044 a đề vào 10 hệ chuyên toán 2022 2023 tỉnh phú thọ

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên trục Ox... Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên trục Ox.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

Năm học : 2022-2023 Môn : TOÁN CHUYÊN

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2 8x  4 8m 0.Tìm mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn 1 x 1 x2

b) Gọi a b c, , là các số thực thỏa mãn a2b2c2 ab bc ca  và a b c   3 Tính giá trị biểu thức A a2 1 3bc

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Xác định các hệ số a b c, , của đa thức P x  x3ax2bx c , Biết P  2 29,

 1 5

b) Cho nsố nguyên dương sao cho 4n 13và 5n 16là các số chính phương Chứng minh rằng 2023n 45chia hết cho 24

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình  2   2   2 

2 17x  6  x  4x 3 2x  5 2 3x x  22

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho điểm A146;2022 Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên trục Ox Tìm số điểm nguyên nẳm trong tam giác

OAH (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên)

Câu 4.(3,0 điểm) Cho hai đường tròn O R; và O R'; 'cắt nhau tại hai điểm Avà B (R R 'và O O, 'thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB).Đường thẳng AOcắt (O)

và O'lần lượt tại C và M, đường thẳng AO'cắt (O) và (O') lần lượt tại N và D

a) Chứng minh rằng năm điểm M N O K B, , , , cùng thuộc một đường tròn

b) Gọi  I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD E; là điểm đối xứng của C qua

;

B Plà giao điểm của AEvà HD; Flà giao điểm của BH với   I FH Q; là giao điểm của CF với BP.Chứng minh rằng BP BQ

c) Chứng minh rằng IBP 90 

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức :      

P

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

c) Cho phương trình x2 8x 4 8m0 1 Tìm mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn 1 x 1 x2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

3 ' 0 12 8 0

2

        

Vì x x1 , 2là nghiệm của (1) nên

1 2

8

4 8

 





 



Ta có

1

1 0

   

     



8 3 0





        

   



Vậy

2 m 8

   

là các giá trị cần tìm

d) Gọi a b c, , là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca  và a b c   3 Tính giá trị biểu thức A a2 1 3bc

Ta có a2 b2 c2 ab bc ca   2a2  2b2  2c2  2ab 2bc 2ca

         

Mà a b c   3 a b c   3 A a2 1 3bc11

Câu 2 (2,0 điểm)

c) Xác định các hệ số a b c, , của đa thức P x  x3ax2bx c , Biết P  2 29,

 1 5

Vì P  2 29nên ta có   8 4a 2b c  29  4a 2b c  21

 

 

         

         

Ta có hệ phương trình :

    

     

Vậy a3,b2,c5

d) Cho nsố nguyên dương sao cho 4n 13và 5n 16là các số chính phương Chứng minh rằng 2023n 45chia hết cho 24

Giả sử 4n 13 a2và 5n16b a b2 ,  *, từ 4n 13 a2  alà số lẻ

Ta có 4n13a2  4n3 a21 4n3  a1 a1

Vì a là số lẻ nên a1;a1là hai số chẵn liên tiếp, do đó a1 a 1 8

n 3 2 n

    là số lẻ  b2  5n 16là số lẻ

Lại có 5n16b2  5n3  b1 b 1 8 , Mà 5,8  1 n3 8 1  

Ta có a2b2 9n29 2 mod 3  

Mà a2 0;1 (mod 3), b2 0,1 (mod 3)  a2 b2 1 mod 3 

4 13 1 mod 3

3 0 mod 3 2

5 16 1 mod 3

n

n n

 



 



Vì 3;8 1nên từ (1) và (2) suy ra n  3 24

Từ đó 2023n45 2016 7  n324 24( dfcm)

Câu 3 (2,0 điểm)

c) Giải phương trình 2 17 x2  6  x2  4x 3 2x 5 2 3  x x 2  22

(1)

Điều kiện :

5

2 5 0

2

x   x

Phương trình   3 2  2 

1  6x  34x  44x 12  x  4x 3 2x 5 0 

   

2

2

3( )

       





 



Phương trình (2) 6x12 2 2 x5  x1 2 x 5 0 3 

Khi x 1không thỏa mãn phương trình (3) Khi x 1

 

 2

2

2

2 5 3

1

2 1

2 5 3

9

9 26 11 0

1

2

x

x

x x

x

x x

x







    









 









  





Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

13 2 67 5 29

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho điểm A146;2022 Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Atrên trục Ox Tìm số điểm nguyên nẳm trong tam giác

Vì Hlà hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên H146;0

Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy,suy ra B0;2022

Gọi C là trung điểm của đoạn OA, suy ra C73;1011

Điểm M x y 0 ; 0 x y  0 ; 0 là điểm nguyên nằm trong OAHkhi và chỉ khi điểm

' '; ' '; '

Do đó số điểm nguyên nằm trong tâm giác OAH bằng

1

2(số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng OA)

Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH bằng 145.2021 293045 

Phương trình đường thẳng OAlà

1011 73

Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn thẳng OA (trừ điểm O và A) bằng 1

Vậy số điểm nguyên trong OAHbằng

293045 1

146522 2





Câu 4.(3,0 điểm) Cho hai đường tròn O R; và O R'; 'cắt nhau tại hai điểm A

và B (R R 'và O O, 'thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB).Đường thẳng

AOcắt (O) và O'lần lượt tại C và M, đường thẳng AO'cắt (O) và (O') lần lượt tại Nvà D C D M N, , , A Gọi K là trung điểm của CD H; là giao điểm của

CN và DM

d) Chứng minh rằng năm điểm M N O K B, , , , cùng thuộc một đường tròn

H

N

M

C

B

A

Ta có ANC90(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O ) AD CH

90

CMD

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O' )  ACDH

Suy ra Alà trực tâm HCD HA CD  H A B, , thẳng hàng

Dễ có tứ giác CDMNnội tiếp đường tròn tâm K

2

    (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN)

 1

Ta có tứ giác ABCN nội tiếp  ACN ABN(góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Tứ giác ABDMnội tiếp  ADM ABM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Kết hợp với (1) suy ra ABNABM ACN MKN MBN  2 ACN 2

Ta có MON  2 ACNMBN 3

Từ (2) và (3) suy ra 5 điểm M N O K B, , , , cùng thuộc một đường tròn

e) Gọi  I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD E; là điểm đối xứng của C qua B P; là giao điểm của AEvà HD; Flà giao điểm của BHvới

  I F H Q; là giao điểm của CF với BP.Chứng minh rằng BP BQ

S

P T

Q

F I

H N

E C

M

B

A

Xét tứ giác ACFEcó hai đường chéo CEAF tại trung điểm Bcủa CE  1

Ta có DCM BHD(cùng phụ với CDH) Mà BHDDCF(góc nội tiếp cùng chắn DF ) DCM DCF 2

Từ (1) và (2) suy ra ACFElà hình thoi

Xét BFEvà BQCcó BEPBCQ(so le trong), BE BC ,EBPCBQ(đối đỉnh)

    

f) Chứng minh rằng IBP 90 

Gọi S T, là giao điểm của BQvà  I (như hình vẽ)

Xét tứ giác ADEHcó AEDAHD(cùng bằng ACE),suy ra tứ giác ADEHnội tiếp PD PH PA PE PT PS 

Từ BPEBQC PE QC  PA QF  PA PE QF QC QS QT.  .  .

Vậy QS QT. PT PS.  QS PQ PT   PT PQ QS.  

       

B

 là trung điểm của ST nên IBST  IBP90dfcm

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức :      

P

Ta có

P

và  4  4  4

1

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

 4  2

4

(a 1) 16 16 a1 2 a1

Tương tự ta có :

 2  2  2

P

Ta chứng minh    

1

với a b , 0

Thật vậy:    

 2   2    2 2

1



     

2

2

         

            

    

 2  12

     0(luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi a b  1

Tương tự có :   

1

ab

c

ab

Khi đó :

 2  2  2

ab P

ab ab

Vậy

3

1 16

Min P  a b c    x y z