Phương pháp số giải các bài toán khí động lực học nhiều chiều

Cuốn sách này là một tài liệu giá trị, như một chuyên đề trình bày phương pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải cho rất nhiều dạng bài toán

1

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG

LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU

——————————————————

Chủ biên Godunov Sergey Konstantinovich

Dịch bởi nhóm VnCFD Research Group

NHÀ XUẤT BẢN “KHOA HỌC”

MATXCƠVA 1976

2

Lời giới thiệu

Cuốn sách của tác giả Godunov S.K mang tên “PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU” Khi dịch sang tiếng Việt chúng tôi quyết định đổi tên thành “KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC TÍNH TOÁN GODUNOV, LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG” cho phù hợp với bản chất nội dung của nó

Cuốn sách này là một tài liệu giá trị, như một chuyên đề trình bày phương pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải cho rất nhiều dạng bài toán thường gặp trong động lực học chất khí, động lực học khí quyển và nhiều lĩnh vực khác của ngành cơ học chất lưu

Bên cạnh những vấn đề cổ điển, một đòi hỏi mới đặt ra cho phương pháp tính là phương pháp phải đảm bảo được tính “thích ứng” với những “đặc thù” của từng dạng bài toán cụ thể Từ đó nảy sinh ra các vấn đề như sử dụng lưới chuyển động, khớp sóng xung kích, các dạng điều kiện biên khác nhau, … Tất cả những yêu cầu trên, cả cổ điển và hiện đại, đều được trình bày cụ thể trong cuốn sách này

Cuốn sách là tài liệu bổ ích cho đông đảo bạn đọc đến từ nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, dành cho các nghiên cứu sinh, sinh viên chuyên ngành

phương pháp tính và ứng dụng phương pháp tính vào các bài toán môi trường chất lưu liên tục

Các phương pháp tính hiện đại kết hợp với sự phát triển công nghệ tính toán

đã và đang chứng minh thế mạnh và tương lai ưu thế của CFD Các vấn đề được trình bày trong cuốn sách rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng, là nền tảng triết

lý để am hiểu phương pháp Thấy được tầm quan trọng này, nhóm chúng tôi quyết định chuyển thể nội dung sang tiếng Việt để đông đảo bạn đọc có thể tiếp cận được

là quan trọng cũng như cơ bản nhất được ưu tiên trình bày trước

Bạn đọc quan tâm có thể đề nghị chúng tôi dịch các bài, các chương còn lại Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện hơn về mặt nội dung từ phía bạn đọc được chúng tôi đón nhận và biết ơn

VnCFD Research Group

4

Phụ lục

Lời tác giả

Phần I Cơ sơ lý thuyết

Chương I Xây dựng sơ đồ sai phân cho các hệ phương trình hyperbol tuyến tính

Bài 1 Âm học một chiều

Bài 2 Sơ đồ sai phân

Bài 3 Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ

Bài 4 Các ví dụ minh họa lời giải bằng phương pháp số

Bài 5 Sơ đồ cho bài toán hỗn hợp

Bài 6 Nghiên cứu độ chính xác của sơ đồ trên biên

Bài 7 Âm học hai chiều

Bài 8 Tính ổn định của sơ đồ hai chiều cho âm học

Bài 9 Sơ đồ tường minh một chiều cho hệ hyperbol bất kì

Bài 10 Sơ đồ tường minh hai chiều cho hệ hyperbol bất kì

Bài 11 Các sơ đồ sai phân không tường minh

Chương II Các hệ hyperbol tựa tuyến tính hai biến

Bài 12 Động lực học khí một chiều không ổn định

Bài 13 Phân rã gián đoạn

Bài 14 Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều

Bài 15 Các dạng điều kiện biên cho các bài toán một chiều

Bài 16 Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ một chiều

5

Bài 17 Minh họa sơ đồ một chiều cho các bài toán không ổn định

Bài 18 Dòng chảy siêu âm hai chiều không ổn định

Bài 19 Bài toán “tương tác hai dòng chảy siêu âm phân bố đều”

Bài 20 Các ví dụ minh họa độ chính xác của sơ đồ ổn định

Bài 21 Sơ đồ không tường minh một chiều cho các bài toán tựa tuyến tính Chương III Xây dựng các sơ đồ sai phân cho các bài toán nhiều chiều

Bài 22 Các định luật bảo toàn và các phương trình động lực học khí

Bài 23 Lưới chuyển động và các phương pháp đơn giản nhất để tạo lưới chuyển động

Bài 24 Các công thức sơ đồ cho các bài toán hai chiều không ổn định Bài 25 Tính ổn định và chọn giá trị “bước” thời gian

Bài 26 Sơ đồ cho các dòng chảy siêu âm không gian không ổn định

Bài 27 Sơ đồ cho các dòng chảy không gian

Chương IV Lời giải các bài toán động lực học khí trong các hệ tọa độ cong bất kì

Bài 28 Hệ thống hóa các phương pháp mô tả bức tranh dòng chảy

Bài 29 Hệ tọa độ không ổn định để khớp các biên di động Chọn tham số Bài 30 Các phương trình động lực học chất khí ở dạng định luật bảo toán cho hệ tọa độ cong tuyến tính

Bài 31 Tính toán tọa độ các điểm biên trong quá trình di chuyển

Bài 32 Phương trình cho xây dựng lưới

Bài 33 Hoàn thiện các thuật toán xây dựng lưới trên máy

6

Bài 34 Hệ phương trình sai phân cho các bài toán động lực học khí không

ổn định trong hệ tọa độ cong tuyến tính cục bộ

Bài 35 Tính toán các đại lượng thủy động trên lớp trung gian

Bài 36 Một số điểm lưu ý về nguyên tắc tái xây dựng phương pháp

Phần II Minh họa các tính năng của phương pháp tính

Chương V Các bài toán động lực học khí không ổn định

Bài 37 Nhiễu xạ sóng xung kích trên vật thể hai chiều

Bài 38 Tương tác sóng xung kích hình cầu với mặt phẳng

Bài 39 Nổ vật thể không đối xứng cầu

Bài 40 Một số bài toán động lực học khí không ổn định trong kênh dẫn Bài 41 Truyền sóng xung kích trong một trường khí dẫn trong ống tròn khi

có từ trường

Bài 42 Tính toán va đập của các bản kim loại

Chương VI Tính toán các dòng chảy hỗn hợp bằng phương pháp thiết lập

Bài 43 Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval hai chiều

Bài 44 Các dòng chảy hỗn hợp trong lưới phẳng

Bài 45 Giãn nở quá tới hạn của luồng khí vào không gian rộng

Bài 46 Va chạm “chuẩn” của luồng siêu âm với tường

Bài 47 Chảy bao các vật thể phẳng và đối xứng trục

Bài 48 Chảy bao vật thể không gian với vận tốc gần âm

Bài 49 Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval không gian

Chương VII Các dòng siêu âm ổn định

7

Bài 50 Chảy phẳng và chảy đối xứng trục của khí lý tưởng

Bài 51 Dòng chảy trong phần không gian giãn của các ống phun không gian Bài 52 Giãn nở khuyết của các luồng khí thoát ra từ ống phun với mặt cắt đầu ra không tròn

Bài 53 Tương tác hông của các luồng siêu âm đối xứng trục với các mặt rắn Bài 54 Chảy bao vật thể nón

Bài 55 Chảy bao các vật thể đuôi nhọn với vận tốc siêu âm

8

CHƯƠNG I XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL TUYẾN TÍNH

BÀI 1 ÂM HỌC MỘT CHIỀU

Phương trình âm học một chiều Các định luật bảo toàn Lời giải tổng quát

và lời giải khi có điều kiện biên Bài toán về phân rã gián đoạn

Đầu tiên chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân mô tả sự lan truyền sóng

âm phẳng1

.0

,01

2 0 0

p

x

p t

u





Trong đó u — vận tốc môi trường truyền sóng, p — áp suất trong môi

trường đó (hay chính xác hơn, là các dao động nhỏ của vận tốc và áp suất so với giá trị của chúng trong môi trường ổn định, những dao động này được gây ra bởi

sự truyền sóng âm trong môi trường đó) Các hằng số 0,c0 phụ thuộc vào từng môi trường: 0 — mật độ của môi trường, c đặc trưng cho độ nén của môi 02

,0

0 2

c p

pdt udx

9

Tích phân đầu tiên tương ứng với định luật bảo toàn động lượng, tích phân thứ hai — định luật bảo toàn khối lượng Ngoài ra chúng ta có thể nhận được đinh luật bảo toàn năng lượng bằng cách sau Trong hệ (1.1), nhân phương trình đầu với

0 0

2 2

p u

Tương tự như trên, ta thu được đẳng thức tích phân, nó sẽ được gọi là định luật bảo toàn năng lượng sóng âm2

.02

0 0

2 2

c

p u



Quay trở lại hệ (1.1), qua một vài biến đổi không mấy phức tạp thì chúng ta

có thể đưa hệ về dạng đơn giản hơn, về sau này ta sẽ gọi nó là dạng chính tắc Có thể thu được dạng chính tắc bằng cách sau, nhân phương trình thứ hai với 10c0, sau đó lấy phương trình thứ nhất cộng và trừ đi phương trình vừa nhận được, ta thu được hai phương trình dưới đây:

.0

,0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

c c

p u t

c

p u x

c c

p u t

0 0 0

0

Z c

p u Y c

10

,0,

Z x

Y c t

1

0 0

0 0

0 0

t c x g t c x f

c p

t c x g t c x f u





 không đổi dọc theo đường thẳng xc0t const, đồ thị của nó di chuyển sang trái với cùng vận tốc đó Điều này giải thích tại sao mà người ta gọi c là vận tốc lan truyền sóng âm 0

trong môi trường hay vận tốc âm thanh Các đường thẳng

t

c

x trên mặt phẳng x, được gọi là các đường đặc trưng t

của hệ (1.1)

Công thức cho u, p trong (1.8) chỉ là lời giải tổng quát cho hệ (1.1), để thu

được nghiệm duy nhất, ta cần đưa thêm vào (1.1) điều kiện đầu và điều kiện biên

Ví dụ, nếu như ta có điều kiện đầu như sau

11

)()0,(),

()0,

)(

,)()(2

1)(

0 0 0

0

x g x f

c x

p

x g x f x

0 0

0 0

0 0

)()()(,

)()()(

c

x p x u x g c

x p x u x f





Nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (1.9) sẽ có dạng sau

.2

)(

)(

2

)(

)(

),

(

,2

)(

)(

2

)(

)(

)

,

(

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

t c x u t c x u c t

c x p t c x p t

x

p

c

t c x p t c x p t c x u t c x u t

những đường đặc trưng xc0t const xuất phát từ điểm biên bên trái x  x I;

Để đi sâu hơn vào điều này, ta xét bài toán đơn giản dưới đây Cho rằng tại thời điểm t 0 điều kiện đầu (1.9) có dạng

I

u x

u0( )  , 0( ) khi *

x

x , Trong đó u , I p , I u , II p — là các hằng số bất kỳ, chúng thỏa mãn ít nhất II

một trong các bất đẳng thức u I u II hoặc p I  p II, hoặc đồng thời cả hai

Đưa hệ (1.1) về dạng chính tắc (1.5) và sử dụng tính không đổi của bất biến

Riemann

0

0c

p u Y

0 0 0

0 0

0 0

p u c

p u c

p u

c

p u

0 0 0

0 0

0 0

p u

c

p u c

p u

c

p u

13

Có thể hiểu rằng, vùng I và II là nơi không xảy ra tương tác giữa hai sóng

đến nên các giá trị u, p được bảo toàn

Cuối cùng, ta xét vùng III các đại lượng u, p được xác định từ phương trình

.,

0 0 0

0 0

0 0

p u

c

p u c

p u

c

p u

x 

,2

p p u u

chúng là nghiệm mở rộng cho bài toán về phân rã gián đoạn Một bằng chứng

thuyết phục cho thấy ích lợi của việc sử dụng khái niệm này được đưa ra bởi lập luận dưới đây Ta làm “trơn ” điều kiện đầu (1.11) như sau Thay đổi chúng trong một khoảng nhỏ x*  x x* , sao cho điều kiện đầu

)(

|),

|,

|)()(

Khái niệm về nghiệm mở rộng được đưa ra bởi S.L.Sobolev

BÀI 2 SƠ ĐỒ SAI PHÂN

Xấp xỉ điều kiện đầu, xây dựng nghiệm từ kết quả giải tích của bài toán phân rã gián đoạn, giá trị trung bình và các định luật bảo toàn, công thức sai phân, xây dựng sơ đồ sai phân theo phương pháp đường đặc trưng

Để tìm lời giải số cho các bài toán chứa phương trình vi phân đạo hàm riêng, chúng ta cần phải thay thế các hàm số liên tục bằng tập hợp các điểm rời rạc

Để đơn giản, chúng ta chia miền tính toán thành các lớp theo tọa độ không gian nhờ các điểm x với khoảng chia bằng nhau và bằng h , tức là j x j x j1 h

với mọi chỉ số nguyên j Đối với bài toán chúng ta đang xét, tại thời điểm ban đầu

đã xét trong bài 1 Kết quả là tại mỗi nút lưới sẽ xuất hiện các sóng âm lan truyền

về bên trái và bên phải với vận tốc c0 (Hình 2.1)

Hình 2.1 — Cấu trúc nghiệm của bài toán phân rã gián đoạn

15

Theo công thức (1.12) thì tại lân cận điểm x chúng ta có các công thức sau: j

2 / 1 2

22

2 / 1 2 1

0 0 2 / 1 2

/ 1

0 0

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1 2 / 1

j j

j j

j

j j

j j

j

u u

c p

u u

U

u





trong miền III: x j c0tx x j c0t

Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm giá trị của u, tại thời điểm p t  và kí hiệu giá trị của chúng trong khoảng giữa hai điểm x , j1 x j lần lượt là j 1 / 2

u và j 1 / 2

p , chú ý chỉ số j1/2 được đưa lên trên nhằm phân biệt với giá trị của hàm tại thời điểm trước t 0 Để tính các giá trị trung bình 1 / 2 1 / 2

j j

x x j j j

x x j j j

dx x p x

x p

dx x u x

x u

1

1

.,

*1

,,

*1

1

2 / 1

1

2 / 1





Nghiệm gần đúng thu được theo công thức   1 / 2   1 / 2

,,

p x

p u

x

với x j1 x x j, lại là các hàm hằng từng đoạn Nhưng dạng gần đúng này lại tiện

16

sử dụng hơn so với nghiệm chính xác vì các điểm gián đoạn giữ nguyên vị trí tại

j

x như ở thời điểm đầu

Thực ra, để tính u j1/2 , p j1/2ta không nhất thiết phải tính các giá trị chính xác u* x, ,p* x, mà có thể sử dụng trực tiếp các công thức sau:

,1

1 2

0 0 2

1 2

/

1

1 0

2 1 2

j

j j j

j

U U c h p

p

P P h u

2

,2

2

2 / 1 2 / 1 0 0 2 / 1 2

/ 1

0 0

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1 2

/ 1

j j

j

j j

j j

j

u u

c p

p P

c

p p

u u

U





(2.3)

tương tự cho các giá trị U j1; P j1 tại điểm x x j1 Thật vậy, áp dụng công thức

thứ nhất của các định luật bảo toàn (1.2) 

 cho hình chữ nhật giới

hạn bởi các đường thẳng x x j,x x j1,t 0, t (xem Hình 2.2)

Hình 2.2 — Miền lấy tích phân

,,

dt t x p t x p dx

x u dx

j

j

j j

P và P ít ra là cho đến khi các giá trị này không bị sóng âm xuất phát từ các nút j

lưới lân cận làm thay đổi (theo tính chất của bài toán về phân rã gián đoạn) Do đó (2.4) có thể viết lại như sau:

0 2 / 1

Tương tự, để chứng minh công thức thứ hai của (2.2) chúng ta sử dụng tích

Nhận thấy rằng sự gián đoạn xảy ra khi t0 tại điểm xx j sẽ dịch chuyển

với vận tốc c0(sang trái và sang phải), tại thời điểm

0

2c

h

t chúng gặp nhau ở điểm chính giữa của x và j x , va chạm vớinhau và hình thành sóng mới, sau đó một j1

khoảng thời gian

h c

h c

h



 thì U , j P j sẽ không đổi Từ đó áp dụng công thức (2.2) chúng ta sẽ tính được các giá trị u j1/2,p j1/2

khoảng thời gian  (bước thời gian) có thể khác nhau ở các bước khác nhau do

nhiều lý do, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm sau Các giá trị ứng với thời điểm t t n1 sẽ

được gọi là các giá trị của “lớp dưới” và được kí hiệu bằng các chỉ số dưới, còn các

giá trị ứng với thời điểm t n t n1  — các giá trị của “lớp trên” và được kí hiệu

bởi các chỉ số trên

Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng sơ đồ sai phân cho bài toán ban đầu

bằng cách áp dụng các bất biến Riemann trong công thức (1.6):

0 0 0

0

,

c

p u Z c

p u

Hình 2.3 — Bất biến Riemann theo các đường đặc trưng

Sử dụng tính chất hằng của các bất biến này dọc theo các đường đặc trưng để lấy

nội suy tuyến tính theo giá trị của chúng ở các điểm lân cận tại “lớp dưới”, ta thu được các công thức tính giá trị gần đúng của chúng ở “lớp trên” như sau (xem Hình

2.3):

19

2 2 / 1 0

2 / 1 0

2

/

1

2 / 3 0 2 / 1 0

j

j j

j

Z h c Z

h c Z

Y h c Y

h c Y

2 / 1 2

/ 1 0

0 0

2 / 1 2

/ 1 0

0 0

2 / 1 2

/

1

0 0

2 / 3 2

/ 3 0

0 0

2 / 1 2

/ 1 0

0 0

2 / 1 2

h

c c

p u

h

c c

p u

c

p u

h

c c

p u

h

c c

p u

j j

j j

j j

j j

j j

j j

2 / 3 2 / 1 2

/ 1 2 / 1

0 0

2 / 1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1

2 0 0 2

/ 1

2 / 1 2 / 1 0 0 2 / 1 2 / 1

0 2

22

22

22

1

c

p p

u u

c

p p

u u

c h p

p

u u

c p

p

u u

c p

p

h u

u

j j

j j

j j

j j

j

j

j j

j j

j j

j j

20

Kiểm tra tính xấp xỉ của sơ đồ sai phân khi không có điều kiện biên Nghiên cứu tính ổn định của sơ đồ sử dụng phương pháp Fourier Bất đẳng thức ‘năng lượng’ Kết luận về điều kiện ổn định cho trường hợp miền tính toán vô hạn.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sơ đồ Godunov xấp xỉ phương trình âm học (1.1) Để thuận tiện ta các phương trình (2.7) và viết lại chúng như sau:

.02

22

,02

22

1

2 / 3 2

/ 1 2

/ 1 0 2 / 3 2

/ 1 2 0 0 2 / 1 2

/

1

2 / 3 2

/ 1 2

/ 1 0 2 / 3 2

/ 1

0

2 / 1 2

p c h

u u

c p

p

h

u u

u c h

p p

u u

j j

j j

j j

j

j j

j j

j j

Giả sử rằng u(x,t),p(x,t) khả vi đến bậc hai, áp dụng khai triển Taylor cho các

hạng tử trong các công thức (3.1) tại lân cận điểm ( 1 ), 0

2

1

t t x x

x j  j  , ta có:

)

(2

22

),(2

),(2

2

2 2

/ 3 2

/ 1 2

/

1

2 / 3 2

/

1

2

2 2

/ 1 2

/

1

h o x

u h h

u u

u

h o x

p h

p p

o t

u t

u u

u

j j

j

j j

j j

22

1

2 2

0 2

u c

h t

u x

p t

2

0 2

2 2

p c

h t

p x

u c t

p

Nếu như đạo hàm bậc hai của các hàm u(x,t),p(x,t) giới hạn, thì khi

0,

 vế phải các phương trình (3.2), (3.3) tiến tới không Vì thế có thể kết

21

luận rằng sơ đồ sai phân đang xét xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1) Các phần

dư có bậc một theo h và  điều này có nghĩa là khi giảm bước  và h bao nhiêu

lần thì sai số của lời giải giảm cũng khoảng chừng ấy lần

Kết luận:

1 Sơ đồ sai phân mà ta xét ở trên (được gọi là sơ đồ Godunov) xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1)

2 Bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân Godunov là bậc một

Từ các phương trình (1.1) ta có thể loại bỏ đạo hàm bậc hai theo thời gian ở

vế phải của (3.2), (3.3):

,1

1

2

2 2 0 2

0 0 2

0 0 2

2

2

2 2 0 0

0 2

2

x

p c t

u x

c x

u c t

t p

x

u c t

p x x

p t

t u

2

,1

21

2

2

0 0

2 0 0

2

2

0 0

0

x

p h c c

h x

u c t

p

x

u h c c

h x

p t

22

Khái niệm “tính ổn định” có thể được hiểu đơn giản là lời giải sai phân thu được dựa trên điều kiện ban đầu giới hạn sẽ bị giới hạn trong suốt thời gian tính toán mà không phụ thuộc vào bước  (lớn hay nhỏ) Có thể chỉ ra rằng, đối với sơ

đồ ổn định thì sai số của lời giải cuối cùng do làm tròn trong suốt quá trình có bậc xấp xỉ với sai số ở mỗi bước tính toán

Đặc biệt quan trọng, có thể chỉ ra rằng nếu như sơ đồ sai phân xấp xỉ phương

trình vi phân và ổn định thì khi giảm các bước h và  , lời giải tính toán thu được

sẽ hội tụ về lời giải phương trình vi phân

Ngược lại, trong trường hợp sơ đồ không ổn định sai số làm tròn tăng không giới hạn sẽ dẫn tới tràn bộ nhớ máy tính khi tính toán

Để khảo sát tính ổn định của sơ đồ chúng ta có thể sử dụng phương pháp phổ Fourier Biểu diễn nghiệm phương trình (3.1) dưới dạng

,

* 2 / 1 2

/ 1

* 2

/ 1 2

/ 1

j j

e p p

p

e u u

u — các đại lượng không đổi, i — đơn vị ảo Chúng ta thu được

hệ phương trình tuyến tính cho * *

, p

u :

.02

21

2

,02

12

21

* 0

* 2

0 0

*

0

* 0

c h u

e e c

h

p e e h u e e

c h

i i

i i

i i i

sin

1)

cos1

c

iCu c Cu

Cu Cu

1 Sơ đồ ổn định khi Cu c0/h1 Với Cu c0/h1 — sơ đồ không ổn

định Cu là một đại lượng không thứ nguyên, gọi là số Courant

Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng cách đánh giá

nghiệm sai phân trong chuẩn năng lượng

Giá trị của u j1 / 2,p j1 / 2 trên một lớp thời gian t const tạo thành vector trên lưới Trong không gian hàm-vector trên lưới này, chúng ta đưa ra chuẩn

j

j j

j

c

p u

h p

2 / 1 2

2 / 1 0

2 0 0

2 2 / 1 2

2 / 1 0 2

/ 1 2 /

1

4

12

0 0 0

p u Z c

p u

24

Để khảo sát tính ổn định trong chuẩn năng lượng, cần chứng minh rằng khi

1/

Để chứng minh điều này, áp dụng định luật bảo toàn năng lượng sóng âm, từ phương trình (1.1) ta thu được phương trình (1.3):

.0)(2

0 0

2 2

p u

Bây giờ ta cần chứng minh rằng khi c0/h1 thì bất đẳng thức sau đúng:

0 0

2 2 / 1 2

2 / 1 0 2 0 0

2 2 / 1 2

2 / 1

0

222

U P U P h c

p u

2 / 1 2

/ 1 2 / 1 0

0

2 / 1 2

/ 1 2

/

c

p u

Z c

p u

2

),(

2

12

2

2 / 1 2

/ 1 0 0 2 / 1 2 / 1 0 0 2 / 1 2

/ 1

2 / 1 2

/ 1 0

0

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1 2 / 1

j j

j j

j

j j

j j

j j

j

Z Y

c u

u c p

p P

Z Y

c

p p

u u

2 / 3 2

2 / 1 2

2 / 1 0 0 2

2 / 1 2

2 / 1 0

2 2 / 1 2

2 / 1

Z Y

c h Z

Y Z



(3.9)

2 2 / 1 0 2

2 / 1 0

2 2

/

1

2 2 / 3 0 2

2 / 1 0

2 2

j

j j

j

Z c h Z

c h Z

Y c h Y

c h Y

,1

2 / 1 0 2

/ 1 0 2

/

1

2 / 3 0 2

/ 1 0 2

j

j j

j

Z c h Z

c h Z

Y c h Y

c h Y

Cu

c(1 )  thu được bất đẳng thức 2 2 2

)1

c    Điều này là hiển nhiên, bởi vì:

2

)1())(

1()

1()

1

(3.11) Các bất đẳng thức (3.9) và (3.7) đã được chứng minh Cộng các vế của (3.7) tương ứng với hệ số j chạy từ J'1 tới "J :

1 1

"

1

2 2 / 1 2

2 / 1 0

"

1

2 2 / 1 2

2 / 1

222

)(

2

)

J j

j j j j J

J j

j j

J

J

j

j j

U P U P h

c

p u

222

)(

2

)(

' '

2 / 1 0

"

1

2 2 / 1 2

2 / 1

J J j

j j

J

J

j

j j

U P U P c

p u

h c

p u

26

Bất đẳng thức (3.12) là cơ sở để khảo sát tính ổn định của sơ đồ

Trước tiên, xét trường hợp đơn giản khi hai đầu của lưới không giới hạn Giả

h p

0 0

2 2 / 1 2

2 / 1 0 2

/ 1 2 /

1

22

,





là hữu hạn, tức là dãy nằm trong dấu căn thức hội tụ Vì thế trong mọi trường hợp

ta có u j1/2 0,p j1/2 0 khi j, suy ra P , j U j tiến tới không Bất đẳng thức (3.12) trở thành

j

j j

c

p u

h c

p u

0 0

2 2 / 1 2

2 / 1 0 2

0 0

2 2 / 1 2

2 / 1

0

222

)(

2

)(

Các bài toán thực tế thường có miền tính toán giới hạn, với điều kiện biên giống như trên hoặc khác đi Điều này chúng ta sẽ xem xét sau

27

Ở đây cần nhấn mạnh một điều, bất đẳng thức (3.7) được chứng minh dựa trên công thức (2.3)

22

,2

2

2 / 1 2 / 1 0 0 2 / 1 2

/ 1

0 0

2 / 1 2 / 1 2

/ 1 2 / 1

j j

j

j j

j j

j

u u

c p

p

P

c

p p

u u

1

,1

1

2 / 1

"

2 / 1

"

0 0 2 / 1

"

"

0 0

"

2 / 1 ' 2 / 1 ' 0 0 2 / 1 ' ' 0 0 '

J J J

J J

J J J

Y p

c u

P c U

Z p

c u

P c U









Các giá trị (u J'1/2,p J'1/2),(u J"1/2,p J"1/2) là các giá trị tưởng tượng, có xác định tùy

ý sao cho thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính sau:

.1

1

,1

1

"

0 0

"

2 / 1

"

0 0 2

/

1

"

' 0 0 ' 2 / 1 ' 0 0 2

/

1

'

J J

J J

J J

J J

P c U

p c u

P c U

p c u

28

giá vùng loang Tính đơn điệu của sơ đồ So sánh đặc tính trơn của vệt loang gián đoạn với các dao động trong sơ đồ bậc hai.

Chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ đơn giản nhằm thấy rõ những điểm cơ bản

đã được chỉ ra đối với phương trình âm học (1.1) và sơ đồ sai phân (2.2), (2.3)

Khảo sát hệ phương trình (1.1) với các hệ số 0 0.25, c0 2.0 và điều kiện đầu ở dạng “bậc thang”:

0.5,

0

Trường hợp 1 Khi Cu 1 sơ đồ sai phân cho kết quả chính xác như lời giải bài toán phân rã gián đoạn thu được trong bài một

Trường hợp 2 Đối với Cu2, bảng 1 và 2 biểu diễn giá trị u j1/2,p j1/2 thu được tại các nút lưới nằm kế cận điểm x0 của năm bước tính toán đầu tiên ( n

— số bước) Rõ ràng các giá trị này hoàn toàn khác biệt so với lời giải đúng Cần chú ý đến sự thay đổi dấu của các giá trị thu được Điều này được giải thích như sau Như đã chỉ ra trong bài ba khi khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng phương pháp phổ Fourier, giá trị đặc trưng  của toán tử sai phân, mô tả sự chuyển tiếp từ một lớp thời gian đến lớp tiếp theo, được xác định theo công thức (3.5):

1

1

1

21 -39

81

1

1

11 -9

21 -19

28 -28

0

0

0

28 -56

65

5

5

5 -5

25 -35

5

5

0

10 -5

15

5 2.5

5 2.5

5 2.5

2 5.5

2 5.5

2 5.5

2

2

9 -5

16 -12

2

2

2

16 -26

Vì thế khi Cu 2, giá trị phần thực Re 1Cu(1cos) sẽ âm đối với các giá trị  thỏa mãn cos1/2 Giá trị tính toán thu được khi biểu diễn trên biểu đồ sẽ có dạng đặc trưng “hình lưỡi cưa” với biên độ lớn lên rất nhanh qua các bước (bởi vì, ví dụ khi   ,    2Cu 13nếu như Cu 2) Điều này dẫn tới việc tràn thanh nhớ máy tính khá nhanh khi tính toán

Tương tự như trường hợpCu 2, sơ đồ không ổn định với mọi giá trị 1



Cu

Trường hợp 3 Đối với Cu0.8, hình 4.1 a, b biểu diễn kết quả tính toán

vận tốc u và áp suất p thu được tại các bước 5, 10, 15 và 20 Các gián đoạn bị

loang ra xung quanh do đặc tính nhớt của sơ đồ Sự loang ra này có thể được giải thích như sau Như chúng ta đã làm rõ ở bài ba, sơ đồ sai phân được sử dụng để giải phương trình âm học xấp xỉ với độ chính xác bậc một hệ phương trình (3.4):

31

.1

2

,1

21

2 2

0 0

2 0 0

2 2

0 0

0

x

p h c c

h x

u c t

p

x

u h c c

h x

p t

giải thích như độ nhớt bên trong của chính sơ đồ sai phân Sự có mặt của các hạng

tử này dẫn tới sự xuất hiện của hiện tượng “loang” trên

Đánh giá độ rộng của vùng loang này có thể thực hiện như sau Xem xét phương trình

u h

32

33

Nhận thấy, từ công thức (2.6) rõ ràng sơ đồ này chỉ thay hệ số j1/2 bởi j

và khác biệt với sơ đồ của chúng ta ở bất biến Riemann Y u p/0c0 (hệ số 1

,01

j khi

j khi

và xem xét sự biến đổi của chúng bởi sơ đồ (4.2)

Sử dụng kí hiệu n

j

u để chỉ giá trị của nghiệm ở bước tính thứ n tại nút lưới

j và kí hiệu Cu /h Bằng cách kiểm tra trực tiếp có thể chứng mình rằng nghiệm cần tìm có dạng

)1(

ai l còn j các

n j khi

cu Cu

C u

j n j

j n n n

Hàm nằm ở vế phải có thể viết dưới dạng

) 1 ( 2 )

)1(2

1

nCu j n

j n

Cu nCu

1

ˆmax

Cu nCu

u

cho nên chúng ta thấy giá trị lớn nhất của nghiệm di chuyển dọc đường đặc trưng Gọi

34

độ dài đoạn thẳng mà trên đó nghiệm có giá trị 2ˆmax

u e

u  là độ rộng vết loang (xem hình 4.2) Từ công thức (4.5) dễ dàng thấy rằng, độ rộng này bằng

th Cu Cu

,01

0

j khi

j khi

có thể nhận được bằng cách lấy tổng tất cả các nghiệm riêng có dạng như chúng ta vừa xét Như chú ý ở trên, sơ đồ sai phân dùng cho phương trình âm học trên cơ sở bất biến Riemann tương tự như (4.2) Vì vậy có thể hi vọng rằng sử dụng phương pháp đánh giá độ rộng vết loang vừa thu được sẽ tiếp tục có hiệu quả đối với sơ đồ sai phân của chúng ta

35

Hình 4.4 thể hiện sự khác biệt giữa kết quả tính toán với bước h0.05(trường hợp 3, Cu0.8) và tính với bước h nhỏ hơn 4 lần ( h0.0125) tại cùng một thời điểm t 0.3 (ở bước thứ 15 và 60 tương ứng) Chúng ta bỏ qua sự thiếu sót của biểu đồ quanh điểm x0 Như trên hình 4.4 độ dài hình học của vết loang giảm khoảng 2 lần

Nhận thấy rằng khi giá trị số Courant Cu 1 từ công thức (4.6), độ rộng vùng loang H 0 tương ứng với trường hợp một khi sơ đồ cho lời giải chính xác

36

Hình 4.4 — So sánh giá trị tính toán với các giá trị h khác nhau

Giả sử k 0 và  u j đơn điệu Xét trường hợp  u j tăng, tức là u j u j1

không âm Khi đó

j k k

k j k k

j k k

k j k j

j

u u u

u u

u u

tức là j  j10

u

u Từ đó, điều kiện đủ đã được chứng minnh

Chứng minh điều kiện cần Giả sử như 0

,1

0

0

k j khi

k j khi

Đối với các sơ đồ đơn điệu dễ dàng chứng minh chúng ổn định Thực ra, nếu như tất cả các hệ số k 0, ngoài ra

j k j

max  

Với giả thiết maxkk 1 ta có



j j j

j

u u

, nghĩa là sơ đồ ổn định Điều kiện (4.9) nảy sinh khá tự nhiên đối với các sơ đồ xấp

xỉ nhiều phương trình vi phân và có nghĩa là nghiệm phương trình uconstcũng chính là nghiệm phương trình sai phân (4.8)

Có thể chứng minh rằng trong các sơ đồ sai phân tuyến tính độ chính xác

bậc hai dùng cho phương trình 0

u

không tồn tại sơ đồ nào thỏa mãn điều kiện tính đơn điệu Vì thế khi thực hiện tính toán theo sơ đồ bậc hai có thể thu được biểu đồ nghiệm có dạng gần giống như trên hình 4.5 Ở đây biểu diễn kết quả thu được ở bước tính thứ 100 với điều kiện đầu (4.7) và số Courant Cu/h0.1theo sơ đồ sai phân bậc hai Lax-Wendroff

2

1 1

h

u u u

Từ hình 4.5 thấy rằng, khi sử dụng các sơ đồ bậc cao (với Courant nhỏ), cần

có các biện pháp đặc biệt để giảm các dao động phát sinh Thông thường phương

trình sẽ được viết thêm các phần tử đặc biệt gọi là nhớt nhân tạo, hoặc là làm trơn

kết quả tính toán

39

Để so sánh, chúng ta dẫn ra trên hình 4.6 kết quả thu được với các điều kiện tương tự (Cu/h0.1) theo sơ đồ (4.2)

Xét hệ phương trình âm học một chiều (1.1) trong miền giới hạn x I x x II

, tại các điểm đầu mút x x I, xx II nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn điều kiện:

 

II II

II

I I

II I

x x khi t f p u

x x khi t f p u

1,011

0 0 0

II II

I I