005 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bắc cạn

3,0 điểm Cho đường tròn  O và dây cung CDcố định CDkhông là đường kính.. Ilà một điểm di động trên tia đối của tia DC I không trùng với D... 3,0 điểm Cho đường tròn  O và dây cung C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BẮC CẠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm các giá trị của xđể

13 6

A 

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình x2 9x2 x29x  1 4 0

2) Giải hệ phương trình :

2

x y xy

    

   



Câu 3 (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol  P y x:  2và đường thẳng

 d :y 2mx m 2  2m 3(với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị của tham số

mđể  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, nằm bên phải trục tung

2) Tìm các số nguyên tố x y z, , thỏa mãn 5 x y z    xyz

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn  O và dây cung CDcố định CDkhông là đường kính) Ilà một điểm di động trên tia đối của tia DC (I không trùng với D) Qua Ikẻ hai tiếp tuyến IA IB A B,  , là hai tiếp điểm) với đường tròn  O Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CD

1) Chứng minh năm điểm A I B H O, , , , cùng thuộc một đường tròn

2) Gọi Elà giao điểm của IOvà AB.Chứng minh DEC DOC

3) Chứng minh đường thẳng ABluôn đi qua một điểm cố định khi Idi động

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x0,y0,z0thỏa mãn x2y3z10 Tìm giá trị nhỏ

nhất của

10

4 8

P x y z

      

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A

3) Rút gọn biểu thức A

Điều kiện : x0,x1

1 2 5

3

A

x





4) Tìm các giá trị của xđể

13 6

A 

6

3

x

x



Vậy x9thì

13 6

A 

Câu 2 (2,0 điểm)

3) Giải phương trình x29x2 x29x  1 4 0(1)

ĐKXĐ: x2 9x  1 0,

 1 x2  9x  1 2 x2  9x   1 3 0

Đặt t x2  9x 1,t 0  Phương trình (1) thành :

2

2

1( )

10

x

 





             

Vậy S  1; 10

4) Giải hệ phương trình :

2

x y xy

    

   

2

2

I



 

P xy

 



 



Hệ phương trình (I) thành : S2 5P2 4 II

S P

   

  



 

2 2

2

1

1 0( ) 1

5 6 0

S

P

II

      



 

    

 Vậy hệ phương trình có nghiệm   x y;    2; 4 ; 4; 2    

Câu 3 (2,0 điểm)

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol  P y x:  2và đường thẳng

 d :y 2mx m 2  2m 3(với mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị của tham

số mđể  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, nằm bên phải trục tung

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là :

 

x  mx m  m x  mx m  m 

 d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A B, đểu nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2khi

 

3

2

       

Khi đó, theo định lý Vi-et ta có :

2

1 2

2

2 3

 



 Để x x1 , 2dương thì :

 

2

1 2

0

0

1 **

1

3

m m

m m

m









Từ (*) và (**) suy ra

3 1

2

m

 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

4) Tìm các số nguyên tố x y z, , thỏa mãn 5 x y z    xyz

Vì 5x y z   xyzxyzM 5

Suy ra trong 3 số x y z, , có ít nhất một số chia hết cho 5

Vì vai trò x y z, , như nhau, giả sử zM5,mà z là số nguyên tố nên z 5

Khi đó phương trình trở thành :

x y  xy x y   

Th1:

    

  (loại vì x, y nguyên tố)

    

Vậy x y z; ;   2;7;5 ; 2;5;7 ; 7;5; 2 ; 7;2;5 ; 5; 2;7 ; 5;7;2           

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn  O và dây cung CDcố định CDkhông là đường kính).

I là một điểm di động trên tia đối của tia DC(I không trùng với D) Qua Ikẻ hai tiếp tuyến IA IB A B,  , là hai tiếp điểm) với đường tròn  O Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CD

4) Chứng minh năm điểm A I B H O, , , , cùng thuộc một đường tròn

Ta có IAO IBO  90  gt

Vì H là trung điểm CDnên OH CD IHO 90

90

Vậy 5 điểm A I B H O, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính OI

5) Gọi Elà giao điểm của IOvà AB.Chứng minh DEC DOC

Ta có : .

OA OB

IA IB





 

 Do đó OIlà đường trung trực của ABOI AB Xét OBIcó BE là đường cao, ta có IE IO IB  2 1

IBD ICB

1 2

IBD ICD sd BD

 

IB ID

IB IC ID

IC IB

Từ (1) và (2) suy ra . .

IE ID

IE IO IC ID

IC IO

 :  vì CIOchung và

IE ID

IED ICO

IC  IO    Suy ra DCO OED IED OED180

Do đó tứ giác CDEOnội tiếp Vậy COD CED dfcm( )

6) Chứng minh đường thẳng ABluôn đi qua một điểm cố định khi Idi động

Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng AB OH,

 :  vì IOJchung và OHI  OEJ   90

Suy ra

OJ

OE OJ   OH  OH

Vì đường tròn  O ,dây cung CDcố định nên điểm H cố định

Suy ra

.

OC OD OJ

OH



không đổi

Do đó Jcố định

Vậy đường thẳng ABluôn đi qua điểm J cố định khi I di động

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x0,y0,z0thỏa mãn x2y3z10 Tìm giá trị nhỏ

nhất của

10

4 8

P x y z

      

Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương

1 ,

x

xta có :

 

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương

9 , 4

y

yta có :

 

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 2

y

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương

4 ,

z

zta có :

 

4

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z 2

Theo giả thiết ta có :

 

x y z        

Đẳng thức xảy ra khi

3

1, , 2 2

x y z

Cộng theo vế các bđt        1 , 2 , 3 , 4 ta được :

Đẳng thức xảy ra khi

3

1, , 2 2

x y z

Vậy

1, , 2

Min P  x y z