2,0 điểm Cho tam giác ABCnhọn AB AC... c Chứng minh MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB... 2,0 điểm Cho tam giác ABCnhọn AB AC.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP HỒ CHÍ MINH
ĐÈ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn xy+ (1 +x2) (1 +y2) = 1
Tính giá trị của biểu thức M = +(x 1 +y2)(y+ 1 +x2)
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình :
2
x+ + =x x − −x
b) Giải hệ phương trình :
2 1
3 1
5 1
x
x
y z y y
z x z z
x y
+
+
+
Câu 3 (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh BCvà CDlần lượt lấy các điểm M N, sao cho ∠MAN = °45
a) Chứng minh MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB
b) Kẻ MP/ /AN P AB( ∈ )
và kẻ NQ song song với AM Q AD( ∈ ).
Chứng minh
AP= AQ
Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa a b c+ + =3
a) Chứng minh rằng ab bc ca+ + ≤3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Trang 2Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn (AB AC< )
có các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H Đường thẳng EFcắt đường thẳng BCtại I Đường thẳng qua A vuông góc với IHtại K và cắt BC tại M
a) Chứng minh tứ giác IFKCnội tiếp và
BI CI
BD =CD
b) Chứng minh M là trung điểm của BC
Câu 6 (1,0 điểm) Số nguyên dương nđược gọi là “số tốt” nếu n+1
và 8n+1
đều là các số chính phương
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2,3chữ số
b) Tìm các số nguyên kthỏa mãn
10
và 4n k+
là hợp số với mọi nlà “số tốt”
Trang 3ĐÁP ÁN
Câu 1 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn xy+ (1 +x2) (1 +y2) = 1
Tính giá trị của biểu thức M =(x+ 1 +y2)( y+ 1 +x2)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1
0
1 1
xy xy
x y
xy xy
≤
Ta được
Câu 2 (2,5 điểm)
c) Giải phương trình :
2
x+ + =x x − −x
Điều kiện : x≥ −4
2 2
0
4
3 21
2
4 1 0
1 13 2
x
x
x
+ = ⇔
Vậy phương trình có nghiệm
1 13 3 21
;
x= − + x= +
Trang 4d) Giải hệ phương trình :
2 1
3 1
5 1
x
x
y z y y
z x z z
x y
+
+
+
Từ giả thiết, suy ra x y z, , ≠0
+ +
+ +
+ +
Đặt xy a yz b xz c= , = , =
3 3 5 5 3 2 3 3 5 5
6c 6b 5b 5c c 11b a 2.11b 3b 19b
Nên :
1
11
239 239 239
=
Vậy
239 239 239
60 60 1140
Trang 5Câu 3 (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh BCvà CDlần lượt lấy các điểm M N, sao cho ∠MAN = °45
Trang 6c) Chứng minh MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB
Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BDvới AM AN, Xét tứ giác ABMF có ∠MAN = ∠FBM = °45
và ∠MAN,∠FBM cùng nhìn cạnh FMnên
tứ giác ABMFnội tiếp
¼ ( )
1
1 2
⇒ ∠ = ∠ =
và ∠AFM = °90
Xét tứ giác AENDcó ∠MAN= ∠EDN = °45
và
,
MAN EDN
cùng nhìn cạnh EN nên
tứ giác AENDnội tiếp ⇒ ∠AEN = °90
(vì ∠ADN = °90 )
Ta có ∠MEN = ∠MFN = °90
nên tứ giác MEFN nội tiếp
» ( )
1
2 2
⇒ ∠ = ∠ =
Mặt khác 2 1
∠ = ∠
(cùng phụ ∠AMN) 3( )
Trang 7Từ (1), (2), (3) suy ra 1 2
∠ = ∠ ⇒ ∆ABM = ∆AHM ch gn( − ) ⇒ AB= AH
Vậy MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB
d) Kẻ MP AN P AB/ / ( ∈ )
và kẻ NQ song song với AM Q AD( ∈ ).
Chứng minh
AP= AQ
Ta có : ∠AMP= ∠MAN = ∠ANQ= °45 (so le trong)
45
Nên tứ giác PBMEnội tiếp ⇒ ∠PEM = °90
mà
( ) , ,
NE⊥AM cmt ⇒P E N
thẳng hàng
Chứng minh tương tự : Q F M, , thẳng hàng
90
nên tứ giác PQNMnội tiếp 1 1
⇒ ∠ = ∠
Lại có tứ giác FEMN nội tiếp 1 1
⇒ ∠ = ∠
mà 1 2
∠ = ∠
(đối đỉnh)
⇒ ∠ = ∠
Ta có PQ BD/ / ⇒ ∠APQ= ∠ABD= °45
APQ
⇒ ∆
vuông cân tại A nên AP=AQ
Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa a b c+ + =3
c) Chứng minh rằng ab bc ca+ + ≤3
Ta có : a b c+ + =3
2
a b c+ + − ab bc ca+ + = a b− + −b c + −c a ≥
a b c ab bc ca ab bc ca
(vì a b c+ + =3) Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1
Trang 8d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Ta có :
( )
2
a
( )
2
Từ (1) và (2)
( )
a b
+
Chứng minh tương tự :
( )
Từ
ab bc ca
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1
Trang 9Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn (AB AC< )
có các đường cao
, ,
AD BE CF
cắt nhau tại H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BCtại I Đường thẳng qua Avuông góc với IHtại K và cắt BC tại M
c) Chứng minh tứ giác IFKCnội tiếp và
BI CI
BD =CD
Ta có : ∠AFH = ∠AKH = ∠AEH = ° ⇒90 F H K E A, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH ⇒ ∠FKH = ∠FEH
hay ∠FKI = ∠FEB( )1 Cũng có ∠BFC= ∠BEC= °90 ⇒B F E C, , ,
cùng thuộc đường tròn đường kính BC
( )2
Từ (1), (2) suy ra ∠FKI = ∠FCB
hay ∠FKI = ∠FCI⇒IFKC
nội tiếp
Trang 10Ta có : Tứ giác BFECnội tiếp nên ∠FEB= ∠FCB
(3)
Ta có ∠HDC= ∠HEC= ° ⇒90
Tứ giác HDCEnội tiếp đường tròn đường kính HC
hay ∠BED= ∠FCB
(4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠FEB= ∠FCB⇒EB
là phân giác trong góc E của ∆IED
Mà EC⊥EB⇒EC
là phân giác ngoài góc E của ∆IED
BI CI EI
(tính chất đường phân giác)
d) Chứng minh M là trung điểm của BC
Xét ∆AIMcó hai đường cao ADvà IKcắt nhau tại H⇒H
là trực tâm
hay MT ⊥AI ⇒ ∠HTA= ° ⇒90 T
thuộc đường tròn đường kính AH
Mà F H E A, , , thuộc đường tròn đường kính AH
Nên 5 điểm T F H K E, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH
( )
IT IA IF IE
Mặt khác, tứ giác BFECnội tiếp (cmt)⇒IF IE IB IC = ( )**
Từ (*) và (**) ⇒IT IA IB IC. = . ⇒TACB
là tứ giác nội tiếp
T
⇒
thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC
Kẻ đường kính 1
AA
của (O)
90
mà MT ⊥ AI
1 , , ,
A T H M
⇒
thẳng hàng
Mà ta dễ chứng minh 1
A BHC
là hình bình hành và M là giao điểm của BC và 1
A H
nên M là trung điểm của BC
Trang 11Câu 6 (1,0 điểm) Số nguyên dương nđược gọi là “số tốt” nếu n+1
và 8n+1
đều
là các số chính phương
c) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2,3chữ số
Ta có
3 1 4;8 1 25
n= ⇒ + =n n+ =
đều là các số chính phương
15 1 16,8 1 121
đều là các số chính phương
120 1 121,8 1 961
đều là các số chính phương Vậy n=3,n=15,n=120là ba số tốt
d) Tìm các số nguyên kthỏa mãn
10
và 4n k+
là hợp số với mọi nlà “số tốt”
Ta có n+1
và 8n+1
là hai số chính phương Nếu n≡ 1 mod 3( ) ⇒ + ≡n 1 2 mod 3( )⇒ktm
Nếu n≡ 2 mod 3( )⇒ 8n+ ≡ 1 2 mod 3( )⇒ktm
Vậy nM3
Với k∈ −{1; 1;5; 5;7; 7; 9; 10 − − − − }
thì 4k+1
là số nguyên tố Với k∈{0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 ± ± ± ± ± }
dê thấy 4n k+
khác 2 và 3 nên 4n k+
là hợp số Vậy k∈{0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 ± ± ± ± ± }