010 đề vào 10 hệ chuyên toán 22 23 tỉnh bình phước

2,5 điểm Cho tam giác ABCnhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC M, là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC.Gọi I J, lần lượt là hình chiếu của M lên các đườ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÌNH PHƯỚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (CHUYÊN)

Thời gian : 150 phút Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

2

2x 3 x x 1 x x P

  (với x0;x1) a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Câu 2 (1,5 điểm) Cho phương trình x 1 x2  2x m   0 1 với m là tham số Tìm tất

cả các giá trị của tham số mđể phương trình  1 có đúng ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 3

3

x x x 

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình : x1 x 3 6 4 x2 4x6

b) Giải hệ phương trình

2 4 10 12 2 12 9 0

5

2

x







Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABCnhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.Gọi

H là trực tâm của tam giác ABC M, là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC.Gọi I J, lần lượt

là hình chiếu của M lên các đường thẳng BC CA, Đường thẳng IJ cắt đường thẳng

ABtại K

a) Chứng minh bốn điểm B K M I, , , cùng thuộc một đường tròn Từ đó suy ra

b) Gọi M M M1 , 2 , 3lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng

, ,

c) Chứng minh khi điểm M di động trên cung nhỏ BCta luôn có

2 4 4 sin

M M  R BAC Xác định vị trí của điểm M khi dấu bằng xảy ra

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 6y2xy2y x  7 0

b) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn x2 2021y22022chia hết cho xy.Chứng minh rằng x y, là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau

Câu 6 (1,0 điểm)

a) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b  2 Chứng minh

1

b a  b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab a b    1 c 6

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

2

2x 3 x x 1 x x P

  (với x0;x1)

c) Rút gọn biểu thức P

   

 

   

 

P

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Vậy

3

2

Câu 2 (1,5 điểm) Cho phương trình x 1 x2  2x m  0 1 

với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình  1 có đúng ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 3

3

x x x 

Ta có :

 

2

2

1

x







Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì  * có hai nghiệm phân biệt khác 1

 

1

m

   





Do vai trò các nghiệm như nhau, gọi x 3 1và phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

thỏa hệ thức Vi-et :

1 2

1 2

2

x x

x x m

 







 Ta có :

1 2

3( )

x x



Câu 3 (2,0 điểm)

c) Giải phương trình : x1 x 3 6 4 x2 4x6

Phương trình đã cho  x2 4x 6 x2 4x  6 3 0

Đặt t  x2 4x 6 0 Phương trình trở thành :

2 2

2

4 3 0

t t

     

    

       



Vậyx  2 7

d) Giải hệ phương trình

 

 

2 4 10 12 2 12 9 0 1

5

2

x







Ta có :  1  x2 2 5 2  y x 12y212y 9 0

' 16 1

6 9( )

x

x y y

 



      

 Với x2y1

 

2

2 2 1 0

2 1 0

3

y

y ktm do y



  







Vậy x y ;  3; 2

Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABCnhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính

.

R Gọi Hlà trực tâm của tam giác ABC M, là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC.Gọi

,

I Jlần lượt là hình chiếu của Mlên các đường thẳng BC CA, Đường thẳng IJ cắt đường thẳng ABtại K

D

K

J

I

H

O

A

M

d) Chứng minh bốn điểm B K M I, , , cùng thuộc một đường tròn Từ đó suy ra

Ta có MICMJC90 gt  IJCM là tứ giác nội tiếp

Do đó KIM JCM (góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

Tứ giác ABMCnội tiếp nên KBM ACM JCM

Từ đó suy ra KIM KBM  BIMKlà tứ giác nội tiếp

Vậy bốn điểm B K M I, , , cùng thuộc một đường tròn

e) Gọi M M M1 , 2 , 3lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng

, ,

Ta có : IJ/ /M M JK1 2 , / /M M2 3

Và theo giả thiết I J K, , thẳng hàng nên ta có các điểm M M M1 , 2 , 3thẳng hàng

Ta có AM B3  AHBAMB180   ACB

Mà ta có AMBACB, nên AM B3  AHB 180  nên tứ giác AHBM3nội tiếp

Từ đó ta có AHM3 ABM3 ABM Hoàn toàn tương tự, ta có AHCM2nội tiếp

Từ đó ta có AHM2 ACM2 ACM

Mà ta có ACM  ABM  180  , vì tứ giác ABMCnội tiếp

Từ đó suy ra M H M3 , , 2thẳng hàng

f) Chứng minh khi điểm M di động trên cung nhỏ BCta luôn có

2 4 4 sin

M M  R BAC Xác định vị trí của điểm M khi dấu bằng xảy ra

Vì M M2 ; 3lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AC AB, nên ta có :

AM AM AM  AM M cân tại A

Kẻ đường cao ADcủa tam giác AM M2 3  ADcũng là phân giác của M AM2 3

Mặt khác ta có M AM2 3 M AM3 MAM2   2 MAB  2 MAC  2 BAC

3

M AD BAC

Trong tam giác vuông M AD3 có M D AM3  3 sin M AD3 AMsin BAC

Mà M M2 3  2M D3  M M2 3  2AM.sin BAC

Vậy M M2 3  4 sinR BAC

Câu 5 (1,0 điểm)

c) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 6y2xy2y x  7 0

Phương trình đã cho :

   

2 3 1 7 7 ( 1) ( 1).( 7) 1.7 7.1

Vậy các cặp số nguyên cần tìm : x y  ;   3;1 ; 5; 1   

d) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn x2 2021y22022chia hết cho xy.Chứng minh rằng x y, là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau

Nếu x y, là hai số chẵn thì x2 2021y22022không chia hết cho 4 và xy chia hết cho 4 (vô lý)

Nếu x y, có 1 số chẵn , 1 số lẻ thì x2 2021y22022là số lẻ và xylà số chẵn (vô lý) Giả sử x y,   d x2 2021 &y2 xy d 2

Từ gt suy ra 2022d ma2 ` 2022 2.3.337  d1;2;3;337

Câu 6 (1,0 điểm)

c) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b  2 Chứng minh

1

b a  Xét

2 2 a b

a b BDT



a y b x  abxy ay bx  (luôn đúng)

Khi đó

2

1

a b

dfcm



d) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab a b    1 c 6

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Ta có :

6

P

Theo BĐT Cô si ta có :    

a b  a b   c

Khi đó

6

P

c c

  Ta có :

6  c c  2 6  c c  22(do 0 c 6) P5

Dấu bằng xảy ra khi    

3

2

a b

c c

c

   











Vậy Max P 5 a b 3,c2