(Tiểu luận) anh văn chuyên ngành sp toán học kiểm tra giữa kì

Nếu Gx là bất kì nguyên hàm nào fx, thì theo định lí 1, đồ thị của Gx là một phép tịnh tiến theo phương đứng của đồ thị Fx xem mục 2.2.. Đề cập đến các thảo luận trước, ta có thể viết

Anh văn chuyên ngành SP

Toán học Kiểm tra giữa kì

GVHD: TS Bùi Anh Kiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

13.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Nhiều phép toán trong toán học có đảo ngược cộng và trừ, nhân và chia, lũy thừa và căn Bây giờ chúng ta đã biết cách tìm đạo hàm của nhiều hàm Phép toán đảo ngược, nguyên hàm ( tái tạo lại một hàm từ đạo hàm của nó), sẽ được chú ý trong phần này và hai phần tiếp theo

3

− 𝜋) = 𝑥2 𝑑 (𝑥

3+ √5) = 𝑥2

TÌM HIỂU KHÁI NIỆM

Giả sử rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) Nếu G(x) là bất kì nguyên hàm nào f(x),

thì theo định lí 1, đồ thị của G(x) là một phép tịnh tiến theo phương đứng của đồ thị F(x) (xem mục 2.2)

VÍ DỤ 1: Một họ của nguyên hàm Lưu ý rằng

𝑑

𝑑𝑥(

𝑥2

2) = 𝑥 (A) Tìm tất cả nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑥

(B) Vẽ đồ thị nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑥 đi qua điểm (0, 0); qua điểm (0, 1); qua điểm (0, 2)

(C) Đồ thị của ba nguyên hàm trong phần B có liên quan như nào?

2 + 𝑘 = 𝑘 nên các hàm

(B) Vẽ đồ thị nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 đi qua điểm (0, 0); qua điểm (0, 1); qua điểm (0, 2)

(C) Đồ thị của ba nguyên hàm trong phần B có liên quan như nào?

GIẢI PHÁP

(A) Theo định lí 1, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

𝐹(𝑥) = 𝑥3+ 𝑘 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐 𝑘 (B) Vì 𝐹(0) = 03+ 𝑘 = 𝑘 nên các hàm

𝐹0(𝑥) = 𝑥3 𝐹1(𝑥) = 𝑥3+ 1 𝐹2(𝑥) = 𝑥3+ 2

Lần lượt đi qua các điểm (0, 0); (0, 1) và (0, 2) (xem hình 2)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑛ế𝑢 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Ký hiệu ∫ được gọi là dấu tích phân, và hàm f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân

Ký hiệu dx chỉ ra rằng quá trình nguyên hàm được thực hiện đối với biến x (Chúng ta

sẽ nói nhiều hơn về các ký hiệu ∫ và dx ở phần sau của chương) Hằng số tùy ý C được

gọi là hằng số tích phân Đề cập đến các thảo luận trước, ta có thể viết

∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 tích phân bất định của đạo hàm F’(x) là F(x)+C

Chúng ta có thể phát triển các công thức cho tích phân bất định của một số hàm cơ bản

từ các công thức đạo hàm ở chương 2 và 3

CÔNG THỨC TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN

Công thức 3 liên quan đến logarit tự nhiên của giá trị tuyệt đối của x Mặc dù hàm logarit

tự nhiên chỉ được xác định cho a > 0 Đồ thị của nó được biểu thị trong hình 2A Lưu ý

rằng f(x) giảm khi x > 0 nhưng tăng khi x < 0 Do đó đạo hàm của f, theo công thức số

3 là 𝑓′(𝑥) = 1

𝑥, âm với x < 0 và dương với x > 0 (xem hình 2B)

HÌNH 2

Để chứng minh cho ba công thức, chỉ ra rằng đạo hàm của vế phải là tích phân của vế trái (xem bài toán 75 – 78 trong bài tập 13.1) Lưu ý rằng công thức số 1 không đưa ra nguyên hàm của 𝑥−1 ( vì 𝑥

𝑛+1

𝑛+1 không xác định khi n = - 1), nhưng công thức số 3 thì có

KHÁM PHÁ VÀ THẢO LUẬN 1

Các công thức 1, 2 và 3 cũng không cung cấp các công thức cho tích phân bất định ln x Chứng tỏ rằng nếu x > 0, thì

∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 Bằng cách vi phân vế phải

Chúng ta có thể thu được các tính chất của vi phân bất định từ các tính chất đạo hàm được thành lập trong chương 2

∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘𝐹(𝑥) + 𝑘𝐶2Nhưng 𝑘𝐹(𝑥) + 𝑘𝐶1 và 𝑘𝐹(𝑥) + 𝑘𝐶2 mô tả cùng một tập hợp các hàm, bới vì 𝐶1 và 𝐶2

là các số thực tùy ý Tính chất 4 được thành lập Tính chất 5 có thể được thiết lập theo cách tương tự (xem bài toán 79 và 80 trong bài tập 13.1)

THẬN TRỌNG: tính chất 4 phát biểu rằng một thừa số không đổi có thể di chuyển qua

dấu tích phân Thừa số biến không thể di chuyển qua dấu tích phân

Thừa số hằng Thừa số biến

∫ 5𝑥

1

2𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥12𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑥12𝑑𝑥 ≠ 𝑥 ∫ 𝑥12𝑑𝑥 Các công thức và tính chất tích phân bất định có thể được sử dụng cùng nhau để tìm tích phân bất định cho nhiều hàm thường gặp Nếu n = 0, thì công thức số 1 cho

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

Tích phân bất định của hàm hằng có giá trị k là 𝑘𝑥 + 𝐶

Ví dụ 2: Sử dụng các thuộc tính và công thức tích phân không xác định

Vấn đề tương tự 2: Tìm tích phân không xác định:

𝑥− 4𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = 5 ∫1𝑥𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 5 ln|𝑥| − 4𝑒𝑥 + 𝐶

Ví dụ 3 Sử dụng các tính chất và công thức của tích phân bất định

(𝐴) ∫ 4

𝑥3𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 4𝑥−3+1

−3+1 + 𝐶 = −2𝑥−2 + 𝐶 (B) ∫ 5√𝑢3 2𝑑𝑢 = 5 ∫ 𝑢23 𝑑𝑢 = 5 𝑢

(23)+1 2

3 +1 + 𝐶

= 5𝑢

5 3 5 3

+ 𝐶 = 3𝑢53 + 𝐶 (C) ∫𝑥3𝑥−32 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥𝑥32− 3

𝑥 2) 𝑑𝑥

= ∫( 𝑥 − 3𝑥−2) 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥

=𝑥1+11+1 − 3𝑥−2+1

−2+1 + 𝐶 =1

2𝑥2+ 3𝑥−1 + 𝐶 (D) ∫ ( 2

2 +1 + 𝐶

= 2 𝑥

2 3 2 3

− 6 𝑥

3 2 3 2

+ 𝐶

= 3𝑥32 − 4𝑥32 + 𝐶(E) ∫ 𝑥(𝑥2+ 2)𝑑𝑥 = ∫(𝑥3+ 2𝑥)𝑑𝑥 =𝑥4

𝑥 và cơ số không đổi 𝑒 Dạng đúng là

∫ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

3 Không phải tất cả các hàm sơ cấp đều có nguyên hàm sơ cấp Chẳng hạn, không thể đưa ra công thức nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2dưới dạng các hàm cơ bản Tuy nhiên, việc tìm ra các công thức như vậy, có thể đơn giản hóa rõ rệt lời giải của một số bài toán

Ứng dụng

Hãy xem xét một số ứng dụng của tích phân bất định

VÍ DỤ 4 Đường cong Tìm phương trình đường cong đi qua (2, 5) nếu hệ số góc của đường cong là 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 2𝑥 tại điểm 𝑥 bất kì điểm

LỜI GIẢI Ta muốn tìm một hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) sao cho

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑥 (1)

và

𝑦 = 5 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 2 (2) Nếu 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 2𝑥, thì

𝑦 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2+ 𝐶 (3)

Vì 𝑦 = 5 khi 𝑥 = 2, nên ta xác định giá trị cụ thể của 𝐶 sao cho

Vậy 𝐶 = 1, và

𝑦 = 𝑥2+ 1

là nguyên hàm cụ thể trong số tất cả những nguyên hàm có thể có từ phương trình (3) thỏa mãn cả hai phương trình (1) và (2) ( xem Hình 3)

Vấn đề tương tự 4: Tìm phương trình của đường cong đi qua (2, 6) nếu hệ số góc của

đường cong là 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 3𝑥2 tại điểm 𝑥 bất kì

Trong một số tình huống nhất định, việc xác định tốc độ xảy ra của một điều gì đó

sẽ dễ dàng hơn hơn là xác định bao nhiêu phần trăm của nó đã xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định (ví dụ, tốc độ tăng dân số, tốc độ tăng trưởng kinh tế, tốc độ chữa lành vết thương, tốc độ tiếp thu kiến thức hoặc quên) Nếu một hàm tốc độ (đạo hàm) được đưa ra và ta biết giá trị của biến phụ thuộc cho một giá trị nhất định của biến độc lập, sau đó chúng ta thường có thể tìm thấy hàm số ban đầu bằng phép lấy tích phân

VÍ DỤ 5: Hàm chi phí Nếu chi phí cận biên của việc sản xuất 𝑥 đơn vị hàng hóa được

cho bởi

𝐶′(𝑥) = 0.3𝑥2+ 2𝑥

và chi phí cố định là $2,000, tìm hàm chi phí 𝐶(𝑥) và chi phí sản xuất 20 đơn vị

LỜI GIẢI Nhắc lại rằng chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí và chi phí cố định

là chi phí ở mức sản xuất bằng không Vì vậy, ta muốn tìm 𝐶(𝑥), đã cho

𝐶′(𝑥) = 0.3𝑥2+ 2𝑥 𝐶(0) = 2,000

Ta tìm tích phân bất định của 0.3𝑥2+ 2𝑥 và xác định hằng số tùy ý bằng phép lấy tích phân bằng cách sử dụng 𝐶(0) = 2,000:

𝐶′(𝑥) = 0.3𝑥2+ 2𝑥 𝐶(𝑥) = ∫(0.3𝑥2+ 2𝑥) 𝑑𝑥 = 0,1𝑥3+ 𝑥2+ 𝐾

Vì 𝐶 đại diện cho chi phí nên ta sử dụng 𝐾

cho hằng số của phép lấy tích phân

Nhưng

𝐶(0) = (0.1)03+ 02 + 𝐾 = 2,000 Vậy 𝐾 = 2,000, và hàm chi phí là

𝐶(𝑥) = 0.1𝑥3+ 𝑥2+ 2,000 Bây giờ ta tìm 𝐶(20), chi phí sản xuất 20 đơn vị:

𝐶(20) = (0.1)203+ 203+ 2,000 = $3,200 Xem hình 4 để biết biểu diễn hình học

Vấn đề tương tự 5: Tìm hàm doanh thu 𝑅(𝑥) khi doanh thu cận biên là

𝑅′(𝑥) = 400 − 0,4𝑥

và không có kết quả doanh thu ở mức sản xuất bằng không Doanh thu ở mức sản xuất 1,000 đơn vị là bao nhiêu?

VÍ DỤ 6 Quảng cáo một đài phát thanh vệ tinh đang tung ra một chiên dịch quảng cáo

rầm rộ nhằm tăng số lượng thính giả hằng ngày Đài hiện có 27,000 người nghe hằng ngày, và ban quản lý dự kiến số lượng người nghe hằng ngày, 𝑆(𝑡), sẽ tăng với tốc độ

𝑆′(𝑡) = 60𝑡1/2người nghe mỗi ngày, trong đó 𝑡 là số ngày kể từ khi chiến dịch bắt đầu Hỏi chiến dịch nên kéo dài bao lâu nếu muốn số lượng người nghe hằng ngày tăng lên 41,000?

LỜI GIẢI Ta phải giải phương trình 𝑆(𝑡) = 41,000 với 𝑡, đã cho

𝑆′(𝑡) = 60𝑡1/2 𝑣à 𝑆(0) = 27,000 Đầu tiên, ta sử dụng phép lấy tích phân để tìm 𝑆(𝑡):

𝑆(𝑡) = ∫ 60𝑡1/2 𝑑𝑡

= 60𝑡

3/232+ 𝐶

Sử dụng máy tính

Vấn đề tương tự 6: Có 64,000 theo dõi một tạp chí thời trang trực tuyến Do sự cạnh

tranh từ một tạp chí mới, số lượng 𝐶(𝑡) người theo dõi dự kiến giảm với tốc độ

𝐶′(𝑡) = −600𝑡1/3người đăng kí mỗi tháng, trong đó 𝑡 là thời gian tính bằng tháng kể từ khi tạp chí mới bắt đầu xuất bản Sẽ mất bao lâu cho đến khi số lượng người đăng kí tạp chí thời trang trực tuyến giảm xuống còn 46,000?

Bài tập 13.1 Bài tập khởi động kĩ năng Trong bài toán 1-8 hãy viết mỗi hàm dưới dạng tổng các số hạng có dạng 𝑎𝑥𝑛, trong đó 𝑎 là một hằng

số (Nếu cần , xem lại Mục A.6)

1 𝑓(𝑥) = 5

𝑥 4 2 𝑓(𝑥) = − 6

21 ∫3𝑧𝑑𝑧 22 ∫7𝑧𝑑𝑧

23 ∫ 16𝑒𝑢𝑑𝑢 24 ∫ 5𝑒𝑢𝑑𝑢

25 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) =2𝑥 + 3? Giải thích

26 𝐹(𝑥) = (2𝑥 + 5)(𝑥 − 6) có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) =4𝑥 − 7? Giải thích

27 𝐹(𝑥) = 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑥 có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑙𝑛𝑥? Giải thích

28 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝑒 có phải

là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥? Giải thích

29 𝐹(𝑥) =(2𝑥+1)3

3 có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = (2𝑥 +1)2? Giải thích

30 𝐹(𝑥) =(3𝑥−2)4

4 có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = (3𝑥 −2)3? Giải thích

31 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥3/ 3 có phải là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2? Giải thích

tại sao Nếu không hãy đưa ra một phản ví dụ

33 Hàm hằng 𝑓(𝑥) = 𝜋 là nguyên hàm của hàm hằng 𝑘(𝑥) = 0

34 Hàm hằng 𝑘(𝑥) = 0 là nguyên hàm của hàm hằng 𝑓(𝑥) = 𝜋

35 Nếu 𝑛 là một số nguyên thì

𝑥𝑛+1/ (𝑛 + 1) là một nguyên hàm của 𝑥𝑛

36 Hàm hằng 𝑘(𝑥) = 0 là nguyên hàm của chính nó

37 Hàm số ℎ(𝑥) = 5𝑒𝑥 là nguyên hàm của chính nó

38 Hàm hằng 𝑔(𝑥) = 5𝑒𝜋 là nguyên hàm của chính nó

Trong bài toán 39-42, ba đồ thị trong mỗi hình có thể là nguyên hàm của cùng một hàm không? Giải thích

Trong bài toán 43-54, tìm tích phân bất định, Kiểm tra bằng cách lấy vi phân

Trong bài toán 55-62, tìm nguyên hàm cụ thể của từng đạo hàm thỏa mãn điều kiện đã cho

63 Tìm phương trình đường cong

đi qua (2, 3) nếu hệ số góc của nó

được cho bởi 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 4𝑥 − 3 với mỗi

𝑥

63 Tìm phương trình đường cong

đi qua (1, 3) nếu hệ số góc của nó được cho bởi 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 12𝑥2− 12𝑥 với mỗi 𝑥

Trong bài toán 65-70, tìm tích phân bất định

Trong bài toán 71-74, tìm đạo hàm hoặc tích phân bất định như được chỉ ra

75 Dùng phép lấy vi phân để chứng minh công thức

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥

𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 Với điều kiện 𝑛 ≠ −1

76 Dùng phép lấy vi phân để chứng minh công thức

∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

79 Chứng tỏ rằng tích phân bất định

của tổng hai hàm số là tổng của các tích phân bất định

[Gợi ý: Giả sử rằng ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶1 và ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐺(𝑥) + 𝐶2 Dùng đạo hàm hãy chứng minh rằng 𝐹(𝑥) + 𝐶1+ 𝐺(𝑥) + 𝐶2 là tích phân bất định của hàm 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).]

𝐶 ′

̅̅̅(𝑥) = −1,000𝑥2 𝐶̅(100) = 25 đâu là 𝐶̅(𝑥) chi phí trung bình tính bằng

đô la Tìm hàm chi phí trung bình và hàm chi phí Chi phí cố định là gì?

82 Tái tạo năng lượng Năm 2012, mức tiêu thụ năng lượng tái tạo của Hoa Kỳ

là 8.45 triệu tỷ Btu (hoặc 8.45 x 10 15

Btu) Từ những năm 1960, mức tiêu thụ

đã

𝑓 ′ (𝑡) = 0.004𝑡 + 0.062 trong đó 𝑡 là số năm sau năm 1960 Tìm 𝑓’(𝑡) và ước tính mức tiêu thụ năng lượng tái tạo của Hoa Kỳ vào năm 2024

83 Chi phí sản xuất Đồ thị của hàm chi phí cận biên từ việc sản xuất 𝑥 nghìn chai kem chống nắng mỗi tháng [trong đó 𝐶(𝑥) chi phí tính bằng nghìn đô la mỗi tháng] được cho trong hình.

(A) Sử dụng biểu đồ được hiển thị, mô tả hình dạng của biểu đồ hàm chi phí 𝐶(𝑥) khi 𝑥 tăng

từ 0 lên 8.000 chai mỗi tháng

(B) Cho phương trình của hàm chi phí cận biên,

𝐶 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 24𝑥 + 53 tìm hàm chi phí nếu chi phí cố định hàng tháng

ở sản lượng 0 là 30.000 USD Chi phí sản xuất 4.000 là bao nhiêu chai mỗi tháng? 8.000 chai mỗi tháng?

(C) Vẽ đồ thị hàm chi phí cho 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 [Kiểm tra hình dạng của đồ thị so với phân tích trong phần (A).]

(D) Tại sao bạn nghĩ rằng đồ thị của hàm chi phí ở hai đầu dốc hơn ở giữa?

84 Doanh thu Đồ thị của hàm doanh thu cận biên từ việc bán x đồng hồ thể thao được cho trong hình

(A) Sử dụng đồ thị được cung cấp, mô tả hình dạng của đồ thị hàm doanh thu 𝑅(𝑥) khi 𝑥 tăng

từ 0 đến 1.000

(B) Tìm phương trình của hàm doanh thu cận biên (hàm tuyến tính thể hiện trong hình) (C) Tìm phương trình của hàm doanh thu thỏa mãn 𝑅(0) = 0 Vẽ đồ thị hàm doanh thu trong khoảng [0, 1,000] [Kiểm tra hình dạng của đồ thị so với phân tích trong phần (A).]

(D) Tìm phương trình cung – cầu và xác định giá khi lượng cầu là 700 đơn vị

85 Phân tích doanh số Doanh số hàng tháng của một mẫu SUV dự kiến sẽ tăng với tốc độ

𝑆′(𝑡) = −24𝑡 1 3 ⁄

SUV mỗi tháng, trong đó t là thời gian tính bằng tháng và 𝑆(𝑡) là số lượng SUV bán ra mỗi tháng Công ty có kế hoạch ngừng sản xuất mẫu xe này khi doanh số

hàng tháng đạt 300 chiếc SUV Nếu doanh

số hàng tháng bây giờ (𝑡 = 0) là 1.200 chiếc SUV, hãy tìm 𝑆(𝑡) Công ty sẽ tiếp tục sản xuất mô hình này trong bao lâu?

86 Phân tích doanh số Tỷ lệ thay đổi doanh thu hàng tháng của một trò chơi bóng đá mới phát hành được cho bởi

𝑆′(𝑡) = 500𝑡 1 4 ⁄ 𝑆(0) = 0

trong đó 𝑡 là số tháng kể từ khi trò chơi được phát hành và 𝑆(𝑡) là số game bán ra mỗi tháng Tìm 𝑆(𝑡) Khi nào doanh số hàng tháng sẽ đạt 20.000 trò chơi?

87 Phân tích doanh số Lặp lại bài toán 85 nếu 𝑆′(𝑡) = −24𝑡 1 3 ⁄ − 70 và tất cả các thông tin khác vẫn giữ nguyên Sử dụng máy tính vẽ đồ thị để tính gần đúng nghiệm của phương trình 𝑆(𝑡) = 300 đến hai chữ số thập phân

88 Phân tích doanh số Lặp lại bài toán 86 nếu 𝑆′(𝑡) = 500𝑡 1 3 ⁄ + 300 và tất cả các thông tin khác vẫn giữ nguyên Sử dụng máy tính vẽ đồ thị để tính gần đúng nghiệm của phương trình 𝑆(𝑡) = 20,000 đến hai chữ số thập phân

89 Chi phí nhân công Một nhà thầu quốc phòng đang bắt đầu sản xuất hệ thống điều khiển tên lửa mới.Trên cơ sở dữ liệu thu thập được trong quá trìnhlắp ráp 16 hệ thống điều khiển đầu tiên, người quản lý sản xuất thu được hàm sau mô tả tỷ lệ sử dụng lao động:

𝐿 ′ (𝑥) = 2,400𝑥 −1 2 ⁄

Ví dụ, sau khi lắp ráp 16 chiếc, tỷ lệ lắp ráp

là 600 giờ công/chiếc và sau khi lắp ráp 25 chiếc, tỷ lệ lắp ráp là 480 giờ công/chiếc Càng nhiều đơn vị được lắp ráp, quy trình càng hiệu quả Nếu cần 19.200 giờ lao động

để lắp ráp 16 chiếc đầu tiên, thì sẽ cần bao nhiêu giờ lao động 𝐿(𝑥) để lắp ráp 𝑥 chiếc đầu tiên? 25 chiếc đầu tiên?

90 Chi phí nhân công Nếu tỷ lệ sử dụng lao động trong Bài toán 89 là

𝐿′(𝑥) = 2,000𝑥 −1 3 ⁄

và nếu 8 đơn vị điều khiển đầu tiên cần 12.000 giờ lao động, cần bao nhiêu giờ lao động, 𝐿(𝑥), cho x đầu tiên chiếc điều khiển?

27 chiếc kiểm soát đầu tiên?

91 Cân nặng – chiều cao. Đối với một người bình thường, tốc độ thay đổi của cân nặng 𝑊 (tính bằng pound) so với chiều cao ℎ (tính bằng inch) được cho xấp xỉ bởi

92 Chữa lành vết thương Diện tích A của vết thương đang lành thay đổi với tốc độ xấp

xỉ bằng

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = −4𝑡−3 1 ≤ 𝑡 ≤ 10 trong đó t là thời gian tính bằng ngày và 𝐴(1)

= 2 cm vuông Diện tích vết thương sẽ như thế nào sau 10 ngày?

93 Tăng trưởng đô thị. Tốc độ tăng dân số 𝑁(𝑡) của một thành phố mới 𝑡 năm sau khi thành lập được ước tính là

𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 400 + 600√𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 Nếu dân số là 5.000 tại thời điểm thành lập, hãy tìm dân số sau 9 năm

94 Học tập Một lớp ngôn ngữ đại học đã được chọn cho một thử nghiệm trong học tập Sử dụng danh sách 50 từ, thí nghiệm liên quan đến việc đo tốc độ ghi nhớ từ vựng tại các thời điểm khác nhau trong một buổi học kéo dài 5 giờ liên tục Người

ta thấy rằng tốc độ học tập trung bình của

cả lớp tỷ lệ nghịch với thời gian dành cho việc học và được cho gần đúng bởi

𝑉′(𝑡) = 15

𝑡 1 ≤ 𝑡 ≤ 5 Nếu trung bình số từ nhớ được sau 1 giờ học là 15 từ, hỏi trung bình số từ nhớ được sau 𝑡 giờ học trong 1 ≤ 𝑡 ≤ 5 là bao nhiêu? Sau 4 giờ học? Làm tròn câu trả lời đến số nguyên gần nhất

Đáp án các vấn đề tương tự