3,0 điểm 1 Cho đường tròn O có đường kính AB.Lấy điểm Cthuộc đoạn AOC khác A,O.. Vẽ đường tròn I đường kính BC.Vẽ tiếp tuyến ADvà cát tuyến AEF với đường tròn I E nằm giữa A và F sao
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYÊN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài số 1 (1,5 điểm)
1) Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho hai điểm A(2; 3 − )
và B( )7;7
Tìm điểm M thuộc trục Oxđể
ba điểm
, ,
M A B
thẳng hàng 2) Cho alà nghiệm của phương trình
2
6x + 3x− 3 0 =
Tính giá trị của biểu thức :
4 2
T = a − +a a
Bài số 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
( x+ − 5 x− 2 1) ( + x2 + 3x− 10) = 7
2) Giải hệ phương trình
6 11 6
x y z
xy yz zx xyz
+ + =
+ + =
Bài số 3 (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm (x y z; ; )
của phương trình x x( 2 + + =x 1) z y− 1
thỏa mãn
,
x y
là các số nguyên và z là số nguyên tố
2) Tìm các số thực xsao cho x+ 2022
và
3 2022
x−
đều là các số nguyên
Bài số 4 (3,0 điểm)
1) Cho đường tròn ( )O
có đường kính AB.Lấy điểm Cthuộc đoạn AO(C khác A,O) Vẽ đường tròn ( )I
đường kính BC.Vẽ tiếp tuyến ADvà cát tuyến AEF với đường tròn ( )I
(E nằm giữa A và F) sao cho tia AOnằm giữa hai tia
,
AD AE
Đường thẳng vuông góc với ABvẽ từ C cắt đường tròn (O) tại hai điểm, gọi một trong hai giao điểm đó là
N
sao cho N và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB Gọi Slà giao điểm của hai đường thẳng DIvà NB.Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng DNvà AS Gọi J
là trung điểm của SD
a) Chứng minh tam giác ANDlà tam giác cân
Trang 2b) Gọi
,
L T
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SBC
và ∆SEF
Chứng minh răng
ba điểm
, ,
J L T
thẳng hàng 2) Cho hình vuông ABCDcó diện tích S Tứ giác
MNPQ
có 4 đỉnh
, , ,
M N P Q
lần lượt thuộc các cạnh
, , ,
AB BC CD DA
của hình vuông đã cho và không trùng với đỉnh của hình vuông Chứng minh rằng
.
4
MN NP PQ QM
S ≤AC + + +
Bài số 5 (1,5 điểm)
a) Cho
, ,
x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
x +y + =z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
b) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau một trận, bạn nào cũng phải gặp 9 đấu thủ của mình và không có trận đấu hòa Chứng minh rằng có thể sắp xếp 10 bạn này thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau
Trang 3ĐÁP ÁN Bài số 1 (1,5 điểm)
và B( )7;7
Tìm điểm M thuộc
Gọi ( )d :y ax b= +
( )
a b a
d y x
nên M k( );0
và
7
2
= − ⇔ =
Vậy
7
;0 2
M
÷
2
6x + 3x− 3 0 =
Tính giá trị của biểu thức :
4 2
T = a − +a a
2
6x + 3x− 3 0 =
nên :
Bài số 2 (2,0 điểm)
( x+ − 5 x− 2 1) ( + x2 + 3x− 10)= 7
Xét phương trình
( x+ − 5 x− 2 1) ( + x2 + 3x− 10) = 7 1( )
(Điều kiện:
2)
x≥
Phương trình (1) có thể viết lại thành :
( x+ − 5 x− 2 1)( + x+ 5. x− 2) = 7
Đặt
5
0 2
a x
a b
b x
thì
a −b =
và phương trình trên trở thành :
Trang 4( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b ab a b a b ab a b
a
b
− =
6 11 6
x y z
xy yz zx xyz
+ + =
+ + =
Xét hệ phương trình
( ) ( ) ( )
6 11 6
x y z i
xy yz zx ii xyz iii
+ + =
Từ
( )i x y 6 z iii,( ) xy 6
z
Thay vào (ii) ta được :
6
1
3
z
z
=
=
• Với
1
z
• Với
2
z
• Với
3
z
là tất cả các hoán vị của
(1;2;3)
Bài số 3 (2,0 điểm)
x x + + =x z −
thỏa mãn
,
x y
là các số nguyên và z là số nguyên tố
Trang 5Biến đổi giả thiết thành (x2 + 1) (x+ = 1) z y( )*
Do x y z, , đều nguyên nên từ ( )*
2 1
1
a
b
a b a b
x z
+ =
+ =
Khi đó ta có x2 + 1 Mx+ ⇒ + 1 (x 1) (x− + 1) 2 Mx+ 1
Dẫn tới
2 Mx+ ⇒ ∈ 1 x 0;1 (do x≥ 0)
Với x= ⇒ 0 ( )* ⇔z y = ⇔ = 1 y 0
và z là số nguyên tố bất kỳ
Với x= ⇒ 1 ( )* ⇔z y = ⇔ = = 4 x y 2
Vậy (x y z; ; ) (= 1; 2; 2)
hoặc (x y z; ; ) (= 0;0;k)
với k là số nguyên tố bất kỳ
3 2022
x−
đều là các số nguyên
và
2
2022 2022
1 2022
a
a
+
−
−
Vì
3
2022
x− ∈ ¢
nên :
2
2
3
3
1 0
2022
a
a
−
¢
45 2022
45 2022
x x
= −
⇒
= − −
Bài số 4 (3,0 điểm)
,
AD AE
Trang 6điểm, gọi một trong hai giao điểm đó là N sao cho N và D thuộc hai nửa
.
NB
Ta có :
( )
2
AB AD
Từ (1) và (2) suy ra
AD = AN ⇒AD=AN ⇒ ∆AND
cân tại A
Chứng
Trang 7Ta có ∠ADS = ∠ANS = °90
vuông tại D có DR là đường cao nên :
AD =AR AS
Mặt khác , dễ dàng chứng minh được
AD =AC AB= AE AF
nên :
AR AS =AC AB AE AF=
thuộc đường trung trực của RS Kết hợp với kết quả trên suy ra ba điểm
, ,
L T J
thẳng hàng
với đỉnh của hình vuông Chứng minh rằng
.
4
MN NP PQ QM
S≤AC + + +
Trang 8Gọi độ dài cạnh hình vuông ABCDlà x, Khi đó AC x= 2
và
2
S=x
Do đó, điều phải chứng minh tương đương với :
4
MN NP PQ QM
x ≤x + + +
hay MN NP PQ QM+ + + ≥ 2 2 *x( )
Theo Pytago ta có :
2
BM BN
Tương tự, ta cũng có :
NP≥ CN CP+ PQ≥ DP DQ+ QM ≥ AQ AM+
Từ đó suy ra :
MN NP PQ QM+ + + ≥ BM BN CN CP DP DQ AQ AM+ + + + + + + = x
Vậy (*) đúng và ta có điều phải chứng minh
Bài số 5 (1,5 điểm)
c) Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn
x +y + =z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
3
3
Do đó :
P
Đặt :
3 ; 3 , 3
a x b= = y c z=
thì a b c, , ≥0và a b c+ + =3
, đồng thời
2
9
P
a b c
cauchy schwarz
+ +
Mặt khác , ta có :
3 3
a b c
ab bc ca + +
nên
.
3 9 4
P≥ = +
Vậy
3
1 4
Min P= ⇔ = = =x y z
Trang 9d) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau một trận, bạn nào cũng phải gặp 9 đấu thủ của mình và
không có trận đấu hòa Chứng minh rằng có thể sắp xếp 10 bạn này thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau
Vì không có trận đấu hòa nên ta luôn xếp được 10 bạn thành một hàng dọc sao cho
và do số cách
k
và ta gọi ( )k0
là dãy gồm
0
k
10
k =
Giả sử ngược
10.
k <
Có các khả năng sau xảy ra
và ta có dãy
1
k +
bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán Điều này mâu thuẫn với giả thiết về
( )k0
và ta có dãy
1
k +
bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán Điều này mâu thuẫn với giả thiết về
( )k0
Khi đó, tồn
mà B đứng trên C và trong hai bạn B và C có một bạn thắng và một bạn thua A
+Nếu A thua B và A thắng C thì xếp A vào giữa B và C ta thu được dãy gồm
0 1
k +
+Nếu A thắng B nhưng thua C Lần lượt xét các bạn đứng phía trên B sẽ xuất hiện 2 khả năng:
*) Tồn tại hai bạn liên tiếp phía trên B(có thể gồm B) mà bạn ở trên thắng A, đồng thời bận kề dưới thua A Đến đây, ta lại có thể xếp A vào giữa hai bạn này
*) A thắng tất cả các bạn phía trên B Khi đó, ta lại có thể xếp A lên đầu và cũng
k
Tóm lại, giả sử là sai và bài toán được chứng minh