Chuyên đề 25 phát triển tư duy toán luyện thi tuyển sinh lớp 10 và ôn thi học sinh giỏi toán 9 bằng phương trình vô tỉ

( 1 ) NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHỦĐỀ 26 TOÁN 9 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ta gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Sau đây là các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUYCHỦĐỀ 26 TOÁN 9PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈTa gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ.A.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪAVí dụ 1. Giải phương trình (1)GiảiĐiều kiện xác định của phương trình là (2)Tách riêng căn thức ở một vếđược .(3)Ta phải có (4)Với điều kiện (4) thì

NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHỦĐỀ 26 TOÁN 9-PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Ta gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Sau đây là các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ.

A.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪA

Ví dụ 1 Giải phương trình

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là2x - 3 0³

(2)

Tách riêng căn thức ở một vếđược 2x- 3= -x 3 (3)

Với điều kiện (4) thì

1 2; 2 6

Giá trị x =1 2 không thoả mãn (4), loại

2 6

x = thoả mãn (2) và (4), là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x =6

Nhận xét

a) Nếu không đặt điều kiện x - 3 0³ ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x =2 là nghiệm của (1) Chú ý rằng từ (3) suy ra được (5) nhưng từ (5) chỉ suy ra được (3) với điều kiện x - 3 0³

b) Có thể bình phương hai vế của (1) với điều kiện x ³ 0 (điều kiện này đã cóở

2x - 3 0 ³ ), nhưng lời giải không ngắn gọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế

Ví dụ 2 Giải phương trình

x- - x- = x-

Giải

Bình phương hai vếđược

2

Rút gọn thánh 2 7- x=2 15x2- 13x+2 (4)

Đến đây có hai cách giải

Thì (4) Û 4 28- x+49x2=4(15x2- 13x+2) (6)

2

1 2

2

11

Giá trị 1

2 11

x =

không thoả mãn (1), loại

Giá trịx =2 2 không thoả mãn (5), loại

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Cách 2 Ta phải có 2 7- x³ 0 (5) tức là

2 7

x £

, điều này trái với (1) Vậy phương trình

đã cho vô nghiệm

Cách giải khác Xem Ví dụ 57.

Ví dụ 3 Giải phương trình

3

3 2x+ + 1 x= 1 (1)

Giải: Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức

3 3 3

(a b+ ) =a +b + 3 (aba b+ )

ta được 2x+ + +1 x 3 (23x x+1).( 23 x+ +1 3x)=1 (2) thay 32x+ +1 3x=1 vào (2) ta có

3

3x x(2 1) x

2

1 2

Thử lại: x =1 0 thoả mãn (1)

2 1

x = - không thoả mãn (1), loại

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x =0

Nhận xét

a) Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3) không tương đương Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) không suy ra được (2) Do

đó sau khi tìm được các nghiệm của (3) là 0 và - 1, phải thử các giá trịđó vào (1)

để chọn ra nghiệm của (1)

b) Cách giải khác: Xem các Ví dụ 56 và 59

B.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Ví dụ Giải phương trình

Giải: Điều kiện x ³ 1 Biến đổi

x- + x- + + x- - x- + =

Nếu x >2 thì (2) Û x- 1+ x- 1 1 1- = Û x= Û1 x- 1 1= Û x=2, không thuộc khoảng đang xét

Nếu 1£ x£2 thì (2) Û x- 1 1+ - x- 1 1 2+ = , vô số nghiệm 1£x£ 2

Kết luận: 1£ x£ 2

Chú ý: Sau khi biến đổi đến (2), có thể viết (2) dưới dạng

|1 - x- 1 | 1 = - x- 1

Và chú ý đến bất đẳng thức | |A ³ A với điều kiện xảy ra dấu “=” là A ³ 0được

1 - x- 1 ³ 0 Û x- 1 1 ³ Û x³ 2

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có 1£ x£2

C.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 1 Giải phương trình

Giải:Điều kiện x2+7x+ ³7 0

Đặt x2+7x+ = ³7 y 0 thì x2+7x+ =7 y2

(1) Û 3y2- 3 2+ y= Û2 3y2+2y- 5= Û0 (y- 1)(3y+5)=0

5

3

y

(loại), y =1

2 7 7 1 2 7 6 0 ( 1)( 6) 0

Các giá trịx= - 1,x= - 6 thoả mãn x2+7x+ ³7 0, do đó là nghiệm của (1)

Nhận xét:Cách đặt ẩn phụ x2+7x+ =7 y làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ

Ví dụ 2 Giải phương trình

3

3 2x+ + 1 x= 1

Bằng cách đặt 32x+ =1 a x,3 =b rồi tìm a và b

Giải: Đặt 32x+ =1 a x,3 =b thì 2x+ =1 a x3, =b3 nên

3 2 3 2 1 2 1

a - b = x+ - x=

Cần tìm a và b thoả mãn a b+ = 1 và a3 - 2b3 = 1

Ta có a3- 2(1- a)3= Û1 a3- 1 2(1- - a)3=0

(a 1)[(a a 1) 2(a 1) ] 0

Dễ thấy a2+ + +a 1 2(a- 1)2>0 nên a =1 Suy ra b =0

Vậy x =0 là nghiệm của phương trình đã cho

D.PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉđược thể hiện dưới nhiều dạng:

I.Chứng tỏ rằng phương trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia

Ví dụ 1 Giải phương trình

Bằng cách chứng tỏ rằng với điều kiện xác định của phương trình, có một vế của phương trình luôn nhỏ hơn vế kia

Giải

Điều kiện để xác định của (1) là x ³ 1 Với điều kiện này thì x<5x, do đó

x- < x- suy ra vế trái của (1) là số âm, còn vế phải không âm Phương trình

vô nghiệm

II.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

Ví dụ 1 Giải phương trình

Giải

Vế trái 3(x+1)2+ +4 5(x+1)2+ ³9 4+ 9=5

Vế phải 4 2- x x- 2= -5 (x+1)2£ 5

Vậy hai vế của (1) đều bằng 5, khi đóx = - 1

Kết luận: x = - 1

III.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1 Giải phương trình

3

3 2x+ + 1 x= 1 (1)

Bằng cách chứng tỏ rằng x =0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải: Ta thấy x =0 nghiệm đúng phương trình (1)

Với x >0 thì 3x+ >1 1,3x>0 nên vế trái của (1) lớn hơn 1

Với x <0 thì 3x+ <1 1,3x,0 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 1

Vậy x =0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

IV.Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt

Ví dụ 1 Giải phương trình

2

x x

Giải: Điều kiện:

2 3

x >

Ta có bất đẳng thức 2

a b

b+ ³a với a>0,b>0, xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b Với

2

3

x >

thì (1) Û x= 3x- 2Û x2- 3x+ = Û2 0 (x- 1)(x- 2)=0

1 1; 2 2

Û = = đều thoả mãn (2)

Phương trình có hai nghiệm là x=1;x=2

BÀI TẬP LUYỆN

Giải các phương trình

1.a) x+ -3 x- 4=1; b) 15- x+ 3- x =6;

c) 10- x+ x+ =3 5; d) 4x+ -1 3x+ =4 1;

e) x- 1- x+ =1 2

2.a) x- 2 x- 1- x- 1 1= ;

b) x+2 x- 1+ x- 2 x- 1= 2;

c) x+ 6x- 9+ x- 6 x- 9= 6

3.a) x2- 4x+ +4 x2- 6x+ =9 1;

b) x+ -4 4 x + x+ -9 6 x =1;

c) x+ -6 4 x+ +2 x+11 6- x+ =2 1;

d) x+ -2 4 x- 2+ x+ -7 6 x- 2=1;

4. a) x+ x+ 1- x =1;

b) 1- x2- x = x- 1;

c) x2+ = -6 x 2 x2- 1;

d) 2x2+8x+ +6 x2- 1=2x+2;

e*) x- 7+ 9- x=x2- 16x+66

5.a) 2x- 1+ x- 2= x+1;

b) 3x+15- 4x+17= x+2;

c) x- 1+ x+ +3 2 (x- 1)(x2- 3x+5)= -4 2x;

d) x+ +1 x+10= x+ +2 x+5

6.a) 2x+ +3 x+ +2 2x+ -2 x+ = +2 1 2 x+2;

b) 2x2- 9x+ +4 3 2x- 1= 2x2+21x- 11

7 * a)

2

x

x

b)

2

2

x

x

+

8 * a)

b)

8 2

2

2

2

x x x

x x

= +

+

+

+ + + (vế trái có 100 dấu phân thức)

9. a) 3x+ +1 37- x=2; b) 325+ +x 33- x =4;

c) 1+3x- 16=3x+3; d) 3x+ -3 36- x=1

10. a) 324+ +x 12- x=6; b) 32- x+ x- 1 1= ; c) 3x- 2+ x+ =1 3

11. a) 3x+ +1 3x- 1=35x;

b) 3(x+1)2 +3(x- 1)2+3x2- 1=1;

c) 3x+ +1 3x+ +2 3x+ =3 0

12 *

3 3

3 3

6

x

=

13 * a) 41- x2+41+ +x 41- x=3;

b) 41- x+42- x=43 2- x

HƯỚNG DẪN

1.a) Chuyển vế được x+ = +3 1 x- 4

Bình phương hai vế Nghiệm x =13

b) Chuyển vế được 15- x= -6 3- x

Bình phương hai vế Nghiệm x = - 1

c) Bình phương hai vế Nghiệm 1 và 6

d) Nghiệm x =20 (chú ý rằng x =0 không là nghiệm)

e) x- 1= +2 x+1 Vế phải lớn hơn vế trái, phương trình vô nghiệm

2 a) Chuyển vế được x- 2 x- 1= +1 x+1

Bình phương hai vế Nghiệm x =1

b) Bình phương hai vế Nghiệm

2£ x£ c) Bình phương hai vế Nghiệm

2£ x£

3 a) Đưa về dạng

Áp dụng bất đẳng thức | |A ³ A, ta có |x- 2|³ x- 2,| 3- x| 3³ - x nên

Do (1) nên phải xảy ra dấu " = " ở (2), tức là x - 2 0³ và 3- x³ 0

Nghiệm 2£ x£ 3

b) Đặt x=y Đưa về dạng |y- 2| | 3+ - y| 1= Nghiệm 4£ £x 9

c) Đặt x+ =2 y Đưa về dạng |y- 2| | 3+ - y| 1= Nghiệm 2£ £x 7

d) Đặt x- 2=y Đưa về dạng |y- 2| | 3+ - y| 1= Nghiệm 6£ x£11

4 a) Chuyển vế được x+ 1- x = -1 x, rồi bình phương hai vế

Nghiệm x =0 (chú ý loại

16 25

x =

)

b) Nghiệm

25

16 c) Vế trái lớn hơn x, vế phải không lớn hơn x Phương trình vô nghiệm

d) Điều kiện x ³ 1 hoặc x = - 1 Bình phương hai vế rồi rút gọn

2 2(x+ 1) (x+ 3)(x- 1) =x - 1 ta có

8(x+ 1) (x+ 3)(x- 1) = (x+ 1) (x- 1) Û (x+ 1) (x- 1)(7x+ 25) = 0

25

7

x =

loại Nghiệm x = ±1

e) Vế trái

A = x- + - x

Þ = + - - £ + + + - = , do đó A £2

Vế phải B =(x- 8)2+ ³2 2

Theo đề bài, A=B nên A=B = 2 Do đó x- 7 = - 9 x và x =8 Vậy x =8, thoả mãn phương trình đã cho

5 a) Điều kiện: x ³ 2 (1)

Bình phương hai vế được

2x- 1 + -x 2 2 2 + x - 5x+ = + Û 2 x 1 2x - 5x+ = - 2 2 x

Từ (1) và (2) ta có x =2 Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho Nghiệm x =2

b) Điều kiện x ³ - 2

Chuyển vế được 3x+15= x+ +2 4x+17

Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x £ - 2

Do đó x = - 2 Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho

c) Do x ³ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2 Suy ra hai vế bằng 2, khi đó x =1, thoả mãn phương trình

d) Điều kiện x ³ - 1 Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x £ - 1

Nghiệm x = - 1

6 a) Đặt 2x+ +3 x+ =2 y, 2x+ -2 x+ =2 z (1)

Ta có y2- z2 = +1 2 x+2,y z+ = +1 2 x+2

Từ (1) và (2) tính được x

Nghiệm x =2 (chú ý loại giá trị x = - 1)

b) Đặt 2x2- 9x+ = ³4 a 0,2- x³ 0 nên x £1 Ta có

1

2

x

x

Û - = Nghiệm x = - 8

b) Điều kiện

2

x

hoặc x >2

Đặt

2

2

x

x

+

Thì y2=(x- 2)(x+2) (2)

Ta có y2+4y+ =3 0 nên y1 = - 1,y2 = - 3 Do y <0 nên từ (1) suy ra

2

Với y = - 1, thay vào (2) được x -2 4 1 = Do x <2 nên x = - 5

Với y = - 3, thay vào (2) được x -2 4 = 9 Do x <2 nên x = - 13

Nghiệm là - 5,- 13

7 a) Điều kiện 0£ x£ 4 Đặt 2+ x = ³a 0, 2- x = ³b 0

Ta có ab= 4- x a, 2+b2 =4 Phương trình là

2 2

2

a+ b=

-2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 )

-2 2

2(a b 2 ab) aba b( ) 2(a b)

-2(2 ab) (a b)(2 ab)

Þ + = - + (chú ý a2+b2=4)

Do ab+ ¹2 0 nên a b- = 2

Bình phương hai vế được

2 2 2 2 2 2 1 4 1

a + -b ab= Þ ab= Þ ab= Þ - x =

Tìm được x =3, thử lại đúng

b) Ta xét

x x

x

2

x

+

Cuối cùng ta được 1+ -x 1 8= Nghiệm x =80

8 a) Cách 1 Lập phương hai vế, áp dụng hàng đẳng thức

3 3 3

(a b+ ) =a +b + 3 (aba b+ ),

Ta được x+ + -1 7 x+3 (3 x+1)(7- x).2=8

Đưa về (x+1)(7- x)=0, được x1 = - 1,x2 = 7, thoả mãn phương trình đã cho

Cách 2 Đặt 3x+ =1 a, 73 - x=b Ta có a b+ =2 và a3+b3 =8 Đưa về 3a2- 6a= 0 Nghiệm x1 = - 1,x2 = 7

b) Đặt 3x+ =3 a, 33 - x=b Ta có a b+ =4 và a3+b3=28 Đưa về a2- 4a+ =3 0 Nghiệm x1 = - 24,x2 = 2

c) Đặt 3x+ =3 a x,3 - 16=b Ta có a b- = 1 và a3- b3= 19 Đưa về a2- a- 6 = 0 Nghiệm x1 = - 11,x2 = 24

d) Cách 1 Đặt 3x+ =3 a, 63 - x=b Ta có a b- = 1 và a3+b3=9 Đưa về

2

(b- 1)(2b + +b 8) = 0 được b =1 Nghiệm x =5

Cách 2 3x+ -3 36- x = Û1 3x+ +3 3x- 6=1

Hãy chứng tỏ rằng x =5 là nghiệm duy nhất

9 a) Đặt 324+ =x a, 12- x=b Ta có a b+ =6,a3+b2=36 với b ³ 0

Thay b= - 6 a vào a3+b2=36 và rút gọn được a a( - 3)(a+4)=0

Với a =0 ta được x = - 24 Với a =3 ta được x =3 Với a = - 4 ta được x = - 88 b) Đặt 32- x =a x, - 1=b Ta có a b+ =1,a3+b2=1 với b ³ 0

Đưa về a a( - 1)(a+2)=0 Nghiệm là 1;2;10

c) Đặt 3x- 2=a x, + =1 b Ta có a b+ =3,b2- a3=3 với b ³ 0

Đưa về (a- 1)(a2+6)=0 Nghiệm x =3

10 a) Lập phương hai vế Nghiệm là

5 0;

2

±

b) Đặt 3x+ =1 a x,3 - 1=b Ta có

2 2 1

3 3 2

Từ (1) và (2) ta có a b- = 2 Thay b a= - 2 vào (1) ta được a =1 Nghiệm x =0

c) Cách 1 x = - 2nghiệm đúng phương trình

Với x + ¹2 0, chia hai vế cho 3x +2

Đặt

3 1 3 3

,

+ + Giải a3+b3=2,a b+ = - 1, vô nghiệm

Cách 2 Đặt 3x+ =2 y Chuyển vế 3y3- 1+3y3+ = -1 y

Lập phương được

3 1 3 1 3.3 6 1.( ) 3 3 3 6 1

y - +y + + y - -y = -y Û y =y y -

Với y =0, có nghiệm x = - 2

Với y ¹ 0, có y2 =3y6- 1 Lập phương hai vế được y6=y6- 1, vô nghiệm

Cách 3 Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình Với x< - 2,x> - 2, phương trình

vô nghiệm, xem bảng dưới đây

1

x + 3x +2 3x +3 Vế

trái

2

x < - < - 1 < 0 < 1 < 0 2

x > - > - 1 > 0 > 1 > 0

11 Đặt 37- x=a x,3 - 5=b Ta có a3+b3=2,a3- b3=12 2- x, do đó vế phải của

phương trình đã cho là

3 3

2

a - b

Phương trình đã cho trở thành

3 3

2

a b a b

a b

-=

Vì a3+b3= 2 nên

3 3

3 3 3 3

3 3 ( )( ) ( )( )

Do a b+ ¹ 0 nên

(a b a- )( - ab b+ ) = (a b a- )( +ab b+ )

Từ a=b ta được x =6

Từ ab =0 ta được x=7;x=5

12 a) Đặt 1+ = ³x a 0,1- x= ³b 0 Ta có

2

4ab+ 4a+ 4b= 3 (2)

Theo bất đẳng thức Cô-si 2

m n

mn£ +

, ta có

Phải xảy ra đẳng thức, tức là a= =b 1 Do đó x =0

b) Đặt 41- x= ³a 0, 24 - x= ³b 0 Điều kiện

1

Ta có

4 ( ) 2 (2 3 2 ) 0

a b+ = a +b Û a b+ =a +b Û ab a + ab+ b =

Nếu a>0,b>0 thì 2a2+3ab+2b2>0 Do đó a =0 hoặc b =0

Suy ra x =1 hoặc x =2 Loại x =2 vì trái với điều kiện (1)

Nghiệm x =1