Ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁINGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯPHẠM ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022... ĐẠI HỌC THÁINGUYÊ

ĐẠI HỌC THÁINGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

PHẠM

ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁINGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

PHẠM

ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Hồ Minh Toàn

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dungluận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức

độ tương đồng 2% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đãnộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT

Đinh Thị Hồng Thương

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đãnhận được sự động viên khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tìnhcủa thầy cô giáo, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp Với lòng biết ơn sâusắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô của Khoa Toán

- Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã cùng với tri thức quý báu vàtâm huyết của mình để truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong suốt quátrình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Hồ Minh Toàn đã tận tình hướngdẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khảnăng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn này

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học TháiNguyên và được hỗ trợ một phần bởi Trung tâm quốc tế Đào tạo vàNghiên cứu Toán học, Viện Toán học, mã đề tài ICRTM02-2020.05 Trongquá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, chắc chắn không tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2022

Tác giả

Đinh Thị Hồng Thương

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

SMP Strong moment problem - bài toán moment mạnh

MP Moment problem - bài toán moment

PSD Ma trận nửa xác định dương

SDP Semi-definite programming - quy hoạch nửa xác định

Mục lục

Lời cam đoan

i Lời cảm ơn

ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu

iii Mở đầu

1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số kí hiệu và kết quả về ma trận

3 1.1.1 Các kí hiệu

3

1.1.2 Ma trận nửa xác định dương

4 1.2 Tổng quan về bài toán Moment và tổng bình phương

5 1.2.1 Bài toán thứ 17 của Hilbert

6 1.2.2 Biểu diễn đa thức một biến dương

8 1.2.3 Bài toán Moment một chiều

10 1.2.4 Điều kiện SMP và MP

11 1.3 Bài toán Monment trên tập nửa đại số compact 13

Chương 2 Ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài toán

t

ố

1 6

MỞ ĐẦU

Toán học là bản lề then chốt của mọi ngành khoa học và có ứng dụngrộng rãi trong thực tiễn Ngày nay có rất nhiều nhà toán học tập trungnghiên cứu phát triển các lý thuyết toán học, đặc biệt là lý thuyết tối ưu.Cho g = {g1, , gm} là một họ m đa thức n biến (x1, , xn) Kí hiệuK(g) là tập nghiệm thực của hệ bất phương trình đa thức

đa thức trên tập compact K(g) Trong trường hợp K(g) không bị chặn,thì các định lý biểu diễn dương của Putinar và Schmudgen không phải lúcnào cũng đúng, vì vậy thuật toán của Lasserre nói trên chỉ tìm các cậndưới (cận trên) của giá trị infimum (supremum, tương ứng) của một đathức trên K(g), nói chung trong nhiều ví dụ cho thấy thuật toán đó chưatìm ra giá trị tối ưu Có nhiều cách tiếp cận để khắc phục vấn đề trên

Ví như trong [3], để tìm infimum của đa thức f trên tập không bị chặn

K(g), các tác giả chỉ ra rằng giá trị cần tìm đó bằng giá trị infimum của

f trên giao K(g) với tập K(r − f ) Nếu giả thiết thêm, tồn tại sốthực r để K(g, r − f ) là compact thì ta có thể tìm giá trị infimum theothuật toán xấp xỉ của Lasserre đề cập trên đây trên tập compact K(g, r

− f) Ở một cách khác, các tác giả trong [11], thực hiện một số phépbiến đổi đơn thức có thể biến tập không bị chặn K(g) thành tậpcompact và giá trị infimum vẫn không thay đổi Khi đó ta có thể áp dụngthuật toán xấp xỉ Lasserre trên tập compact sau khi đổi biến Ngoài ra,còn một số nỗ lực khác để tìm cực trị trên tập không bị chặn K(g), tuynhiên, tất cả các cố gắng trên đều có hạn chế là chỉ giải quyết một sốlớp tập không bị chặn K(g) (tức có nhiều giả thiết thêm) Vì vậy có thểnói, trong trường hợp họ đa thức g bất kì thì bài toán xây dựng thuậttoán để tìm cực trị của một đa thức trên K(g) nói chung vẫn là bài toánmở

Mục đích của đề tài là trình bày một số kết quả tiêu biểu về việc ứngdụng của bài toán biểu diễn đa thức vào việc tìm cực trị của một đa thứctrên tập nửa đại số đóng K(g) thông qua xấp xỉ Lasserre Ngoài ra, chúngtôi cũng trình bày tổng quan về Bài toán Tổng bình phương và Bài toánMoment trên vành đa thức thực

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về ma trận xác định dương,tổng quan về bài toán Moment và tổng bình phương và bài toán Momenttrên tập nửa đại số compact

Chương 2: Trình bày ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bàitoán tối ưu, gồm bài toán quy hoạch nửa xác định, tối ưu toàn cục và tối

ưu có ràng buộc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Một số kí hiệu thường dùng và các kết quả về biểu diễn đa thức dương

và bài toán Moment được trình bày trong chương này Ngoài định lý biểudiễn dương cổ điển, các kết quả chính trong chương (các định lý biểu diễndương) được viết bởi K Schmudgen [10] và M Putinar [9] và được trìnhbày lại trong các cuốn sách [5, 6] Các kí hiệu và kết quả được trình bàytrong luận văn này dựa vào cuốn sách của M Marshall [6] Vì nội dungchính của luận văn là tập trung trình bày lại ứng dụng của biểu diễn dương

đa thức vào bài toán tối ưu nên chúng tôi bỏ qua nhiều chứng minh vàđộc giả có thể tìm chứng minh chi tiết trong các cuốn sách đề cập ở trên

- Với n ≥ 1, kí hiệu ngắn gọn vành đa thức R [x1, , xn] bởi R [x], x

là viết gọn cho n biến (x1, , xn)

1 n

i=1

là ma trận vuông cấp n.

Mệnh đề 1.1 Cho A là ma trận thực đối xứng cấp n Các mệnh đề sautương đương:

1 xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn

2 Mọi giá trị riêng của A đều không âm

3 Tồn tại ma trận vuông U cấp n sao cho A = U T U

4 A là tổ hợp tuyến tính không âm của các ma trận có dạng xxT , x ∈

Rn

1

Chứng minh (1) ⇒ (2): Vì A đối xứng, nên các giá trị riêng của A đều là

số thực Giả sử d là một giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng x Do đó

Ma trận đối xứng thực A được gọi là ma trận nửa xác định dương nếu

A thỏa mãn một trong số các điều kiện tương đương của Mệnh đề 1.1 A

là xác định dương nếu xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn, x = 0 Nếu A là xácđịnh dương thì các giá trị riêng của A đều dương và ma trận U trongMệnh đề

1.1.(3) khả nghịch

phương

Sự liên hệ giữa đa thức dương (không âm) và tổng bình phương của

đa thức là một câu hỏi trong nghiên cứu của Hilbert vào cuối thế kỉ XIX.Hilbert nhận ra không phải mọi đa thức không âm đều có thể viết đượcdưới dạng tổng bình phương của các đa thức Điều này dẫn đến bài toánthứ 17 của Hilbert, được công bố năm 1900, đặt câu hỏi mọi đa thức không

âm có thể viết được dưới dạng tổng bình phương của các hàm số hữu tỉ?

Đến năm 1927, bài toán trên đã được trả lời bởi E.Artin, người đã đặt nền móng cho trường hình học đại số thực.

Trong mục này, chúng tôi chỉ tóm tắt một số kết quả về bài toánMoment và Tổng bình phương, và bỏ qua một số phần chứng minh Độcgiả có thể đọc phần chứng minh trong tài liệu tham khảo [6]

1.2.1 Bài toán thứ 17 của Hilbert

Nếu f là một tổng bình phương, f = f2 +

Rn

1 m

Điều đó đặt ra câu hỏi rằng: Ngược lại có đúng hay không; f ≥ 0 trên Rn

có suy ra được f là một tổng bình phương trong R[x]? Hiển nhiên đúngvới n = 1, nhưng không đúng với n ≥ 2 Điều này được chứng minh mộtcách rất hình thức bởi Hilbert vào năm 1888 Tuy nhiên, một phản ví dụlần đầu được đưa ra bởi Motzkin vào năm 1967 Đó là

m(x, y) = x2y4 + x4y2 − 3x2y2 +

1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x2y4, x4y2, 1 ta thu được m(x, y) ≥

0 với mọi số thực x, y Tuy nhiên m không phải là tổng bình phươngtrong R[x, y]

Bài toán 1.1 Bài toán thứ 17 của Hilbert : Trong Đại hội Toán họcnăm

1900, Hilbert đã đưa ra giả thiết sau:

Với f bất kì thuộc R[x] Nếu f ≥ 0 thì f có thể biểu diễn thành tổng bình phương của các hàm số hữu tỉ

Bài toán đã được khẳng định như sau:

• Đúng khi n = 1

• Hilbert đã chứng minh với trường hợp n = 2

• Artin đã chứng minh trong trường hợp tổng quát

(i1, ,im) 1 m  (i , ,i ) 1 m ∈ R [x]2 .

Chú ý 1.2 Cho g1, , gm là các đa thức thực và T = T (g1, , gm) như trên, ta có:

• 1 ∈ T,

• T + T ⊂ T,

• f2T ⊂ T, ∀f ∈ R [x] ,

• T T ⊂ T

Hơn nữa, tập con nhỏ nhất T ′ ⊂ R [x] thỏa mãn các tiên đề trên là tiền thứ tự sinh bởi g1, , gm.

Tập hợp

K(g) := {x ∈ Rn | g1(x) ≥ 0, , gm(x) ≥ 0}

được gọi là tập nửa đại số đóng cơ sở Tập nửa đại số cơ sở là tập nghiệmcủa hệ (hữu hạn) bất phương trình đa thức Tập nửa đại số là hợp hữuhạn các tập nửa đại số cơ sở Từ các định nghĩa của các kí hiệu Q =Q(g), T = T (g) ta dễ dàng chứng minh được các bao hàm thức sau:

X R[x]2 ⊂ Q ⊂ T ⊂ P os(K),trong đó

i) f > 0 trên K ⇐⇒ tồn tại p, q ∈ T sao cho pf = 1 + q

ii) f ≥ 0 trên K ⇐⇒ tồn tại số nguyên m ≥ 0 và p, q ∈ T sao cho

Do đó liên hợp của nó α cũng là một nghiệm của p Cùng với định lý cơbản của đại số, ta thu được phân tích đa thức p thành tích các nhân tử

st

bất khả quy như sau:

a(x − x1)r1 (x − xk)rk (x − y1)2 + b1 (x − yt)2 + bt , (1.2.1)trong đó ri ≥ 0, si ≥ 0, x1, , xk là các nghiệm thực đôi một phân biệt và

Trong trường hợp một chiều, ta có bao hàm thức ngược lại

Mệnh đề 1.2 (i) Nếu p ∈ P os(R) thì p là tổng hữu hạn các bình phương trong R [x]

(ii) Nếu p ∈ P os ([0, ∞]) thì tồn tại g0, g1 ∈ X R[x]2 sao cho

Chứng minh (i) Suy ra từ công thức (1.2.1)

(ii) Cho 0 = p ∈ P os ([0, ∞)) ta cần chỉ ra p là một phần tử trong

mô đun bậc hai Q = Q(x) Xét biểu diễn (1.2.1) của p(x) Cho x −→+∞, ta có a > 0 Hơn nữa, mọi nhân tử là tam thức bậc hai và các nhân

(iii) Đầu tiên ta dễ dàng chỉ ra rằng mô đun bậc hai

Q = Q ({x − a, b − x}) = Q ({(x − a)(b −

x)})Cho p không âm trên [0, 1] (bằng việc áp dụng ánh xạ tuyến tính từ[a, b] −→ [0, 1] ta có thể giả sử [a, b] = [0, 1]).Ta cũng giả sử rằng bậc

của p bé nhất bằng 1 và có số thực c sao cho f(c) > 0 Thì c lớn hơn 1hoặc bé hơn 0 Nếu c lớn hơn, thì p có nghiệm d ∈ [1, c] Ta có thểviết f (x) = (d − x)g(x) trong đó g(x) là đa thức không âm trên [0, 1].Bằng quy nạp g ∈ Q và thêm d − x ∈ Q, ta có f ∈ Q.

1.2.3 Bài toán Moment một

(1.2.2)

K

Phiếm hàm L có biểu diễn tích phân (1.2.2) được gọi là K-moment hayhàm moment trên K Trong trường hợp K = R thì ta gọi L là moment.Định lý cổ điển sau trả lời trọn vẹn cho câu hỏi trên

Định lý 1.2 (Định lý Haviland) Cho K là một tập con đóng của Rn và L

là một phiếm hàm tuyến tính trên R[x] Các phát biểu sau là tương đương:i) L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ P os(K)

nếu L (σ0 + xσ1 + (1 − x)σ2) ≥ 0 ∀ σ0, σ1, σ2 ∈ X R[x]2.

Để chứng minh hệ quả này ta cần chỉ ra rằng T (x, 1−x) = Q(x, 1−x)

Cho một tập con C của R[x], xét nón đối ngẫu

• C ⊂ P os(K).

iii) Nếu L ⊂ C∨ thì L là K− moment.

Chứng minh Vì C∨∨∨ = C∨ và P os(K) = P os(K)∨∨, nên có i

⇐⇒ ii

Áp dụng định lý Haviland ta có ii ⇐⇒ iii

Định nghĩa 1.1 Cho C là một tập con của R[x] (thường xét trường hợp

C là mô-đun bậc hai hữu hạn sinh hoặc tiền thứ tự hữu hạn sinh) Ta nói

C thỏa mãn tính chất (SMP) (viết tắt của từ strong moment problem)nếu một (và do đó tất cả các) trong các điều kiện tương đương của Mệnhđề1.2 thõa mãn

Mệnh đề 1.4 Các phát biểu sau là tương đương;

Chú ý: (SMP) mạnh hơn (MP), tức nếu C thõa mãn tính chất (SMP)thì C thỏa mãn (MP).

1.3 Bài toán Monment trên tập nửa đại số compact

Cho g = (g1, , gm) là một họ m các đa thức trong R[x] = R[x1, ,

xn] Tập nửa đại số K(g) = ({x ∈ R|g1(x) ≥ 0, ., gm(x) ≥ 0} vàQ(g), T (g) lần lượt là mô-đun bậc hai và tiền thứ tự của R[x] sinh bởi

g Khi không có sự nhầm lẫn, ta giản ước kí hiệu g, chỉ viết K, Q, T đốivới K(g), Q(g) và T (g) Cho C là một tập con của R[x] Một hàmtuyến tính các giá trị thực L trên R[x] được gọi là C− dương nếu L(p)

≥ 0, ∀p ∈ C

Theo các kết quả ở cuối mục trước, ta phát biểu lại các tính chất (SMP),(MP) như sau: Q (hay T ) thỏa mãn tính chất (SMP) nếu bất kỳ phiếmhàm tuyến tính L trên R[x] mà là Q− dương (tương ứng, T −dương), tồntại một độ đo Radon m có giá trên K thỏa mãn

ZL(f ) = fdm (f ∈ R[x])

(1.3.1)

K

Q (hay T ) thỏa mãn (MP) nếu mọi phiếm hàm tuyến tính L trên R[x] mà

là Q− dương (tương ứng, T −dương), tồn tại một độ đo Radon m trên Rn

sao cho (1.3.1) thỏa mãn Vì Q ⊂ T nên nếu Q có tính chất (SMP)(hoặcMP) thì T cũng vậy

Theo định lý Haviland, L có sự biểu diễn tích phân (1.3.1) nếu L là

P os(K)-dương Rõ ràng, T ⊂ P os(K), do đó một hàm số tuyến tính

mà không âm trên P os(K) phải là T -dương, tức là L ∈ T ∨ Tuynhiên, việc kiểm tra L(f ) ≥ 0 với f ≥K 0 là rất khó

1, , m Kiểm tra các bất đẳng thức này là bài toán SDP (semi-definiteprogramming) Vì vậy việc kiểm tra L(f ) = 0 với f ∈ Q′ có thể giảibằng bài toán SPD Do đó ngày nay, các nhà toán học quan tâm đến bàitoán sau:

b ± f = 1 (b f)2

ta thu được b ± f thuộc T ∨∨

Hệ quả 1.5 Nếu K−compact thì T thỏa mãn (SMP)

Chứng minh Cho f ∈ R[x] không âm trên K Vì K compact và fliên tục trên K nên tồn tại b ≥ 0 thỏa mãn 0 ≤ f (x) ≤ b, ∀x ∈ K.Theo Hệ quả 1.4, f ∈ T ∨∨ Do đó T ∨∨ ⊃ P os(K) Theo Mệnh đề 1.3,

Chú ý 1.4 Cho p ∈ R[x] Bài toán kiểm tra khi nào p ∈ P os(K)nói chung là khó (chưa có thuật toán khi K có vô hạn phần tử) Tuynhiên, việc kiểm tra một đa thức p ∈ Q hay p ∈ T là các bài toán SDP(tức có thuật toán SDP).

Bài toán 1.4 Đặc trưng để các bao hàm thức sau thỏa mãn:

(P1) {p ∈ R[x]| p >K 0} ⊂ Q

(P2) {p ∈ R[x]| p >K 0} ⊂ T

p >K 0 tức là p(x) > 0, ∀x ∈ K Rõ ràng ta có quan hệ kéotheo như sau: (P 1) =⇒ (P 2) Ngoài ra, nếu (P 2) xảy ra thì T thỏa tínhchất (SMP) Nếu (P 1) xảy ra thì Q thỏa mãn (SMP) Thật vậy, giả sử L

là một phiếm hàm tuyến tính T -dương Với bất kì p ≥K 0, lấy t > 0 bất

kì, ta có p+ t >K 0 Nếu (P 2) xảy ra thì p+t ∈ T Nên 0 ≤ L(p+t) =L(p)+L(t) Cho t −→ 0, ta có L(p) ≥ 0 Do đó L là P os(K)− dương.Mô-đun bậc hai Q được gọi là Archimedean nếu tồn tại số N sao cho

N − (x1 n2 + + x2 ) ∈ Q

Định lý 1.4 Cho g = (g1, , gm) ⊂ R[x], K = K(g), Q = Q(g) và

T = T (g) như trên

• Nếu K compact thì mọi đa thức p >K 0 thuộc T (Schmudgen [10])

• Nếu Q là Archimedean thì mọi đa thức p >K 0 thuộc Q (Putinar [9])

Rõ ràng, nếu K compact thì theo Định lý của Schmudgen, T là Archimedean.Với trường hợp không compact, ta có các định lý biểu diễn dương của

Chương 2

Ứng dụng của tổng bình phương

đa thức trong bài toán tối ưu

Việc sử dụng các kết quả của bài toán Moment và Tổng bình phươngvào tính toán các giá trị cực trị của đa thức trên nửa đại số được nhiều nhàkhoa học quan tâm nghiên cứu Các kết quả nổi bậc trong hướng nghiêncứu này là các kết quả của P.A Parrilo, B Sturmfels, J.B.Lasserre, H.H.Vui, P.T Son, vv , và được trình bày lại trong các cuốn sách [6, 5, 2].Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp tính giá trị cực trịcủa đa thức theo kết quả của Lasserre Phương pháp này được Lasserređưa ra năm 2001 [4] Các kết quả được trình bày trong chương này đượcviết theo [6, Chapter 10]

2.1 Quy hoạch nửa xác định

Quy hoạch nửa xác định (viết tắt là SDP) là dạng tổng quát của quyhoạch tuyến tính (LP) Đó là công cụ hữu ích trong tối ưu đa thức, chophép tính xấp xỉ nghiệm của đa thức với độ phức tạp đa thức Trong mụcnày, chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn về quy hoạch nửa xác định, sau đó làcác bài toán về tối ưu đa thức Chúng ta xét cả bài toán tối ưu toàn cục(không có ràng buộc) và tối ưu có ràng buộc

2.1.1 Nón của ma trận nửa xác

định

Nhắc lại: Trong luận văn này, khi nói một ma trận luôn được hiểu là

ma trận thực Một ma trận vuông A cấp n là ma trận nửa xác định dương(viết tắt là PSD) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:(1) A đối xứng và và các giá trị riêng của nó đều không âm

(2) Tồn tại một ma trận B sao cho A = BT B

(3) Tồn tại một ma trận PSD B sao cho B2 = A

(4) A = AT và ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 với mọi vectơ x thuộc Rn

Một ma trận vuông A là xác định dương nếu A là nửa xác định dương vàkhả nghịch Từ định lý Khai triển phổ và các tính chất ở trên ta dễ dàngthu được một số tính chất cơ bản về ma trận nửa xác định dương như sau:(1) Nếu A là PSD thì λA là PSD với mọi số không âm λ

(2) Nếu A, B là PSD thì A + B là PSD

(3) Nếu A là PSD thì X∗AX là PSD với mọi ma trận X

Do đó, tập hợp các ma trận PSD là một nón lồi và được kí hiệu là P(n).Vết (kí hiệu T r) của một ma trận vuông được xác định bởi tổngcủa các phần tử trên đường chéo chính Vì thế vết là một phiếm hàmtuyến tính dương trên M (n) (và cả trên không gian các ma trận đối xứngSym (M (n))) Hơn nữa, T r(AB) = T r(BA) Tích vô hướng trên M(n) được xác định bởi