Phương pháp nội suy và ứng dụng trong bài toán lãi suất (tiểu luận môn phương pháp tính)

Phương pháp tính đồ án bài tiểu luận 8đ ĐẠI HỌC UEH TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ KHOA TOÁN THỐNG KÊ TIỂU LUẬN BỘ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN LÃI SUẤT GVH[.]

TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ

TIỂU LUẬN

BỘ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG

BÀI TOÁN LÃI SUẤT GVHD: Lê Xuân Trường Thành viên nhóm:

1 Phan Thị Quỳnh

2 Lê Thị Thương

TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2022

TRƯỜNG CÔNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ

TIỂU LUẬN

Môn học: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI

TOÁN LÃI SUẤT

Giảng viên: Lê Xuân Trường

Mã lớp học phần: 22C1MAT50803401 Nhóm sinh viên:

1 Phan Thị Quỳnh 31201020864 FM001-K46

2 Lê Thị Thương 31201020891 FM001-K46

TP Hồ Chí Minh, ngày 21tháng 10 năm 2022

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

……….………

TPHCM, ngày 23 tháng 10 năm 2022

GVHD HƯỚNG DẪN

(Ký và ghi rõ h ọ tên)

Phương pháp nội suy và ứng dụng trong bài toán

lãi suất

Phan Thị Quỳnh

Lê Thị Thương October 2022

Mục lục

1.1 Lý do chọn đề tài 4

1.2 Lịch sử nghiên cứu 4

1.3 Tổng quan và mục đích của phương pháp nội suy 5

1.3.1 Tổng quan về phương pháp nội suy 5

1.3.2 Mục đích của phương pháp nội suy 5

1.4 Các phương pháp ứng dụng trong bài toán lãi suất 6

2 Cơ sở lý thuyết 7 2.1 Các lý thuyết liên quan 7

2.1.1 Trái phiếu (Bonds) 7

2.1.2 Trái phiếu chính phủ 8

2.1.3 Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity) 8

2.1.4 Đường cong lợi suất (Yield curve) 9

2.2 Thuật toán giải quyết 11

3 Kết quả thực nghiệm 16 3.1 Mục tiêu thực nghiệm 16

3.2 Lập trình trên Python 17

3.3 So sánh kết quả 18

3.4 KẾT LUẬN 20

1

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thườngHình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngượcHình 2.3: Đường cong lợi suất phẳngHình 2.4: Kết quả

đó đầu tư dài hạn hay ngắn hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc thànhcông của một quyết định đầu tư Tuy nhiên không phải lúc nào các số liệu đềuđược công bố, hay thậm chí bị khuyết, điều này đã tạo nên sự bất cập trong việcđầu tư hay đưa ra các dự đoán Và nội suy và các phương pháp của nó được thựchiện trên Python đã giúp các nhà đầu tư quyết định một cách dễ dàng hơn dựavào các đồ thị mà nó đưa ra theo đường cong lợi suất Bài tiểu luận của nhómđược làm ra để nghiên cứu và đưa ra cái nhìn tổng quan về nội suy và ứng dụngcủa nó lên bài toán lãi suất đồng thời thực hiện bằng ngôn ngữ lập trình Python

để đưa ra kết quả nhằm so sánh và đánh giá một cách cụ thể hơn

1.2 Lịch sử nghiên cứu

Phép nội suy đã được sử dụng bởi các nền văn minh của loài người kể từ thời

cổ đại, đặc biệt là bởi các nhà thiên văn đầu tiên ở Lưỡng Hà và Tiểu Á hayAnatolia là một bán đảo của châu Á mà ngày nay thuộc lãnh thổ Thổ Nhĩ Kỳ

cố gắng lấp đầy những khoảng trống trong quan sát của họ về chuyển động củacác hành tinh Theo thời gian phương pháp nội suy dần được phát triển và hoànthiện hơn

4

1.3 Tổng quan và mục đích của phương pháp

Về mặt kinh tế:

Nội suy là một phương pháp thống kê dùng các giá trị liên quan đã biết để ướctính giá trị chưa xác định hay bị khuyết hay cụ thể hơn là mức lợi nhuận tiềmnăng của một cổ phiếu trên sàn giao dịch chứng khoán Nói một cách chung nhất:Nội suy sử dụng các giá trị đã biết để thiết lập dự đoán cho các giá trị chưa biếtnhằm đưa ra mô hình nối liền theo thứ tự từ các dữ liệu nói trên

Nội suy về cơ bản là một khái niệm toán học đơn giản Nếu có một xu hướngchung nhất quán trên một tập hợp các điểm dữ liệu, người ta có thể ước tínhmột cách hợp lý giá trị của tập hợp tại các điểm chưa được tính toán Các nhàđầu tư và nhà phân tích chứng khoán thường xuyên tạo một biểu đồ đường vớicác điểm dữ liệu được nội suy Các biểu đồ này giúp họ hình dung sự thay đổicủa giá chứng khoán và là một phần quan trọng của phân tích kỹ thuật mà cácnhà phân tích dữ liệu cần quan tâm

1.3.2 Mục đích của phương pháp nội suy

Bằng cách sử dụng một xu hướng nhất quán trên một tập hợp các điểm dữ liệu,các nhà đầu tư có thể ước tính các giá trị chưa biết và vẽ các giá trị này trên biểu

đồ thể hiện biến động giá của cổ phiếu theo thời gian Từ các biến động đó cácnhà đầu tư có thể đưa ra quyết định đầu tư dài hạn hay ngắn hạn nhằm kiếmđược khoản thu chênh lệch tốt nhất

Ví dụ: giả sử chúng tôi đang theo dõi giá chứng khoán trong một khoảng thờigian Chúng ta sẽ gọi dòng mà giá trị của bảo mật được theo dõi là hàm f(x).Chúng ta sẽ vẽ biểu đồ giá hiện tại của cổ phiếu qua một loạt các điểm đại diệncho các khoảnh khắc trong thời gian Vì vậy, nếu chúng ta ghi lại f(x) cho tháng

8, tháng 10 và tháng 12, các điểm đó sẽ được biểu diễn toán học dưới dạng x1,x3 và x5 Vì một số lý do,mà giá trị của tháng 9 bị bảo mật Tuy nhiên có thể sửdụng thuật toán nội suy tuyến tính để ước tính giá trị của f(x) tại điểm biểu đồx2 xuất hiện trong phạm vi dữ liệu hiện có

Khi đã có đủ các dữ liệu cần biết, phương pháp nội suy sẽ đưa ra biểu đồ hìnhhọc với đường cong lợi suất thể hiện sự giao động của lợi suất qua từng thời kỳ

Từ đó mà có thể đưa ra quyết định đầu tư đến khoảng thời gian nào thì ngừng

hay nói cách khác đầu tư dài hạn hoặc ngắn hạn.

1.4 Các phương pháp ứng dụng trong bài toán

lãi suất

Có rất nhiều cách để nội suy một tập dữ liệu, nhưng để giải quyết các vấn đề vềđường cong lợi suất thì chỉ cần chú ý một vài phương pháp phổ biến:

- Linear interpolation ( Nội suy tuyến tính)

- Cubic spline (Spline khối)

- Dougherty/ Hyman

- Hussian

- Hagan - West

- Lagrange

Chương 2

Cơ sở lý thuyết

2.1 Các lý thuyết liên quan

2.1.1 Trái phiếu (Bonds)

Trái phiếu là công cụ nợ và đại diện cho các khoản cho vay đối với tổ chức pháthành Chính phủ (các cấp) và các tập đoàn thường sử dụng trái phiếu để vaytiền Các chính phủ cần tài trợ cho đường sá, trường học, đập hoặc các cơ sở hạtầng khác Chi phí chiến tranh đột ngột cũng có thể đòi hỏi nhu cầu huy độngvốn Tương tự, các tập đoàn thường vay để phát triển kinh doanh, mua tài sản

và thiết bị, thực hiện các dự án sinh lời, nghiên cứu và phát triển, hoặc thuê nhânviên Vấn đề mà các tổ chức lớn gặp phải là họ thường cần nhiều tiền hơn mức

mà các ngân hàng trung bình có thể cung cấp và trái phiếu cung cấp một giảipháp bằng cách cho phép nhiều nhà đầu tư cá nhân đảm nhận vai trò của ngườicho vay

Hầu hết các trái phiếu đều có chung một số đặc điểm cơ bản bao gồm:

- Mệnh giá (mệnh giá) là số tiền mà trái phiếu sẽ có giá trị khi đáo hạn; nó cũng

là số tiền tham chiếu mà công ty phát hành trái phiếu sử dụng khi tính toán cáckhoản thanh toán lãi suất Ví dụ: giả sử một nhà đầu tư mua một trái phiếu vớimức phí bảo hiểm là 1,090 đô la và một nhà đầu tư khác mua trái phiếu tương

tự sau đó khi nó đang giao dịch với mức chiết khấu là 980 đô la Khi trái phiếuđáo hạn, cả hai nhà đầu tư sẽ nhận được mệnh giá 1.000 đô la của trái phiếu

- Lãi suất Coupon là lãi suất mà công ty phát hành trái phiếu sẽ trả trên mệnhgiá của trái phiếu, được biểu thị bằng tỷ lệ phần trăm, được tính bằng cách lấytổng các khoản thanh toán coupon hàng năm chia cho mệnh giá của trái phiếu

- Ngày đáo hạn là ngày trái phiếu đáo hạn và công ty phát hành trái phiếu sẽthanh toán cho trái chủ mệnh giá của trái phiếu

- Giá phát hành là giá mà công ty phát hành trái phiếu bán trái phiếu ban đầu.Trong nhiều trường hợp, trái phiếu được phát hành ngang giá

7

2.1.2 Trái phiếu chính phủ

Trái phiếu chính phủ là những trái phiếu do Chính phủ phát hành nhằm mụcđích bù đắp các thâm hụt của ngân sách nhà nước, tài trợ cho các công trìnhphúc lợi công cộng trung ương và địa phương hoặc làm công cụ điều tiết tiền tệ.Phát hành trái phiếu chính phủ là phương thức để nhà nước vay vốn (tín dụngnhà nước) Do đó, trái phiếu ghi nhận nghĩa vụ trả nợ của Nhà nước và quyềnlợi của người sở hữu trái phiếu Hình thức ban đầu của trái phiếu chính phủ ápdụng phổ biến là hình thức chứng chỉ, sau đó xuất hiện thêm hình thức bút toánghi sổ

Trái phiếu chính phủ gồm các loại sau:

- Trái phiếu kho bạc: loại trái phiếu chính phủ được phát hành thông qua hệthống kho bạc nhà nước

- Trái phiếu đầu tư: loại trái phiếu chính phủ phát hành theo phương thức đấuthầu qua thị trường giao dịch chứng khoán tập trung, bảo lãnh hoặc đại lý pháthành Trái phiếu chính phủ được phát hành và thanh toán bằng đồng Việt Namhoặc ngoại tệ Người sở hữu trái phiếu chính phủ có các quyền lợi cơ bản: đượcChính phủ bảo đảm thanh toán trái phiếu (gốc và lãi) khi đến hạn; được dùngtrái phiếu để bán, tặng, cho, để lại thừa kế hoặc cầm cố; cá nhân được miễn thuếthu nhập đối với khoản thu nhập từ trái phiếu

2.1.3 Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity)

Lợi suất đáo hạn, lợi tức đáo hạn hay lãi suất đáo hạn là lãi suất hòa vốn trungbình của một trái phiếu nếu mua trái phiếu ở một thời điểm và giữ lại trái phiếu

đó cho đến ngày đến hạn thanh toán Hiểu một cách đơn giản YTM trái phiếu

là tỷ suất lợi nhuận thu được từ trái phiếu nếu nắm giữ trái phiếu này đến khiđáo hạn

Ta có công thức tính lợi suất đáo hạn:

P =Pn

t=1(1+Y T M )C t + M

(1+Y T M ) nTrong đó:

C: Số tiền lãi coupon hàng năm

P: Giá thị trường của trái phiếu

n: số năm cho đến khi trái phiếu đáo hạn

Lợi suất đáo hạn nêu trên cũng chính là một lãi suất hoàn vốn nên có thể xácđịnh bằng phương pháp nội suy

Lợi suất đáo hạn là đại lượng được sử dụng rất thường xuyên để đo lường mứcsinh lời của trái phiếu

Việc tính toán lợi suất đáo hạn không chỉ tính tới tiền lãi hiện tại mà còn tính tớibất kỳ khoản lời hay lỗ nào mà nhà đầu tư sẽ gặp phải bằng việc giữ trái phiếucho đến ngày thanh toán

Lợi suất đáo hạn còn xem xét tới thời gian của dòng tiền Trong đó nhà đầu tưcần chú ý đến mối quan hệ giữa trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hiện hành

Downloaded by hay hay (vuchinhhp8@gmail.com)

và lợi suất đáo hạn Mối quan hệ này thể hiện như sau:

Trái phiếu được bán tại Mối quan hệ

Mệnh giá Lãi suất coupon = lợi suất hiện hành = lợi suất đáo hạnDưới mệnh giá Lãi suất coupon < lợi suất hiện hành < lợi suất đáo hạnTrên mệnh giá Lãi suất coupon > lợi suất hiện hành > lợi suất đáo hạnBảng 1: Mối quan hệ của giá trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hiện hành vàlợi suất đáo hạn

2.1.4 Đường cong lợi suất (Yield curve)

Đường cong lợi suất là một đường lợi suất (lãi suất) của trái phiếu có chất lượngtín dụng bằng nhau nhưng khác nhau về ngày đáo hạn Đường cong lợi suất thểhiện lợi suất trái phiếu theo các kỳ hạn khác nhau, thể hiện lãi suất kỳ vọngtrong tương lai của thị trường tại một thời điểm hiện tại

Đường cong lợi suất được sử dụng làm chuẩn cho các khoản nợ khác trên thịtrường, chẳng hạn như lãi suất thế chấp hoặc lãi suất cho vay ngân hàng, và nóđược sử dụng để dự đoán những thay đổi trong sản lượng và tăng trưởng kinh tế.Các đặc điểm của đường cong lợi suất:

- Đường cong lợi suất đối với các trái phiếu do Chính phủ phát hành được coi làđường cong lợi suất tham chiếu do rủi ro tín dụng gần như bằng 0

- Khoảng chênh lệch giữa đường cong lợi suất của một loại trái phiếu nào đó sóvới đường cong lợi suất tham chiếu sẽ hình thành nên chênh lệch tín dụng (creditspread) Mức độ rủi ro của chủ thể phát hành càng cao thì chênh lệch tín dụngcàng lớn và ngược lại

- Đường cong lợi suất được sử dụng như một công cụ định giá trái phiếu, đồngthời được các nhà kinh tế sử dụng như một cảnh báo về tình hình kinh tế vĩ môtrong tương lai

Có 3 loại đường cong lợi suất chính:

Đường cong lợi suất thông thường (normal)

Đường cong lợi đảo ngược (Inverted)

Đường cong lợi suất phẳng

a) Đường cong lãi suất thông thường (Normal)

Đường cong lợi suất bình thường hoặc dốc lên cho thấy lợi suất của trái phiếudài hạn hơn có thể tiếp tục tăng, đáp ứng với các giai đoạn mở rộng kinh tế Do

đó, một đường cong lợi suất thông thường bắt đầu với lợi suất thấp đối với tráiphiếu có thời hạn ngắn hơn và sau đó tăng đối với trái phiếu có thời gian đáohạn dài hơn, dốc lên trên Đây là loại đường cong lợi suất phổ biến nhất vì tráiphiếu có kỳ hạn dài hơn thường có lợi suất khi đáo hạn cao hơn trái phiếu có kỳhạn ngắn hơn

Ví dụ, giả sử trái phiếu hai năm cung cấp lợi suất 1%, trái phiếu năm năm cungcấp lợi suất 1,8%, trái phiếu 10 năm cung cấp lợi suất 2,5%, trái phiếu 15 nămcung cấp lợi suất 3,0 %, và trái phiếu kỳ hạn 20 năm có lợi suất là 3,5% Khi cácđiểm này được kết nối với nhau trên một biểu đồ, chúng có hình dạng của mộtđường cong lợi suất bình thường

Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thường

b) Đường cong lợi suất đảo ngược (Inverted)

Một đường cong lợi suất ngược lại dốc xuống và có nghĩa là lãi suất ngắn hạnvượt quá lãi suất dài hạn Một đường cong lợi suất như vậy tương ứng với cácgiai đoạn suy thoái kinh tế, nơi các nhà đầu tư kỳ vọng lợi suất của trái phiếu có

kỳ hạn dài hơn sẽ thậm chí còn thấp hơn trong tương lai

Hình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngượcĐường cong lợi suất đảo ngược tương đối hiếm, phần lớn là do khoảng thời giandài hơn trung bình giữa các cuộc suy thoái kể từ đầu những năm 1990 Ví dụ,các đợt mở rộng kinh tế bắt đầu vào tháng 3 năm 1991, tháng 11 năm 2001 vàtháng 6 năm 2009 là ba trong số bốn đợt mở rộng kinh tế dài nhất kể từ Thếchiến thứ hai

c) Đường cong lợi suất phẳng (Flat)

Đường cong lợi suất phẳng có thể là kết quả của việc lãi suất dài hạn giảm nhiềuhơn lãi suất ngắn hạn hoặc lãi suất ngắn hạn tăng nhiều hơn lãi suất dài hạn

Đường cong lợi suất phẳng thường là một dấu hiệu cho thấy các nhà đầu tư vàthương nhân đang lo lắng về triển vọng kinh tế vĩ mô.

Hình 2.3: Đường cong lợi suất phẳng

2.2 Thuật toán giải quyết

Nội suy tuyến tính và phương pháp spline khối là hai phương pháp phổ biến nhấttrong quá trình nội suy

Xét cặp dữ liệu (x0,y0) và (x1,y1) Từ cặp dữ liệu này chúng ra quan tâm đếnviệc vẽ một đường thẳng từ cặp dữ liệu trên Nếu như kiến thức trung học phổthông cho thấy giá trị y tương ứng với giá trị x cho trước là:

y= y0+ (x − x − x0)(y1 −y 0 )

x1−x0Thì từ công thức này ta có thể mở rộng thành tập dữ liệu bao gồm n điểm Tuynhiên đường cong được tạo ra chỉ liên tục khi các đạo hàm bậc nhất không liêntục tại các điểm của bộ dữ liệu, do đó đường cong đôi khi có vẻ hơi “ lởm chởm”.Điều cần lưu ý là nội suy tuyến tính bị giới hạn bởi đạo hàm bậc hai khiến cho

nó bị lỗi gần đúng Để xử lý lỗi này, xác định hàm f(x) được nội suy và để đathức tuyến tính p(x) xấp xỉ với f(x) tại các điểm x=a và x=b

RT = f (x) − p(x) , a ≤ x ≤ b

Theo định lý Rolle (Widder 1989, Spiegel 1969), chúng ta có thể chỉ ra:

p(x) = f (a) + f(b)−f (a)b−a (x − a)

Thuật toán giải quyết:

Vd: Tìm phép nội suy tuyến tính tại x = 1.5 dựa trên cặp dữ liệu x = [0,1,2] và

y = [1,3,2] Xác minh kết quả bằng chức năng SciPy’s interp1d Vì 1<x<2 chúng

ta sử dụng điểm dữ liệu thứ hai và thứ ba để tính toán nội suy tuyến tính Vàthực hiện như sau:

ˆ

y(x) = yi+(y( i +1)−y i )(x−x i )

x(i+1)−x i = 3 +(2−3)(1.5−1)2−1 = 2.5Thực hành trên Python:

from scipy.interpolate import interp1d

plt.plot(1.5, y_hat, "ro")

plt.title("Linear Interpolation at x = 1.5")

Nếu như nội suy tuyến tính làm việc trên khoảng (a,b) thì với phương pháp bic Spline ta giả sử có δ = xj : j = 0, 1, 2, , n là một phân hoạch của (a,b) với

Cu-a= x0 < x1 < < xn = b Từ đó xác định các giá trị đã cho như sau:

Để xác định Spline Sδ chúng ta đưa giới hạn điều kiện tại x= a và x = b Ta cócác lựa chọn loại trừ:

Sδ”(Y ; a) = Sδ”(Y ; b) = 0

S′

δ(Y ; a) = α, S′

δ(Y ; b) = β, (α, β given)Trong trường hợp này, đạo hàm bậc hai của hàm spline bằng 0 tại x=a và tạix=b hoặc đạo hàm bậc nhất của hàm được cho tại tại x=a và x=b và có giá trịlần lượt là α và β Theo Stoer và Bulirsch 1980 có thể thấy cubic spline có thểđược diễn giải như sau:

Yδ(Y, x) = Mj(x( j+1)−x) 3

6h(j+1) + M(j+ 1)(x−xj ) 3

6h(j+1) + Aj(x − xj) + bjTại

Aj = y( j +1)−y j

h(j+1) − h(j+1)6 (M(j+ 1) − Mj) Bj = yj −Mjh

2 ( j+1)

6 , j = 0, 1, , nTrong đó tất cả tham số và hệ số đều đã biết, ngoại trừ(Mj)n

j = 0 Tuy nhiênchúng ta có thể giải quyết bằng cách viết bài toán dưới dạng ma trận tam giác:AM=d Tại

Trong đó các phần tử của ma trận A phụ thuộc vào các điều kiện biên, cụ thể làgiá trị đạo hàm cấp 2 trường hợp (a) hoặc giá trị cho trước đạo hàm bậc 1 trườnghợp (b) Cụ thể: