Bài tập Toán cao cấp 1 Trường Đại học Thương mại có lời giải

Bài tập Toán cao cấp 1 Trương Đại học Thương mại có lời giải chi tiết

nh th c

a. Bi i v

VT =

= y (x + y) (x2+ z2) + xy (z + x) (y2+ z2) + zx (y + z) (x2+ y2) yz (x + z) (x2+ y2) zx (x+ y) (y2+ z2) xy (y + z)(x2+ z2)

= [xyz (z2+ x2) + y2z (z2+ x2) + x2y (y2+ z2) + xyz (y2+ z2) + xyz (x2+ y2) + z2x (x2+ y2)] [xyz (z2+ x2) + xy2(z2+ x2) + zx2(y2+ z2) + xyz (y2+ z2) + xyz (x2+ y2) + yz2(x2+ y2)]

= sin( ) + sin( ) + sin( )

C C C

D D C

2 2

C C D D D D

b A =

100

01cos

4

0cos1

L i gi i.

a.

=

1sin

sin1

sin1

cos

11

sin

sin1

sin1

1

2 2

b.

nh th c

cos41100

01cos

4

0cos1

2

1cos

2

1cos

2k32

2k3

k

A11 = ( 1)1+1

10

01

= 1 A12 = ( 1)1+2

10

0cos4

= 4cos

A13= ( 1)1+3

00

1cos4

= 0 A21= ( 1)2+1

10

0cos

= cos

A22= ( 1)2+2

10

01

= 1 A23= ( -1)2+3

00

cos1

= 0

A31= ( 1)3+1

01

0cos

= 0 A32= ( 1)3+2

0cos4

01

= 0

A33= ( 1)3+3

1cos

4

cos1

= 1 4cos2

A =

2cos410

0

01

cos

0cos

41

A =

2cos4100

01

cos

4

0cos

1

nh th c

65

214

5

23

b

418

116

1263

2

1

21

2

11

3

c

171910

21461

13

241

532

21

; C =

38

63

214

2

45

23

X =

65

21

2

32

52 1

X =

45

23

b.

418

116

126

212

113

418

116

126

X =

4

14

54

14

14

1

418

116

126

X =

101

112

111

c.

nh th c

171910

21461

1

3

24

1

53

2

X =

171910

2146

1

113

241

532

X =

171910

2146

36

536

73611

36

136

1336

718

1181

X =

132

351

d.

10

21

; B =

11

21

; C =

38

63

21

=

38

63

X =

11

0

2

1

38

6

11

21

X =

10

21

38

63

11

21

X =

38

019

11

21

X =

1911

3819

X + Y (x 1 + y 1 , x 2 y 2 n + y n )

M t h vector ch a hai vector t l PTTT.

Bi u di n tuy

: M i vector c a m t h bi u di n tuyvector c a m c a h

6 Bi u di n tuy vector X ( 1, 4, 1) qua hai vector:

vtuy

S.Y hay Y S -1 X tuy

c hi c m i tuy bi n vector X sang bi n vector Y (hay

L i gi i.

Theo t , ta th y:

4sinh b i

1 D NG 1: c l p tuy thu c tuy

H m vector n chi u {X 1 , X 2 m } c g ph thu c tuy n u t n t i m s

-{ b.

A =

Ba vector a1, a2, a3

3 Cho:

3.(A1 X) 2.(A2 X) 5.(A3 X)

3.A1 2.A2 5.A3 6.X

V i k 5 r 3 4 (s vector) H {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } l ph thu c tuy

vector {X 1 , X 2 , X 3 ph thu c tuy

Trong 4 cho h vector: u1= (1, 1, 1, 1), u2= (2, 3, -1, 0), u3= ( 1, 1, 1, 1)

u ki n c h vector u = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) bi u th tuy c qua h u 1,

u 2, u 3

A =

m x1 x2 x3+ x4 = 0ector u bi u di n c qua u1, u2, u3 x1 x2 x3+ x4 = 0

Trong 3cho h vector : u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, 2, 1), u3= (3, 2, 2) (U)

Trong 4 c l p tuy a h vector

v1= (1, 2, 2, 1) ; v2= (2, 5, 6, 5) ; v3= (4, 9, 10, m)

L i gi i.

A =

2 khi m = 7 {v 1 , v 2 , v 3 thu c tuy

r(A) = 3 khi m 7 {v 1 , v 2 , v 3 c l p tuy

ng c a ma tr n sau :

A =

L i gi i.

A =

Trong 4 = (1, 1, 2, 4), u2= (2, 1, 5, 2), u3 = (1, 1, 4, 0), u4= (2, 1, 1, 6)

a Ch ng minh r ng h con g m ba vector c l p tuy

b Ch ng minh r ng vector bi u di n tuy , ,

+ h p tuy , , b.

m2 1 m1

2 n 2n 2

22 1 21

1 n 1n 2

12 1 11

b x a

x a x a

b x a

x a x a

b x a

x a x a

s k t lu n h p.

Cho h Cramer:

n n nn 2

n2 1 n1

2 n 2n 2

22 1 21

1 n 1n 2

12 1 11

b x a

x a x a

b x a

x a x a

b x a

x a x a

(2)

=

nn n2

n1

2n 22

21

1n 12

11

a

a a

a

a a

a

a a

i

n

2 1

b b b

X = (x1, x2 n); A =Khi A kh ngh ch t n t i ma tr n ngh o c a A: A.X = B (*)

B c 1: ) A-1 c: A-1.A.X = A-1.B X = A-1.B

B c 2: n th A-1v i A-1= (A*= Aij= (Aij )

nn 2n

1n

n2 22

21

n1 12

11

*

A

AA

A

AA

A

AA

1m1)(nm 1

m1

11m

V y h m

e.

98 98

7 4 3

5 3

2

3 2

0 2

5

5 4

4 3

3 2

5 4 3 2 1

x

x x

x x

x x

x x x x x

35)

N u

Bi n lu n theo m s nghi m c a h

=

Gi i h

=

= C

(t

H

IV: D

D

1.

;

hay

, vector

2 + 3x3

2 + 4x4

2 + 2x1x2 - 2x2x4

2+ 6x3 2+ 6x2x4+ 10x4

2

f F(x1, x2, x3, x4, x5) = x12 4x1x2+ 5x22+ 6x32+ 6x2x4+ 10x42+ 2x1x5 x52

F(x1, x2 , x3, x4) = -4(y1 + y2)(y1 y2) + 6y3(y1 y2) + 10y3y4

2 + 4x1x3

k = 3; k = 3

F(y1; y2 ; y3) = y12+ y22 + y32

d.

= (x1+ x2)2+ x22+ 4x2x3

= (x1+ x2)2 + (x2+ 2x3)2- 4x32

t c d c: x12 + 2x22 + 2x1x2+ 4x2x3 = y12+ y22 4y32

+ x3 2

4x1x2+ 2x2x3= y1

2

y2 2

+ y3 2

2 + 4x2x3)

3 x2

2+ 28

3x3 2

, gi i h c

, tu

, gi i h c

(f )(x) = f(x) g(x) (fg)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) (g(x) 0) p.

, gi i h c

[f(x)] = x, x X -

u hai bi n x;y cho nhau c

, gi i h c

arctan(tanx) = x, - tan(arctanx) = x,

arcsinx + arcsin(-x) = 0, arccosx +

arccos(-arctanx + arctan(-x) = 0, arccotx +

arccot(-4 Ch ng minh r ng: arccosx +

c t m

, gi i h c

= 2

= 2f(0) = 2 =

, gi i h c

i h n sau:

-

G i

L i gi i.

t bi n

lny= (3x cosx).ln(2x + sinx)

= (3 + sinx).ln(2x + sin x) + = A(x)

ph c t p Thay m t bi u th c d ng phi tuy n b i m t bi u th c d ng tuy

t bi n

L i gi i.

a.

c t i :

t bi n

F = f(x, y) =

= 2u ycos(xy) = 2sin(xy) ycos(xy)

= 2u xcos(xy) = 2sin(xy) xcos(xy)

6 23

57 63

90 108

150 165 187

255 267 277