứ nhất phải để lại trong hộp đúng 9 viên
Do đó bạn thứ nhất phải điều chỉnh sao cho mỗi lần bốc để lại trong hộp bội của 9 Vì
Trang 42019 chia cho 9 dư 3 nên bạn bốc trước lần đầu bốc 3 viên, sau đó cứ bạn thứ 2 bốc k
bao giờ cũng thắng
Bài 10.
Tổng số xoài và cam lúc đầu:
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3
Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg
Số xoài và cam còn lại:
Số cam còn lại:
Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg
Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11 Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: Chứng minh rằng thế nào cũng có một
số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10
Bài 12.
Xe máy thứ nhất đi từ A đến B mất 4 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A mất 3 giờ Nếu hai x khởi hành cùng một lúc từ A và B thì sao 1,5 giờ hai xe sẽ còn cách nhau 15km (hai xe chưa gặp nhau) Tính quãng đường AB
Bài 13.
Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng
ba lần số lượng cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài
Bài 14.
Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn Nếu dùng cả máy I và máy III thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng cả máy II và III thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy, dùng
cả máy I và máy III thì sau 2 giờ 24 phút bể sẽ đầy Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy trong bao lâu
Bài 15.
Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h và đến B lúc 12h Một xe con khởi hành từ B lúc 7 giờ rưỡi và đến A lúc 11 giờ rưỡi
a) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ
Bài 16.
Trang 5Một hiệu sách có 5 hộp bút bi và bút chì Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút Hộp 1:78 chiếc, Hộp 2: 80 chiếc, Hộp 3: 82 chiếc, Hộp 4: 114 chiếc, Hộp 5: 128 chiếc Sau khi bán 1 hộp bút chì thì số bút bi còn lại gấp 4 lần số bút chì còn lại hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì?
Bài 17.
Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau
1 giờ 20 phút sẽ dầy bể, dùng máy 2 và máy 3 thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy 1 và máy 3 thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút
Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì sẽ đầy bể bao lâu ?
Bài 18.
Một hiệu sách có năm hộp bít bi và bút chì Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì còn lại Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì
Bài 19.
Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh được tất cả 650 điểm Hỏi bạn đó trả lời đúng mấy câu ?
Bài 20.
a)Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà
số đó chia hết cho
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11 Lập dãy số
Đặt
Nếu không tồn tại nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
(đpcm)
Trang 6Bài 12.
Quãng đường AB là:
Bài 13.
Tổng số xoài và cam lúc đầu:
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3
Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg
Số xoài và cam còn lại:
Số cam còn lại:
Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg
Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg
Bài 14.
Ta quy ước dung tích bể là đơn vị
Như vậy, trong 1 giờ
Vòi I và II chảy được bể
Vòi II và III chảy được bể
Vòi I và III chảy được: bể
Trang 7Trong 1 giờ,
Vậy , vòi I chảy 1 mình 4h sẽ đầy bể
Vòi II chảy một mình 2h sẽ đầy bể
Vòi III chảy 1 mình 6h sẽ đầy bể
Bài 15.
Thời gian xe tải đi từ A đến B là 5h, xe con đi từ B đến A là 4h
Trong 1h hai xe gần nhau được:
Xe con khởi hành sau xe tải:
Hai xe gặp nhau sau:
Hai xe gặp nhau lúc:
b) 10km chính là:
Vậy quãng đường AB dài:
Bài 16.
Vì số bút bi còn lại gấp 4 lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và bút chì còn lại chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2
Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc
Vậy: các hộp đựng bút chì: Hộp 2, hộp 3
Trang 8Các hộp đựng bút bi: Hộp 1, hộp 4, hộp 5.
Bài 17.
Mỗi giờ máy 1 và 2 bơm được bể, máy 2 và 3 bơm bể, máy 1 và 3 bơm bể
Máy ba bơm một mình 6 giờ sẽ đầy bể
Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ sẽ đầy bể
Máy 2 bơm 1 mình 2 giờ sẽ đầy bể
Bài 18.
Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và số bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2
Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2
Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc
Vậy , các hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp 3
Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp 5
Bài 19.
trong số 50 câu hỏi bạn đã trả lời sai một số câu Giữa câu trả lời đúng và sai chênh lệch
Bài 20.
chia cho 2010 ta được 2011 số dư.Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2010 chỉ có
tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2010 Hiệu của chúng có dạng
chia hêt cho 2010
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30
Trang 9Bài 21.
tại ba số có tổng lớn hơn hoặc bằng
Bài 22.
phải dùng thươc đo Hỏi người đó đã làm như thế nào ?
Bài 23.
Hội khỏe Phù Đổng lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh của toàn tỉnh
về tham gia thi đấu các môn thể thao Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số người quen bằng nhau (Người A quen người B thì người B cũng quen người A)
Bài 24.
- Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho Kể tên các đoạn thẳng ấy
- Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho
mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không ? Vì sao?
Bài 25.
Bài 26.
Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 đến 10 điểm trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên,5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10 Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 ?
Bài 27.
đến
Bài 28.
Trang 10Có hai chiếc bình, một chiếc loại 5 lít và 1 chiếc loại 7 lít Người ta có thể đong
để lấy lít, 2 lít, 4 lít, 6 lít dầu từ một thùng đựng bằng cách chỉ sử dụng hai chiếc bình trên Em hãy nêu cách đong để lấy:
a) 3 lít dầu
b) 1 lít dầu
Bài 29.
Bài 30.
Trong một buổi giao lưu toán học, ngoại trừ Bình, hai người bất kỳ đều bắt tay nhau, Bình chỉ bắt tay với những người mình quen Biết rằng mỗi cặp hai người chỉ bắt tay nhau và không quá 1 lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi Bình có bao nhiêu người quen trong buổi giao lưu đó ?
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30
Bài 21.
b)
Bài 22.
Trang 11Tính được 0,25m chính là sợi dây
Bài 23.
Giả sử có 1 người không quen ai trong 495 vận động viên
Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất 493 người quen
Ta chia thành nhóm số người quen:
Nhóm 0 người quen gồm những người có số người quen bằng 0
Nhóm 1 người quen gồm những người có số người quen bằng 1
…………
………
Như vậy 493 người quen gồm có số người quen bằng 493
Như vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) Mà có 495 người
Vậy theo nguyên lý Dirichle ít nhất có 1 nhóm người quen gồm 2 hay ít nhất có 2 người
có số người quen giống nhau
Giả sử có 1 người quen tất cả những người còn lại Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất 494 người quen
Chia nhóm người quen: có 494 nhóm người quen (từ 1 đến 994)
Bài 24.
Bài 25.
Gọi điểm cách 20km là C
Thời gian đi quãng đường CB và BC là:
Thời gian đi trên quãng đường AC và CA là:
Tỷ số vận tốc trên quãng đường AC và CA là nên tỷ số vận tốc trên quãng đường AC
và CA là
Thời gian đi quãng đường AC là:
Chiều dài quãng đường AC:
Chiều dài quãng đường AB:
Bài 26.
Tổng số điểm 10 của lớp 6A là:
Trang 12(điểm 10)
Bài 27.
Do đó
Mà số kg giấy nằm trong khoảng 200 đến 300
Bài 28.
Vậy ta có 3 lít ở thùng 5 lít
b) Để đong 1 lít, ta thực hiện đong, thùng 5 lít trước, 7 lít sau: Vậy ta có 1 lít ở thùng 5 lít
Bài 29.
Hiệu vận tốc của hai người là:
Thời gian người thứ nhất đi trước người thứ hai là:
Quãng đường người thứ nhất đi trước là:
Khoảng cách giữa hai người khi người thứ hai tăng vận tốc:
Thời gian từ khi người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp nhau là:
Đến lúc gặp nhau người thứ hai đã đi quãng đường là:
Chỗ gặp nhau cách là:
Trang 13Bài 30.
Giả sử trong buổi giao lưu, ngoài Bình còn có n người nữa, và Bình có k người quen (ĐK:
Số lần bắt tay giữa Bình và những người quen của Bình là (lần)
Hay
Hay
Kết hợp với (*) suy ra:
Ta có:
Thay vào (*) tính được
Vậy Bình có 14 người quen
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 36
Bài 31.
Một hộp bi có 2019 viên bi Hai bạn chơi bốc bi ra khỏi hộp, mỗi lần chỉ được lấy từ 2 đến 7 viên bi Hai bạn lần lượt thay nhau bốc, ai bốc được viên bị cuối cùng thì người đó thắng cuộc Chứng minh rằng có cách chơi để bạn bốc trước bao giờ cũng thắng ?
Bài 32.
học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng
và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh cả 3 môn, 12 học sinh không thích môn nào Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh ?
Bài 33.
Ma phương là một hình vuông chứa các số sao cho tổng các số trong mỗi hàng,
Trang 14Trong đó mỗi ô được điền một số từ 1 đến 9 Các ô có giá trị lần lượt là
Hãy tìm giá trị 6 ô còn lại
Bài 34.
Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh được tất cả 650 điểm Hỏi bạn ấy trả lời được mấy câu đúng
Bài 35.
Trong dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng như sau: Lớp 6A trồng 10 cây và số cây còn lại, lớp 6B trồng cây và số cây còn lại, lớp
trồng 20 cây và số cây còn lại,… Cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây các lớp trồng được đều bằng nhau Hỏi có mấy lớp 6, mỗi lớp được chia bao nhiêu cây đem trồng ?
Bài 36.
Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh được tất cả 650 điểm Hỏi bạn ấy trả lời được mấy câu đúng
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 36
Bài 31.
Muốn thắng thì trước lần bốc cuối bạn thứ nhất phải để lại trong hộp đúng 9 viên
Do đó bạn thứ nhất phải điều chỉnh sao cho mỗi lần bốc để lại trong hộp bội của 9 Vì
2019 chia cho 9 dư 3 nên bạn bốc trước lần đầu bốc 3 viên, sau đó cứ bạn thứ 2 bốc k
bao giờ cũng thắng
Bài 32.
A B C
Trang 15a) Vẽ được sơ đồ
- Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi:
- Số học sinh thích đúng 2 môn bơi và bóng chuyền:
- Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá, bóng chuyền:
- Số học sinh chỉ thích bóng đá:
- Số học sinh chỉ thích bơi:
- Số học sinh chỉ thích bóng chuyền:
- Vậy số học sinh của lớp:
Bài 33.
Tổng các số trong hình vuông là:
Tổng của mỗi hàng (cột) đều bằng nhau nên tỏng mỗi hàng (cột):
Suy ra được giá trị các ô do đã biết giá trị của 2 ô trên cùng hạng hoặc cột
Trang 16Bài 34.
trong số 50 câu bạn đã trả lời sai 1 số câu Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch
Bài 35.
Vì số cây đem trồng đều bằng nhau nên ta có:
Tìm ra lớp thứ được chia 35 cây, suy ra mỗi lớp được chia 35 cây
Vì lớp 6A trồng 10 cây và số còn lại nên số cây còn lại là 25 cây
Bài 36.
trong số 50 câu bạn đã trả lời sai 1 số câu Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch