Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho một số phương trình phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng kirchhoff carrier

Chương 3 Tính giải được và các tính chât của nghiệm cho phương trình ____________ sóng Kirchhoff-Carrier phi tuyên trong hình vành khăn liên két với điều kiện biên Dirichlet không thuần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN

LÊ HỮU KỲ SƠN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHÁT CỦA

NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHUONG TRÌNH PHI TUYÉN

CHỨA SỔ HẠNG PHI ĐỊA PHUONG

DẠNG KIRCHHOFF-CARRIER

LUẬN ÁN TIÊN Sì TOÁN HỌC

TP Hồ Chí Minh - 2022

ĐẠI HỌC QUÒC GIA TP HCM

TRUỒNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN

LÊ HỮU KỲ SƠN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA

NGHIỆM CHO MỘT SÓ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYÊN

CHỨA sò HẠNG PHI ĐỊA PHƯƠNG

Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh

Phản biện độc lập 2: TS Đào Quang Khải

NGƯỜI HƯỚNG DÀN KHOA HỌC: PGS TS Lô Thị Phương Ngọc

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Thị Phương Ngọc Nội dung trong luận án này được viết trên cơ sở nội dung các bài báo đã công bố của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Các bài báo đồng tác giả, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án này.

Tác giả luận án

Lê Hữu Kỳ Sơn

ời cảm ơn

Lời dầu tiên, tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc dến Cô PGS TS Lê Thị Phương Ngọc về

sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của Cô đối với tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Kính gửi đến Thầy TS Nguyễn Thành Long lòng biết ơn chắn thành, Thầy đả đọc bản luận án và cho những ý kiến đóng góp xác đáng và quý báu giúp tôi hiểu sâu hơn.

Cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các Nhà Khoa học, Quý Thầy

Cô trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn, cấp cơ sở Đào tạo, các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tỏi nhùng nhận xét rất bô ích giúp tôi hoàn thiện tốt luận án.

Tôi vô cùng biết ơn Quỹ Thầy Cô trong và ngoài Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường.

Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học.

Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học ứngdụng, các Phòng Ban của trường Đại học Công nghiệp Thựcphẩm

và các Anh Chị đồng nghiệp tại trường lời câm ơn sâu sắc vì sự hỗ trợ về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh.

Tôi chán thành cảm ơn các Anh Chị, các Bạn thuộc nhóm Seminar đã đóng góp những ý kiến và kinh nghiệm quý báu trong các buổi sinh hoạt học thuật.

Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của gia dinh tời, những người dã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn dộng viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi học tập.

Muc luc

17 1.2 Không gian hàm trị vectorỊ

21

Ị2.1 Giói thiệuỊ

2.2 Không gian hàm và các phép nhúngl

2.3 Sự tôn tại và duy nhât nghiệm của bài toán 2.4 Thuật giải lặp câp cao

27 2.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu bài toán 2.6 Kêt luận chương 2

Chương 3 Tính giải được và các tính chât của nghiệm cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier phi tuyên trong hình vành khăn liên két với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhấtỊ

3.1 Giới thiệuỊ

3.2 Sự tòn tại và duy nhât nghiệm

66 80 82 3.3 Tính bùng nô của nghiệm sau thời gian hữu hạn

3.4 Tính tăt dán của nghiệm

3.5 Kêt luận Chương 3

Chương 4 Một chú ý về tính tăt dần và bùng nổ cùa nghiệm của phương trình sóng phi tuyên Kirchhoff trong hình vành khăn lièn kêt với điêu kiện biên Robin-Dirichlet

Ị4.1 Giới thiêuỊ

4.2 Tính bủng nổ của nghiêm sau thời gian hữu hạn

4.3 Tính tát dân của nghiệm

4.4 Kêt luận chương 4

Kết luậnl

83 100 107 118

119

119 120 123 127

129

ỊDanh mục công trình của tác giả|

Tài liệu tham kháol

130 131

dx2 dkf

dx^

với “ =(ai' ■

Mở đấu

Lý thuyết phương trình vi phản và dạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và áp dụng Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý cơ học, sinh học,- • •, và dã dược nghiên cứu một cách rộng rải bởi nhiều nhà toán học Quá trình tìm kiếm nghiệm cho các bài toán này đà có sự góp phần rất lớn của nhiều kết quả của lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm,- • •) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn,- • •)

Một trong những bài toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng nói chung và cho phương trình sóng nói riêng Nhiều kết quà khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán này đả được đăng trên các tạp chí khoa học uy tín của nhiều tác giả nổi tiếng như J L Lions, H Brezis, F E Browder,- • • số lượng các tạp chí

có công bố các kết quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỷ lệ rất lớn trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này ở nhiều nhà xuất bản lớn như nhà xuất bản Elsevier, Springer, Taylor & Francis,- • • Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết bài toán biên nói riêng đã được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước

Hiện nay có rất nhiều phương pháp được sử dụng đê’ nghiên cứu các phương trình

vi phán và phương trình đạo hàm riêng đi kèm những điều kiện (biên, đầu,- • •) khác nhau như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động,- • • Tuy nhiên chúng

ta vẫn chưa có một phương pháp tổng quát dê giải dược mọi bài toán biên phi tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu các bài toán là một yếu tố rất quan trọng Chính vì vậy, vấn dề khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn

Luận án này nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và một số tính chất của nghiệm của các phương trình sóng phi tuyến trong hình vành khăn có chứa số hạng phi địa

phương có dạng như sau

(0.0.1)

liên kết với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất

w(p,0 = goơ)z M(1/0 = gi(0/ (0.0.2)hoặc liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet

trong đó //, f, g, ŨQ, ữỵ, go, gi là các hàm cho trước; p, £ là các hằng số cho trước, với

0 < p < 1, £ > 0 Các số hạng phi tuyến xuất hiện ở hai vế của (0.0.1) chứa các số hạng phi địa phương dạng tích phân như sau

Mơ)llồ= / xu2(x,t)dx, ||Mx(f)||ị = / xu2(x,t)dx

J p J p

Vớif = 0, ụ = ^(||»x(Ollo)' thì (Ịo.o.l|l là phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô

tả dao động phi tuyến của màng hình vành khăn Q1 = {(xi,x2) ■ p2 < x2 + X2 < 1}

như sau

ưtt - (liVƯ(Í) II2) (ƯX1T1 + ưX2X2) = 0, (xbx2) e O1, 0 < t < T,

trong đó dao động của màng Q] chỉ phụ thuộc vào X — ự xị + xị, và t, tức là u(xỵ, x2, t) =

Thật vậy theo biến đổi qua tọa độ cực

Xỵ = X COS (p, x2 = X sin (p, 0 < cp < 2/r, p < X < 1,

ta có

ư/f(xi,x2,t)

U-XỵXị + U x 2 X2

||vư(í)||2 (llVU(t)ll2)

— Ịiỵ (2ĩĩ Híí X(f) Ho') — ụ (iiwx(f) Ho') •

Trong quá trình dao động, diện tích của màng ÍÌ1 và lực căng tại các điểm trên đó thay đổi theo thời gian

Điều kiện biên ^0.0.2|| mô tả trên đường tròn nhỏ Tp = {(xi,x2) : X2 + X2 = p2} và

đường tròn lớn fl = {(xi,x2) : *ỉ + x2 ~ 1} có dao động cho trước phụ thuộc thời gian

Diều kiện biên (|ũ.0.3| trên đường tròn lớn Tị, tức là ux(l, t) + Ẹu(1, f) = 0, mô tả các ràng buộc đàn hồi, trong đó £ là hằng số cơ học Trong khi đó, điều kiện biên trên đường tròn nhỏ đòi hỏi u(p, t) = 0, có nghĩa là trên đường tròn nhỏ Tp của màng được giữ cố định

Trong ill , Carrier đả thành lập phương trình mô tả dao động ngang của một sợidây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi không nhỏ xuất hiện

(0.0.5)

trong đó u(x, f) là độ dịch chuyên của sợi dây, To là lực căng tại các vị trí của sợi dây,

E là môđun Young, A là thiết diện của sợi dây, L là chiều dài của sợi dây và p là khối lượng riêng của vật liệu cấu tạo sợi dây Rõ ràng, nếu tính chất của một loại vật liệu khác nhau thay đổi theo từng vị trí X và ở từng thời điểm t, khi đó ta có phương trinh thuộc dạng hyperbolic (Larkin [22])

Utt - B f X, t, I li2 (y, t) dy^j uxx = 0

\ '0 /

(0.0.6)

Với f = 0, y = /í(||wx(f)IIq), phương trình (Ịo.O.lỊ) thuộc dạng Kirchhoff đã nhận được nhiều sự chứ ý Vào năm 1876, Kirchhoff II2TI đã khảo sát dao động ngang nhỏ của một sợi dây đàn hồi có độ dài L, khi giả sử lực căng tại mỗi điểm của sợi dây, chỉ

có thành phần theo chiều dọc, có mó hình toán học

d2u ( Eh du , \ d2u ph~dfi M = ựo+ /0 } 3^2 (x' 0' (°-0-7)

với u (x, t) mô tả sự dịch chuyển ngang tại vị trí X ở thời điểm t, và p là khối lượng riêng của vật liệu cấu tạo nên sợi dây, h là thiết diện sợi dày, L là chiều dài sợi dây, E là modulus Young của sợi dây, Pq là lực căng dây tại thời điểm ban đầu.

Việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất nghiệm của phương trình sóng nói chung

và phương trình sóng phi tuyến có dạng Kirchhoff-Carrier nói riêng nhận được nhiều

sự quan tâm

Trong [95] H Zhang và các cộng sự đã khảo sát bài toán

với điều kiện biên động

u (0, f) = uxx (0,f), t > 0,

uxx + ux (L,t) = 0, t > 0, lift (L, t) + Mf (L, f) - uxxx (L, t) + M (JKI|2) ux (L,t) = f(u (L,f)),

và điều kiện đầu

u (x, 0) = UQ (x) , Ut (x, 0) = U-J (x), 0 < X < L,

vói f (s) = IsIp 2 s, M (s) = 1 + s’”, p > 2, m > 1 là các hằng số dương và II ux II = rL

I ux(x, t)dx Dựa vào bất đẳng thức Nakao, kết hợp với các xây dựng một tập ổn định,

tác giả thu được đánh giá tắt dần của năng lượng, hơn nữa tác giả củng tìm một điều kiện đủ về dử liệu ban đầu đê nghiệm tắt dần Tính chất bùng nổ của nghiệm với năng lượng ban đầu dương đủ nhỏ và năng lượng đầu âm thu được nhờ sử dụng bổ đề hàm lồi Các công trình nghiên cứu điều kiện biên động của phương trình sóng Kirchhoff

có thể nèu như: Park và các cộng sự [175]], Larkin và Doronin Ẹ3ỊỊ, Gerbi và Said-Houari [151], Autuori và Pucci [76] Ngoài ra phương trình sóng chứa số hạng nguồn phi tuyến

có dạng

Utt + «A2U — M ( II Vu||2 ) Au + g (ut) = f (u), trong o X R+, (0.0.8)

củng nhận được nhiều sự quan tâm, khi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đánh giá tính tắt dần của nghiệm toàn cục và tính bùng nổ của nghiệm với một số diều kiện thích hợp như Wu và Tsai f88ỊỊ Santos cùng các đồng sự ỊI79ỊI khảo sát sự tồn tại

và tính tắt dần mủ của hệ Kirchhoff với điều kiện biên phi địa phương Guedda và Labani IT61J đà đưa ra một điều kiện đủ để nghiêm của phương trình ||o.o.8|) bùng nổ với g (Uf) = Ut với điều kiện biên động Trong |Ị32Ị|, Nguyễn Thành Long và Trần Minh

Thuyết đả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục trong trường hợp hàm M có thê nhận giá trị không âm.

Trong [94], Yang Zhijian, Wang Yunqing đà chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán dạng Kirchhoff

Utt — M ( I X7u 2) Aíí — A«f + /1 (ut) + g (lí) = f (x) trong o X K+,

u|an = 0, t > 0, (0.0.9)

u (x, 0) — Uo (x), Ut (x, 0) = «1 (x), xe íì.

Trong [55], Ngọc, Triết, Long đã nghiên cứu bài toán biên giá trị đầu

lift — Au + Ku + Ảut — u ịuịp 2 u + f (x, f), X e ÍT, t > 0, (0.0.10)điều kiện biên phi địa phương

để chứng minh sự tồn tại nghiệm mạnh và các lý luận trù mật cho sự tồn tại nghiệm yếu Với a = 1, g = 0, K > 0, A > 0, và 2 < p < ' N > 3 cùng một số điều kiện của

dử kiện đầu, điểu kiện các hàm f, h thích hợp các tác giả đã chứng minh được nghiệm tắt dần mủ bằng cách thiết lập một phiếm hàm Lyapunov thích hợp

Tính tắt dần và bùng nổ của các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loạiđiều kiện biên khác nhau, như biên phi địa phương, biên phi tuyến hay điều kiện biênnhiều điểm cũng được nghiên cứu Trong israi Ngọc và các cộng sự đã xét bài toán

Uft - Uxx + M + Ảut = a ịuịp u +/(x, t), 0 < X < 1, t > 0

với điều kiện biên phi địa phương

Uỵ (0, f) = go (0 - / (f - s) u (0, s) ds + [ k0 (x, f) u (x, t) dx,

Jo Jo -ux (l,f) = gi (f) - [ Hỵ ự-s) u (l,s)ds + [ ki (x,t) u (x,t)dx,

Jo J0

và điều kiện đầu

u (x, 0) = z/o (x) , Mf (x, 0) = Uỵ (x) ,

với |fl| = 1, Ả > 0, p > 2 là các hằng số cho trước Các hàm f, gi, Hi, kị (z = 0,1) là các

hàm số cho trước mà điều kiện của nó sẽ chỉ ra sau Các tác giả đã chứng minh được hai kết quả về sự tồn tại nghiệm bài toán bằng phương pháp Galerkin và cá lý luận trù mật Trong trường hợp a = 1, À > 0, p > 2 và gii = 0, bằng cách xây dựng một phiếm hàm Lyapunov thích hợp, nếu II I/OIIH1 ” II Mo IIpư + p 22|=O (°)' w° (') > 0 cùnsnăng lượng ban đầu, các hàm f, kị, Hị đủ nhỏ thì năng lượng của nghiệm sẽ tắt dần

mủ khi t —> 00 Tuy nhiên trong trường hợp a = — 1, thì bài toán có duy nhất nghiệm toàn cục có năng lượng tắt dần mũ khi t —> eo mà không cần dử liệu ban đầu (i/o, «1)bài toán sóng phi tuyến với điều kiện biên hai điểm

Utt ~ Ề (*'f) ux) + f (“'Mf) = f (x, t), 0 < X < 1, 0 < t < T,

< p (0,0 ux (0, 0 = hou (0, t) + AqMí (0,0 + hQu (1,0 + Ã0M/ (1,0 4- go (í) /

k -// (l,t) Uỵ (l,t) = hỵii (l,f) + Ảỵiit (l,f) + /qíí (0,f) +Ãii/f (0,t) +gi (t),

và điều kiện đầu

u (x, 0) = ŨQ (x) , ut (x, 0) = ữỵ (x) ,

với hi, Ải, hi, Ã j là các hằng số cho trước và ụ, f, F, gi (/' = 0,1) là các hàm cho trước Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov cùng các điều kiện thích hợp, tính tắt dần mủ của nghiệm toàncục được chứng minh Kết quả này củng là một mở rộng của trong trường hựp

ụ = 1, f (z/, Ut) = Ku + ẢUf, K, A > 0.

Ngoài ra, phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng

Utt — MÍII Vỉ/||2) Az/ + / g (t — s) Az/ (s) ds + h (lit) = f (w), X € Cì, t > 0,

V / /o

u = 0, (x, t) € 30 X [0, oo),

k u (x, 0) = Z/0 (x) , lit (x,0) = llỵ (x) , X e o,

(0.0.13)củng được dành nhiều sự quan tàm Trong trường hợp h (lit) = Az/f, Wu và Tsai ỊIS9IỊ

đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục, tắt dần, và bùng nổ trong điều kiện

dử kiện đầu thích hợp Các tác giả đã thu được tính bùng nổ của nghiệm địa phương với nàng lượng đầu dương đủ bé Với kết quả tắt dần, các tác giả giả sử rằng tồn tại một hằng số r > 0 : g' (f) < — rg (t), Vf > 0 Và trong 19011 Wu đâ cải tiến kết quả tắt dần với một điều kiện yếu hơn của hàm g (g1 (t) < 0 với mọi t > 0) Khi h (lit) = xz/f,

X là một hằng số dương và f (u) — 0, Santos và các cộng sự ỊỊ801Ị đã chứng minh được

sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính tắt dần của nghiệm Trong [16911 Ngọc và các cộng sự

dã chứng minh dược sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương, ngoài ra dã thiết lập một khai triển tiệm cận nghiệm cho bài toán nhiễu

Trong trường hựp A4 = 1 và g 0, Cavalcanti cùng các cộng sự [81 đã nghiên cứu phương trình

lift — Au + I g (t — s) Am (s) ds + a (x) Ut + |m|7 u — 0, (x, f) € Q X (0,oo), (0.0.14)

Jo

với điều kiện đầu và điều kiện biên như ở <|o.o.l3|> và các tác giả đã chứng minh được tính tắt dần của nghiệm Ngoài ra Cavalcanti và Oquendo trong [9] đã khảo sát phương trình

lift — koAu + / div [íĩ (x) g ự — s) Vm] ds + b (x) h («f) + f (m) = 0,

(x,í) G Cì X (0,oo), có điều kiện đầu và điều kiện biên như ở (|o.o.l3| Nếu a (x) +

b (x) > ỏ với mọi X G Q, với một số ỏ > 0 nào đó, các tác giả đã thu được kết quả tắt

dần mủ trong trường hợp hcàm g tắt dần mũ và hàm h tuyến tính, và nếu hàm g tắt dần

đa thức và hàm h phi tuyến thì các tác giả thu được nghiệm tắt dần đa thức

Ngoài tính chất tắt dần của nghiệm, thì tính bùng nổ nghiệm trong thời gian hữuhạn cũng được dành nhiều sự quan tâm Trong [45] Messaoudi đã xét phương trình

Uft — Am + / g (f — s) Au (s) ds + aUf luf I'" 2 — b|n|r 2U, (0.0.16)

(x, f) € Q X (0, oo), ở đó, tác giả đã chứng minh được mọi nghiệm yếu với năng lượng đầu âm sẽ bùng nổ tại thời gian hữu hạn nếu r > m và

(0.0.17)

và nếu dử kiện ban đầu thuộc vào các không gian hàm thích hợp và m > r thì tác giả chứng minh được sự tồn tại của nghiêm toàn cục Kết quả này được chính Mcssaoudi cải tiến trong [48] với điều kiện năng lượng ban đầu dương và một số điều kiện thích hợp của hàm g, m, và r

Trong [28] Liu đã nghiên cứu phương trình

Mft — Am + / g (t — s) Au (s) ds — a’Aiit + ụut — |n|r 2U,

(x, í) e fl X (0, oo), với cùng điều kiện đầu và điều kiện biên như ở <|o.o.l3> Sử dụng

kỹ thuật hàm lồi cùng điều kiện

được khảo sát bởi Han và Wang trong ỊI18ỊI vớí o là miền bị chặn với biên 3Q trơn

trong R", n — 1,2,3 Dưới các giả thiết thích hợp ở các hàm fi, gi (i — 1,2), dử liệu đầu và các tham số ở (|0.0.201, các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, và tính bùng nổ (khi năng lượng đầu E (0) < 0) Kết quả

bùng nổ của nghiệm sau đó được Messaoudi và Said-Houari trong [49] đả phát triển trong trường hợp năng lượng ban đầu dương

Liang và Gao trong [I3ĨÌ] đã xét bài toán:

lift — Au + / gi (t — s) Au (s) ds — Auf = /1 (u,r), X e o, 0 < t < T,

Hệ phương trình sóng chứa số hạng đàn hồi đa thức dạng

u (0, í) = u (l,f) = 0,

vx (0, f) + K |ơ (0, t)|P-2 V (0, t) = ụ |uf (0, t) Ị1?-2 vt (0, t), V (1,0 = 0,

cũng thu được các kết quả tương tự

Trong [39], Long và các cộng sự đã khảo sát hệ phương trình

” Ề 0'1 “x)+Ai l'h|ri 2Ut = /1 (»/*’) + F1 Ou)<

Vtt - ề (^2 (X' 0 vx) + A2 |p( r 2 Vt + / g 0 - s) ẳ (P2 (X' s) vx (x>s)) đs

= /2 (m,v) + Ĩ2 (x,f), 0 < X < 1, 0 < t < T,với diều kiện biên

fi2 (x, t) = p2 (*) và một số điều kiện thích hợp, các tác giả đã thu được kết quả về sự

bùng nổ của nghiệm Hơn nữa, trong điều kiện năng lượng ban dầu dương dủ nhỏ, tính tắt dần mũ của nghiệm củng đã được chứng minh

Trong Hi; , Wenjun Liu cùng các cộng sự đã nghiên cứu một hệ sóng Kirchhoff chứa

với Q là miền bị chặn trong R", n > 1 với biên trơn dci, M là hàm số dương Lipschitz

địa phương và gi: R+ —> R+ (í = 1,2), (/1, /2) : R2 —* R2- Các tác giả đả chứng minh được hai kết quả bùng nổ: một là cho nghiệm với điều kiện năng lượng ban đầu không dương cũng như trường hợp năng lượng ban đầu dương, trường hợp còn lại là điều kiện năng lượng ban đầu dương tùy ý Cuối cùng là kết quả tắt dần của nghiệm toàn cục dưới một số điều kiện thích hợp của hàm gi (i = 1,2)

Việc khảo sát sự tồn tại và các tính chất nghiệm của một hệ phương trình sóng trong hình vành khăn hay trong hình tròn cũng dược quan tâm Trong IỊ60ỊỊ, Ngọc và các cộng

sự đã nghiên cứu tính bùng nổ và tắt dần của nghiệm một hệ phương trình sóng liên kết với dòng chảy xoắn ốc của chất lỏng Maxwell

Wft -«1 [Uxx + ịux - ịu) + ẢỉUt = /1 (m,v) + F1 (x,f),

với «1 > 0, az > 0, bl > 0, A] > 0 và Ấ2 > 0, R > 1 là các hằng số cho trước và fi, Fị, hi,

ŨQ, ỈĨI, ŨQ và Vi (i = 1,2) là các hàm số cho trước Trong trường hợp (/ư/2) — ậ-Ọ

và F (u,v) < C1 Í1 + |m|“ + Vi/, V 6 R, ft > 2, Ị5 > 2, Cl >0 thì bài toán có nghiệm địa phương Và nếu di ộuI* + < F (ỉỉ,v) < dz ụ«|* + Vỉ/, V e R,

^1, dz > 0, và thêm một số điều kiện sao cho năng lượng ban đầu là dương thì các tác giả thu dược sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính tắt dần mủ của nghiệm yếu Mặt khác, nếu nàng lượng ban đầu là âm thì thu được sự bùng bổ của nghiệm Kết qưả này có thể xem là mở rộng so với 11871) ■

Trong [11], Draiíia Alaeddine đã khảo sát một hệ phương trình sóng

Utt - ị (xux)x + jjgl ơ -$) I (*ux (x,s))xds = Ịl/p ’ 1 u

Vtt - 7 (xv.x)x + J'o &2 (t -s) ị (xvx (x,s))xds = |//|I)+1

trong Q = (0, ft) X (0, T), ft < oo, T < co, p, q > l, với điều kiện đầu

Nội dung chính của luận án gồm 3 Chương 2, 3 và 4 được đề cập như dưới đây

Trong Chương 2, chúng tôi khảo sát Bài toán (Ịo.o.ll vời f = f (x, t,u,ux,Ut, ||w(t)||g

liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet như sau

lift - ụ(t,u (l,t), ||m(í)llẵ' llwx ơ)llẫ)(wxx + 7«x)

= f(x,t,u,ux,ut, 11« (0 llổ)' p < X <ỉ, 0 < t < T,

i/(p, t) = Mx(l, t) + £m(1, t) = 0,

(0.0.24)i/(x,o) = M0(x), Uf(x,o) = ũi(x)

Trong [22], Larkin đả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiêm toàn cục của phương trình sóng phi tuyến dạng Carrier không thuần nhất

Utt-M (x,f,||« (Oil2) Ai/ + g(x,t,ut) =

[50] và thêm những điều kiện thích hợp về số chiểu không gian, hàm g (ut) và hàm

M (x, t, ||w (f) ||2) , Larkin dã chứng minh được tính tắt dần mủ của nghiệm

Một số kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương và thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu trong các bài toán dạng Kirchhoff-Carrier được nhiều tác giả nghiân cứu như trong [71], Nhản và các cộng sự đã khảo sát phương trình

19

= y (x,f), 0 < X < 1, 0 < t < T, (0.0.25)

ux (0, f) - hou (0, t) = u (1, t) = 0,

lí (x, 0) = ũo (x), Ut (x, 0) = Ũ1 (x),

với ụ, f, g, ŨQ, »1 là các hàm cho trước, và ho > 0 là hằng số cho trước Các tác giả đã

chứng minh dược sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu dịa phương, và xấp xỉ nghiệm của bài toán nhiễu

- ầ (Me ["] íx' 0 lc) = f (x,D, 0 < X < ỉ, 0 < t < T, ux(0,t)-hQu(0,t) = u(l, f) =0,

lí (x, 0) = ũ0 (x), 11, (x, 0) = lĩ] (x),với

[»] (x,t) = ụ x,t, Ịog [«] (x, y, t) dy^ + £/í 1 (x, í, gi [u] (x,y,í)dy

g M (*/ V' 0 = g (*' V' t M (y, 0 ■ Wx (y, í)),

gi [»] {x, y, f) = g! (x, y, t, M (y, t), ux (y, t)),

bởi một đa thức bậc N +1 theo £ Và một số công trình tiêu biểu khác như IỊ33ÌI, ỊỊ34ỊỊ, [35], 1321], [36], [84], [59], [70], [71], Ị56ỊI Việc xây dựng một thuật giải nhằm giúp tàng tốc độ hội tụ về nghiệm bài toán củng được quan tâm, như trong [67], [[61], [161]

Tiếp nối các ý tưởng và mó hình của các công trình liên quan, trong Chương 2 chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương Bài toán (|0.0.24|)

bằng cách kết hợp thuật giải xấp xỉ tuyến tính, phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, và các kỹ thuật về tính compact Hơn nữa, nhằm xây dựng một thuật giải hội tụ nhanh về nghiệm yếu của bài toán, chúng tôi xét Bài toán (|o.o.241 với

// = y(||M(f)||ẫ), /=/(x,f,M,||w||ẫ) , (0.0.26)

và một số điều kiện thích hợp Trong [S2], chúng tôi đã thu được kết quả này với hàm

fl và fl 1 bị chặn bởi một hàm lũy thừa như sau

0 < < //(z) < C1(1 + zP), Vz > 0,

|/(z)| ^CzO+zP-1), Vz > 0,

(0.0.27)

trong đó ụ* > 0, p > 1, C1 > 0, C2 > 0 là các hằng số Trong phần này, chứng tôi cải

tiến kết quả và củng thu được kết quả về thuật giải lặp cấp N mà không cần phải sử dụng diều kiện bị chặn như (Ịo.o.27| Kết quả này tống quát hơn [S2J và dã dược công

bố trong [S3]

Ngoài ra, chúng tòi củng khảo sát khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số

bé £ đến cấp N + 1 Các kết quả của chương này là tổng quát hơn so với các công bố ở

Trong Chương 3, Bài toán lịo.o.l

liên kết với điều kiện biên Dirichlet

I được xét với hàm fl = ụ (t, 11« (í)||q, II Uỵ (0IIỔ chông thuần nhất như sau

Iht - F(ll«x(0llẫ)(«xx + ỉ»x) + A«( = /(«) + F(x,0, p < X < 1, t > 0,

«(p,0 = «(1,0 = 0, (0.0.29)

I w(x,o) = «o(x), »í(*,0) = «i(x),

cùng với điều kiện các hàm /í, f, F, ŨQ, «1 thích hợp, ta có thể chứng minh được nghiệm của Bài toán |jo.o.29|) tắt dần mũ Và cuối cùng, Bài toán (|o.o.29|) dược xét với F = 0 cùng với điều kiện các hàm ụ, f, ŨQ, «1 thích hợp, nghiệm thu được bùng nổ tại thời điểm hữu hạn Và các kết quả này dược còng bố trong ||S4|| Việc khảo sát tính tắt dần hay bùng nổ nghiệm của các bài toán dạng Kirchhoff được nhiều nhà toán học quan tâm

Trong ỊỊ27Ị Gongwei Liu đã nghiên cứu bài toán Dirichlet cho phương trình sóng

dạng Kirchhoff

Í I Vu (f) II ) Au 4- Ut = g (u) trong Q X (0, oo),ọ \

u (x, t) — 0 trên do X (0, co), (0.0.30)

Việc nghiên cứu nghiệm toàn cục, tính tắt dần và tính bùng nổ của nghiệm trong các phương trình sóng Kirchhoff-Carrier nhận được nhiều sự quan tâm Ta có thê kể

ra một số công trình, như Cavalcanti và các cộng sự trong [6J, [7], Miranda và các cộng

sự trong [43], Messaoudi trong [45], J Y Park và các cộng sự trong ỊỊ73Ị], ỊI74Ị], Santos và các cộng sự trong [78], Takeshi Taniguchi trong [82||, Tokio Matsuyama và Ryo Ikehata trong [41] Đặc biệt, Zhijian Yang và các cộng sự trong các công trình [91], [92] và [93H

đã nghiên cứu tính tắt dần của nghiệm trong các phương trình dạng Kirchhoff trên

Rn

Cuối cùng, với việc khai thác một lớp bài toán cụ thể ở Chương 2,

Uff ^(c^2(l,f) + |ux(f) o)(uxx4- xUx)

= —Auf + /(íí) + F(x, t), p < X < 1, 0 < t < T, u(p,t) = Ux(l,f) + £u(l,f) = 0,

u(x,0) = ũo(x), Uf(x,0) = ũi(x),

(0.0.31)

chúng tôi đã chứng minh được tính tắt dần khi thời gian tiến ra vô cùng và bùng nổ tại thời gian hữu hạn của nghiệm Các ý tưởng chứng minh được thừa hưởng ở Chương

3, và kết quả này được chúng tôi công bố ở ỊỊ55ỊỊ khi xét £ = 0 Tuy nhiên khi xét £ > 0

và hàm fí = /í(||ux(f) llo) chúng tôi vẫn chưa biết được có hay không tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm Dây vẫn là vấn đề mở đối với chúng tôi

Ngoài phần giới thiệu và nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương (2, 3,4) như đã đề cập ở trên, thì luận án còn có các phần sau

Phần kết luận Trình bày tóm tắt các nội dung chính của luận án, các kết quả đạt được, những vấn đề mở và hướng phát triển của luận án

Chương 1 Bổ túc công cụ Giới thiệu các không gian hàm thông dụng và một số kết

quả được dùng xuyên suốt luận án

Danh mục công trình tác giả.

Chương 1

Bổ túc công cụ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Dịnh nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giải tích

Luận án sử dụng các không gian hàm sau (íì), ư (Cì) = W°T (íì), H"‘ (íì) =

Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu Brézis Lions [26],

Xét riêng không gian L2, chuẩn dược ký hiệu bởi 11’11 Ký hiệu •) dể chỉ tích vô hướng trong L2 hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm

Không gian L p (0, T; X), 1 < p < oo

Cho không gian Banach X với chuẩn II • IIx, và X' là không gian đối ngẫu của nó Ta

ký hiệu ư (0, T; X), 1 < p < oo, để chỉ không gian Banach của các hàm u : (0, T) —> X

đo dược, sao cho ||m||lp(otx) < +°°' hong dó

I w II LP(0,T;X) —

/ rT , \1/p ,

(y 11« (011x^1 ' nếu 1 < p < oo,esssup IIíí (t)llx' nếu p = 00

octcỉ

Tài liệu tham khảo.

Toàn bộ các kết quả dược trình bày trong luận án dã dược cóng bố trong ỊỊS1ÌJ-|,S5I] Ngoài ra một phẩn kết quả đả được báo cáo tại các hội nghị

Hội nghị Toán học miền Trung và Tây nguyên lần 2, Trường Đại học Đà Lạt, 09-11 tháng 12 năm 2017

Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang 14-18 tháng 8 năm 2018

Hội nghị Khoa học lần thứ 11, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM ngày 9-10/11/2018

Hội nghị Toán học miền Trung và Tây nguyên lần 3, Trường Đại học Tây Nguyên, 2-4 tháng 8 năm 2019

Hội nghị Khoa học lần thứ 12, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM ngày 18-19/12/2020

1 Nếu 1 < p < co, thì đối ngẫu của ư (0, T; X) là LP r (0, T; X') với 1 = 1 Nếu

X phản xạ thì ư (0, T; X) củng phản xạ

2 Đối ngẫu của L1 (0, T; X) là L°° (0, T; X') Chú ý rằng các không gian L1 (0, T;X)

và L00 (0, T; X) là không phản xạ

3 Nếu X = D’ (Q) thì LI’ (0, T; X) = U’ (Q X (0, T)), 1 < p < 00.

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach, ta định nghĩa một phân bố nhận giá

trị trong X là ánh xạ tuyến tính liên tục từ D (0, T) vào X.

Tập hợp tất cả các phân bố nhận giá trị trong X được ký hiệu bởi D' (0, T; X), nghĩa là

D' (0,T;X) = £(D(0,r);X)

Ta viết D (0, T) để ký hiệu cho không gian hàm c~ (0, T)

Định nghĩa 1.2 Với mọi f 6 D' (0, T;X), ta định nghĩa đạo hàm theo nghĩa phân bố như sau

Chú ý rằng, phép nhúng (0, T; X) D' (0, T; X) là liên tục

Do đó, nên mọi f E ư (0, T; X) ta có thể xem f và = f' là các phần tử của

D' (0, T; X) và ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.1 (Lions [261, p.7) Nếu f e LP (0, T; X) và f' e LP (0, T; X), 1 < p < co, thì

f băng hầu khắp nơi một hàm liên tục từ [0, T] —* X

Giả sử Xo, X, X1 là các không gian Banach sao cho Xo X <—> X] là các phép nhúng liên tục, Xị phản xạ với i = 0,1 và phép nhúng Xo X là compact Ta định

nghĩa không gian w (0, T) như sau

w (0,T) = ỉv e (O,T;Xo) : v’ = $

ELP' (0,^X0 Lvới 1 < Pi< oo, i = 0,1 Không gian vv (0, T) được trang bị bởi chuẩn

(ii) gm -> g a.e trong Q.

Khi đó, gm -*■ g trong ư (Q) yếu.

Định lý 1.4 (Brezis [11, p.94) Giả sử dãy {/„} c Lp (Q) và f € Lp (Q) sao cho f,t hội

tụ mạnh về f trong ư (Q) Khi đó, tồn tại một dãy con {fnk} và một hàm h E Lp (Q) sao cho

(i) fnk (x) -> f (x) a.e trong (Q),

(ii) |/njt (x)| < h (x) v/c, a.e trong (Q)

Định lý 1.5 ([|81|Ị, p.87, Theorem 7.7) Giả sừ V và H là các không gian Hilbert thực với

V trù mật trong H và phép nhúng V c—> H là compact Gọi a : V X V —» R là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V X V và cưỡng bức trên V Khi đó tồn tại dãy số dương

{Ảj} và hàm Wj E V tương ứng với Ảị sao cho

0 < < Ằ2 < • ■ • < Ản < • • • , lim Ản = +oo,

n—

a (wj, v) = Ảj (wj, v), Vv E V, j = 1,2, ■■■

Hơn nữa {Wj} là một cơ sở Hilbert của H Ngoài ra, ta còn có

của V đối với tích vô hướng đ (•, •).

(i) ựp ||v|| < ||v||0 < ||v|| với mọi V E L2,

(ii) ựp ||y||Hi < ll^ll 1 < ||v||Hi với mọi V E H\

(iii) ựp ||v||H2 < ||v||2 < IIVIIH2 với mọi V E H2.

Chứng minh Bổ đề 1.6 Ta có các bất đẳng thức sau

pi v2(x)dx< I xv2(x)dx< I V2 (x) dx, với mọi V € L2, Ip -Ip / p

Chương 2

Tính giải được và các tính chất của

nghiệm cho phương trình sóng

Kirchhoff - Carrier phi tuyến trong

hình vành khăn liên kết với điều kiên

và điều kiện đầu

w(x,o) = ũo(x), Mf(x,o) = Mt(x)

(2.1.2)

(2.1.3)trong đó /(, f, ŨQ, ŨỊ là các hàm cho trước; p € (0,1) và £ > 0 là các hằng số

Nội dung của chương được trinh bày ở 4 mục, từ Mục 2.2 đến Mục 2.5 Nội dung Mục 2.2 giới thiệu về không gian hàm và các phép nhúng được dùng xuyên suốt chương, Mục 2.3 trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của Bài toán (2.1.1)-

(2.1.3), bằng cách tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin và các phương pháp compact yếu, ta chứng minh Bài toán (|2.1.1|)- (2.1.3|) có duy nhất nghiệm yếu địa phương Tiếp theo, ở Mục 2.4 trong trường hợp

ụ = ụ ụ | m ( í ) hổ ) f = f (x,t,u, 11« (Ollồ) ' để tăng tốc độ hội tụ, một thuật giải lặp cấp cao được xây dựng để thu được một dãy lặp hội tụ cấp N về nghiệm yếu của Bài toán pTĨ|>-pT3|)

Cuối cùng, trong Mục 2.5, bằng cách khai triển Taylor của các hàm cho trước //, ụỉrf

và /1 đến cấp N + 1, chúng tôi thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u = u£

dến cấp N + 1 theo một tham số bé e cho bài toán

p < X < 1, 0 < t < T, liên kết với điều kiện biên (2.1.2[) và điều kiện đầu (2.1.3|)

với p e CN+1 (R+), 6 CN (R+), p (z) > > 0, PA (z) > 0 với mọi z e R+/

Phép nhúng V r—> H1 là liên tục và phép nhúng từ H1 c° (O) là compact nên

phép nhúng từ V > c° (íì) là compact Sau dây ta chỉ chứng minh (i)-(iv)

| y2 ơ) + Holl px 0<^2 ơ) +j(ll< + ll^|lỗ),

với mọi V G V, nên ta có (iv) đúng

(v) Do ||v||q = Ịv (1) - í X V (x) v 2 2 x (x) dx, ta có

ĩ’2(l) — 2||v||q + 2 / X2V (x) vx (x) dx

Jp

2 ll ơllo+ 2 IHIo llơ *llo

2 ll^llo + ||v|| 0 + IIvx llo < 3 IMIĩ'

suy ra (v) đúng

Bổ đề 2.1 được chứng minh xong □

Ta định nghĩa dạng song tuyến tính

a (ụ, v) = (1) V (1) + í xux (x) vx (x) dx, với mọi u, V e V, (2.2.2)

Jp

với hằng số £ > 0

Bô’ đề 2.2 Dạng song tuyến tính «(■'■) được định nghĩa bởi (2.2.2|> là liên tục trên V X V

và cưỡng bức trên V, nghĩa là,

(i) |fl (w,v)| < C1 ||i/||i hill' (ii) a(v,v) > Co ||p||ỉ,

với mọi u, V e V, Co = ị min{l, (]2/))

Bổ đề 2.3 Tồn tại một cơ sở Hilbert { W,} của không gian L2 gồm các hàm Wj ứng với các

giá trị Ảj sao cho

(i) 0 < Aị < A2 < < Ảị < Ay+1 < • • , lim Ảị — 4-00,

ý-+~ (2.2.3)(ii) a (wj,v) = Áj {ĩVj,v) với mọi V 6 V, Ị = 1,2, • • •

Hơn nữa, {ĩVj/ựÃỹ} cũng là một cơ sở Hilbert của V đối với tích vô hướng a (•, •)

Mặt khác, ta cũng có IVị là nghiệm của bài toán biên san

Awị = - (wjXX + ịwịxj = (xwịx) = A/ĩPý, trong o,

a (m, v) = (Au, v) với mọi u, V € V (2.2.5)

Bổ đề 2.4 Trên V n H2, ba chuẩn V >—► ||v|| H2, V I—> IIv II2 — \Ị IMIo + ll^llo + ll®xxllo

và V H-> ^||2 * = V ll^x llẫ + ||Av||ẫ là tương đương.

Chứng minh Bổ đề 2.4.

(i) Ta dễ dàng thấy rằng, trên V A H2, hai chuẩn V H- >

ựlMlo + IIMỔ + ll^-xllẫ là tương đương, do

v\\H2,v ~ IMIz =

VP 11^11^2 < M2 VIIH2 với mọi V e H2.

(ii) Với mọi XE Ịjơ/1] z và V E V n H2, ta có

Vì vậy

Bổ đẻ 2.4 được chứng minh □

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Trước tiên, ta định nghĩa nghiệm yếu của Bài toán l|2.1.1|)-(|2.1.3|)

Định nghĩa 2.1 Ta gọi hàm u 6 w = {u € L°°(0, T;V A H2) : Uf € L°°(0, T;V), Utt G L°°(o, T; L2)}, thỏa phương trình biến phân

+ [i [t,u (1,0, ||u(0

ụ (x, t,u,ux,ub W(OIIỔ)'Ộ'

với mọi V G V, a.e t € (0, T) và điều kiện đầu

u(0) = ŨQ, Wf(0) = «1,

trong đó íỉ(-, •) là dạng song tuyến tính trên V được xác định bởi (2.2.21

Cho trước T* > 0, ta thành lập các giả thiết sau:

(HO iĩo € V n H2, Ũ0x(l) + ^o(l) = 0, Ũ1 € V;

(H2) ụ € c1 ([0, T*] X R X R2), và tồn tại một hằng số y* >0 sao cho

yơ,171,1/2,1/3) > > 0, V(í,yi,y2,y3) e [0,T*] X R X Rị;

(H3) f G c° (Q X [0, T*] X R3 X R+) sao cho

(i) /(p,f,0,y2,0,1/4) = 0, V(t,y2,i/4) e [0,T*] X R X R+, và(ii) D,f e c° (õ X [0,T*] X R3 X R+), i = 1,3,4,5,6.

Ta thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính được mô tả như sau

Ta chọn số hạng đầu tiên »0 — 0, giả sử rằng

Wm _! G W1(M,T), (2.3.2)

và liên kết với Bài toán ||2.1.1|)-||2.1.3|) với bài toán biến phân sau:

Tim unl G W1 (A4, T) (m > 1) sao cho

= {Fm (t) ,v) , Vv € V, U,„(0) = 1Ĩ0, «m(°) = í7l/

Định lý 2.5 Giả sử (Hl) — (H3) thỏa Khỉ đó tồn tại các hăng số dương M, T sao cho, với

UQ = 0 thì tồn tại dãy lặp {wm} c W1(M, T) cho bởi (2.3.2|), (|2.3.4|

Chứng niinh Định lý 2.5.

Chứng minh bao gồm ba bước

Bước ĩ Xấp xỉ Faedo-Galerkin Gọi {Wị} là một cơ sở của V như trong Bổ đề 2.3 Đặt

[0, T] RĂ' đối với chuẩn

k

Ikllx = SUP k(0lv H0I1 = E MOL c = (Cl,-• • ,ck) G X

0<t<T j=i

\ỈM n Aj^Km (/0

Với 7 > ũ sao cho -"■ ýi

với chuẩn c I—> ||c||x như sau

1, trên X, ta sử dụng một chuẩn khác tương đương

l|c|L,x = SUP e yt lc (011'c = M • • • z q) G X

0<t<T

Ta bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và viết

c = (ci,-• • ,ck)z Cị, Oíị, pị, Lỉị [c] (t)lần lượt thay cho

eV = ,CM , M, J*), 5«, u.ic^i ft)

C"I — ựml' 'c mk ) ' cmj' aj ' pị ’ umị[cm J tu •

Khi đó hệ 12.3.io[) trở thành phương trình điểm bất động

c = Ư[c]ztrong đó

Dễ thấy rằng ư[c] G X, Vc G X Ta sẽ chứng minh rằng ư : X — > X là toán tử co đối

với chuẩn II ■ II x Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh rằng

ư[c] - u[c]||7rX < X lk - fll7,x/ Mẽ e X, (2.3.11)trong đó X = < 1-

Thật vậy, với mọi c, c e X, và d = c — C, và chú ý rằng ụm (f) < Km (ụ), ta có

ư[c](t) - Lf[í](f)li |L[c - c](t)li = |L(á](t)li

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm.

Nhân hai vê phương trình (2.3.6 )1 cho c^

theo biến thời gian từ 0 đến t, ta được

(í) lấy tổng theo j, sau đó lấy tích phân

F,„(s)||,2<C1T^||F„,(S)||ẫ

(2.3.23)

(2.3.24)Hơn nửa

ĩmxự) = + D3y[Mm_1]VM„,_1(t) + D4/[uw_i]Aw,)(_i(f) (2.3.25)

,um—1 (0/

vơl Dịf [wm — i = Dj/ (x, t, —1 (t)z Vwízí_j (í)z (í)z um-1 (01 o') ’ =

Từ (Ị2.3.2I và (Ị2.3.25I ta thu được đánh giá

(0 Ho + II Attní-1 (0 II0 + Vu/„_1(0

2 0

4^(0 -ụm (0 (2.3.29)

Hrn (0

(0(0