007 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bến tre

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 1 2 Câu 3.. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BCvà cắt hai đườn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học : 2022-2023 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho hàm số y ax a 2  0có đồ thị  P .Tìm ađể  P đi qua điểm I 3;9

b) Cho hai đường thẳng     2

d y m x m mvà  d2 :y  1 2x, với mlà

tham số Tìm mbiết  d1 cắt  d2 và  d1 đi qua điểm M4; 7  

c) Rút gọn biểu thức 3  9 3 . 2 3

x T

Câu 2 (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 3x2 2x  5 2m 0với mlà tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2là độ dài hai cạnh của một

tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

1 2

Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình : 3x 2 3 2   x 3x 4 0

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :

2x y  3  3 x 3y y  2

Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

3 3

2 2

37







Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn 16x7y13z15.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A

x y y z z x

Câu 7 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có đường phân giác AD D BC  

và ABC   60 Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BCvà cắt hai đường thẳng

,

AC ABlần lượt tại E F,

a) Chứng minh tứ giác ADCFnội tiếp trong một đường tròn

b) Gọi I là trung điểm của CF.Chứng minh tam giác CDF là tam giác vuông cân và DI/ /BE

c) Cho diện tích tam giác BCFbằng 9 3 3cm 2 Tính độ dài cạnh AB

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

d) Cho hàm số y ax a 2  0có đồ thị  P .Tìm ađể  P đi qua điểm I 3;9

Vì      2

I   P  a   a

e) Cho hai đường thẳng     2

d y m x m mvà  d2 :y  1 2x, với mlà

tham số Tìm mbiết  d1 cắt  d2 và  d1 đi qua điểm M4; 7  

Vì  d1 đi qua điểm

1







Vậy

5 2

m 

f) Rút gọn biểu thức 3  9 3 . 2 3

x T

x

T

Câu 2 (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 3x2 2x  5 2m 0với mlà tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

1 2

Đặt phương trình bậc hai 2    2  

3x  2x  5 2m 0 1     1  3 5 2  m  6m 14

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' 6 14 0 7 2

3

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có :

1 2

1 2

2 3

5 2 3

x x

m

x x

  





Phương trình  1 có hai nghiệm thỏa mãn đề bài :

 

1 2

2

1 2

1 2 1 2 2

2 2

1 2

2

1

1

2

x x

m m

m

m

x x

  





 



 



Vậy

113

48

m

Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình : 3x 2 3 2   x 3x 4 0

ĐKXĐ:

2

2

  

Ta có :

 

2

4

3

x

x

    





Vậy

4 2 12

;

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :

2x y  3  3 x 3y y  2

2x y  3  3 x 3y y  2 2x y  3  3 x 3y y  2

   

2 2

Mặt khác từ (*) suy ra  2  2

8x 4y 9 M 3  8x 4y 9 M 9mà 108  2

9  4y 5 9

Mà  2

4y 5 là số chính phương lẻ nên  2 1

y

y



  

Vậy x y;     1; 2

Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

 

 

3 3

2 2

x y







Từ hệ phương trình ta có : 4x23y264 27 16  x9y x 3 y3

Thế vào phương trình (1) ta được  3 3 2 4 3

    



Vậy nghiệm của hệ phương trình là   x y;    3; 4 ; 4;3   

Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn 16x7y13z15.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A

x y y z z x

Áp dụng bất đẳng thức

9

   với x y z, ,  0ta được :

xy

y x

Tương tự : 3 16 3  ; 7 114 7 

Do đó 2 3 7 116 7 13 

x y y z z x

Dấu bằng xảy ra khi

5 12

x  y z

Vậy 3 12

Câu 7 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có đường phân giác

AD D BC và ABC 60 Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BCvà cắt hai

đường thẳng AC AB, lần lượt tại E F,

d) Chứng minh tứ giác ADCFnội tiếp trong một đường tròn

Xét ABCvuông tại A có ABC    60 ACB  30

Lại có DF BCtại D FDB FDC  90

Xét BDF có FDB  90 và FBD ABC    60 BFD  30 hay AFD  30

Xét tứ giác ADCFcó AFD ACD 30 nên tứ giác ADCFnội tiếp một đường tròn

e) Gọi I là trung điểm của CF.Chứng minh tam giác CDF là tam giác vuông cân và DI/ /BE

Do ADlà phân giác của ABC BAD CAD  45 mà tứ giác ADCFnội tiếp nên

45

Xét CFDcó CFD   45 , FDC    90 FCD  45

Khi đó CFDvuông cân tại D, mà I là trung điểm của CFDI FC 1

Xét BCF có FDBC CA, BFvà FD CA  E BECF 2

Từ (1) và (2) suy ra DI/ /BE

f) Cho diện tích tam giác BCFbằng 9 3 3cm 2 Tính độ dài cạnh AB

Do tứ giác ADCFnội tiếp nên BAD DCFhay BAD BCF

Do đó ABD∽CBF g g( )

ABD CBF

S

AB

cos cos 60

ABD CBF

S AB

B

Mặt khác :

9 3 3

4

Do ADlà phân giác của

ABC

Mà

1

3

ABD

CAD

B

3 1

ABC





Lại có :

2

ABC

Vậy AB 3cm