Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT Chuyên đề 7 KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Giả sử có hai đại lượng hiến thuật tổng quát Trong thi môn Toán, chiến thuật quan trọng nhất là dễ trước khó sau, đúng câu dễ mới làm câu khó. Khi nhận đề, các em cần đọc lướt qua một lượt, trong quá trình đọc bắt được ý tưởng lời giải của bài nào thì ghi ngay ra bên cạnh bài đó. Sau đó, bắt tay làm bài từ câu dễ đến câu khó, theo phương châm đúng câu dễ mới sang câu khó. Lưu ý, sai câu dễ nguy cơ trượt cao, không làm được câu khó vẫn có thể đỗ. Với 2 câu vận dụng cao, chỉ nên dành thời gian tối đa cho mỗi câu 10 phút, thời gian còn lại cần kiểm tra các câu đã làm để đảm bảo đạt điểm tuyệt đối. Hãy nhớ 3 bước giải bài toán. Tương tự như 3 bước làm một bài văn là mở bài, thân bài, kết luận, 3 bước giải bài toán lần lượt là: điều kiện, giải bài toán, kiểm + kết. Kỹ năng trình bày: 2Đ Đúng và Đủ ý Đúng luôn là quan trọng nhất, Đủ để không bị trừ điểm lặt vặt. Các em lưu ý, bài làm không viết dài dòng, viết càng dài càng dễ sai. Bên cạnh đó, khi viết dài, việc kiểm tra sẽ mất nhiều thời gian và khó tìm ra lỗi sai. Kỹ năng kiểm tra: 3K K1: Làm đến đâu kiểm tra đến đó, nếu sai cần sửa ngay, tránh tình trạng làm xong cả bài mới phát hiện sai, khi đó có lỗi sai rất khó sửa, thường phải bỏ cả bài. Điều này gây mất thời gian và ảnh hưởng không tốt đến tâm lý làm bài. K2: Xong một bài, tiến hành kiểm tra ngay.biến thiên x và y, trong đó x thuộc tập số D Nếu với mỗi giá trị của x thuộc t.
Trang 1Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT
A Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa
Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x thuộc tập số D Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x Tập D là tập xác định của hàm số.
2 Cho các hàm số
Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:
+ Hàm số cho bằng bảng;
+ Hàm số cho bằng biểu đồ;
+ Hàm số cho bằng công thức.
3 Đồ thị hàm số
Cho hàm số yf x xác định trên tập D Đồ thị của hàm số yf x trên tập D là tập hợp tất cả
các điểm M x f x trên mặt phẳng tọa độ Oxy với mọi x thuộc D. ;
4 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số yf x xác định trên tập D.
Hàm số yf x đồng biến trên tập D nếu
x x D x x f x f x
Hàm số yf x nghịch biến trên tập D nếu
x x D x x f x f x
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho bảng tiêu thụ điện năng của một hộ gia đình trong 12 tháng như sau:
Điện năng tiêu thụ
(kw.h)
Bảng trên thể hiện sự phụ thuộc giữa điện năng tiêu thụ (kí hiệu là y) và thời gian x (tính theo tháng)
Trang 2Với mỗi giá trị x D 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12 có duy nhất một giá trị y Vậy ta có một hàm số Tập hợp D là tập xác định của hàm số này.
Các giá trị y 112,90,87, được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng tại x 1, 2,3,
Nhận xét:
Một hàm số có thể được cho bởi bảng Tuy nhiên không phải mọi bảng đều là hàm số Chẳng hạn:
Bảng ghi lại lượng các loại áo sơ mi của một cửa hàng
Trong bảng trên rõ ràng mỗi màu áo x đều được đặt tương ứng với một và chỉ một con số y Tuy
nhiên dó màu áo x không phải là số nên quy tắc cho bởi bảng trên không phải là một hàm số.
Ví dụ 2 Cho hai số thực x, y sao cho: Mỗi giá trị x tương ứng với y thỏa mãn 1 x 1 x2 y2 1 Hỏi quy tắc đặt tương ứng x với y nêu trên có phải là một hàm số không?
Giải
Ta có: Với x 0 y2 1 y Như vậy với một giá trị 1 x 0 được đặt tương ứng với 2 giá trị
y phân biệt nên quy tắc đã cho không phải là một hàm số.
Nhận xét:
Một hàm số thường được cho bởi công thức Tuy nhiên qua ví dụ trên ta thấy không phải mọi công thức đều biểu diễn một hàm số Một công thức đảm bảo là một hàm số khi mỗi giá trị x thuộc
tập xác định D đều đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị y.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số yf x x3 3x 1 đồng biến trên
Giải
Với mọi x1 x x x2 1 , 2 ta có:
f x f x x x x x x x x x x x
Do
3
x x x x x
với mọi x x và 1 , 2 x2 x1 nên ta có: 0
2 1 0
f x f x x x1 , 2 ,x1 x2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét :
Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập D.
Trang 3Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm như sau : Với x x1 , 2 D bất kỳ, x1 x2
Ta xét thương : 2 1
f x f x
x x
+ Nếu 2 1
0
f x f x
x x
thì ta có hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu 2 1
0
f x f x
x x
thì ta có hàm số nghịch biến trên D.
Ví dụ 4: Cho hàm số yf x ax b a 0 (a, b là các tham số, x là số thực) Chứng minh rằng : Hàm số yf x đồng biến khi và chỉ khi a 0 ; hàm số yf x nghịch biến khi và chỉ khi a 0
Giải
Với mọi x x phân biệt thuộc 1 , 2 ta có: 2 1 2 1
f x f x a x x
a
Hàm số đã cho đồng biến 2 1
f x f x
a
x x
Hàm số đã cho nghịch biến 2 1
f x f x
a
x x
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
C Bài tập vận dụng
7.1 Tìm điều kiện xác định của các hàm số:
2
)
2 1
x
a y
x
1 )
x
b y
c y x x
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số 2
2 1
x y
x
2
b) Hàm số 2 1
3 4
x y
xác định x2 3x 4 0 x 1 và x 4 c) Hàm số y x 3 4 2 x xác định
x
Trang 47.2 Chứng minh rằng hàm số 1
2 1
x y x
nghịch biến khi 1
2
x
Hướng dẫn giải – đáp số
2 1
x
y f x
x
Với mọi x1 x2 và 1 2
1 , 2
x x Xét hiệu:
f x f x
Do x1 x2 và 1 2
1 , 2
x x nên ta có x1 x2 và 0 2x và 1 1 0 2x 2 1 0
Từ đó dẫn đến f x 2 f x 1 hay 0 f x 2 f x 1 Suy ra hàm số đã cho nghịch biến khi 1
2
x
7.3 Chứng minh rằng hàm số y 2x3 đồng biếnx 1
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt yf x 2x3 x 1
Với mọi x1 x2 Xét hiệu:
f x f x x x x x x x x x x x
2 2 2
Do x1 x2 nên ta có x2 x1 0
Từ đó dẫn đến f x 2 f x 1 hay 0 f x 2 f x 1
Suy ra hàm số đã cho đồng biến.
7.4 Cho hàm số y 2x2 Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không? 1
) 1;1
) 1;3
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt yf x 2x2 1
a) Do 1 f 1 nên suy ra điểm A thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
b) Do 1 f 0 nên suy ra điểm B thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
Trang 5c) Do 3 1 f 1 nên suy ra điểm C không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
d) Do 2 7 f 2 nên suy ra điểm D không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY
B Các phương pháp giải
I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số ' 2( ' 0)
a x a
y Điểm thuộc hay không thuộc đồ thị:
Hệ số a được tính theo công thức: 2
x
y
a
Để vẽ đồ thị hàm số ' 2( ' 0)
a x a
y ta lập bảng giá trị ( thường cho x 5 giá trị tuỳ ý)
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)
Ví dụ :
a/Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không?
Giải:
a/ Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta có Y = 32 = 9 = 9 Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta có Y = 32 = 9 9 Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’ x 2 (a ’ 0)
1.T ìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung
độ giao điểm
Ch
2.T
ì m điều kiện để (d) và (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phương trình (1) ta có: a'x2 ax b 0 ( a) 2 4a' b
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (1) có nghiệm kép 0
Trang 6c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (1) vô nghiệm 0
+ Phương pháp : Ta phải chứng tỏ phương trình: a ’ x 2 = ax + b có :
+ 0với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= (AB)2 m với m 0 thì đường thẳng luôn cắt parabol
+ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= (A B) 2 thì đường thẳng luôn cắt parabol
+ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= AB2 m với m 0 thì đường thẳng không parabol
C Bài Tập
Bài 1: Cho ba đường thẳng
(d1): y = x + 2, (d2): y = - x - 2, (d3): y = - 2x + 2, (d1) cắt (d2) tại A; (d1) cắt (d3) tại B, (d2) cắt (d3) tại C
a Xác định toạ độ của các điểm A, B, C
b Tính diện tích tam giác ABC
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + 2 (m 0).
Đường thẳng (d) cắt Ox tại A; cắt Oy tại B Tìm m sao cho:
a Tam giác OAB vuông cân tại O;
b Diện tích tam giác OAB bằng 3;
c Khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1
Bài 3 Cho ba đường thẳng (d1): y = x + 2, (d2): y = 2x + 1,
(d3): y = (m2+1)x + m Tìm m để ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm
Bài 4 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + 2
A Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b Tính diện tích tam giác OAB
Bài 5: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1
a Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
b Gọi x1, x2 là hoành độ của các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm m sao cho x2
1x2 + x22x1 - x1x2 = 3
Trang 7Bài 6: Cho ba đường thẳng : (d1): y = x + 1, (d2): y = 2, (d3): y = (2m+3)x-1
Tìm m để ba đường thẳng trên đồng quy
Bài 7 Cho parabol (P): y = -2x2 và đường thẳng (d): y = x + m - 1 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung
Bài 8: Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung
Bài 9: Cho parabol (P): y = 12 x2 và đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x2 = 8x1
Bài 10 Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = - mx + m - 1 Tìm m để
đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2 sao cho 1 1 23
2 1
x x
Bài 11: Cho đường thẳng (d): y = (m2 + 1) x + 2 Đường thẳng (d) cắt Ox tại A cắt Oy tại B Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ tới đường thẳng (d) lớn nhất
Bài 12 Cho parabol (P): y = 21 x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc là k (k 0) và đi qua điểm M (0;2)
a Chứng minh (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b Gọi E và F là hình chiếu của A và B trên trục hoành Chứng minh tam giác MEF vuông tại M
Bài 13: Đề (2014)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2
a Tìm toạ độ các giao điểm của (d) và (P)
b Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 14:Đề (2013)
Cho parabol (P): y = 21 x2 và đường thẳng (d): y = mx - 21 m2 + m + 1
a Với m = 1, xác định toạ độ các giao điểm A, B của (d) và (P);
b Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho |
x1 - x2| = 2
Bài 15: Đề (2011)
Trang 8Cho pa ra bol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m2 + 9
1 Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m =1
2 Tìm m để đưởng thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung
Bài 16: Đề (2016)
Trong hai mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m2-1 và parabol (P): y =
x2
a Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi n
b Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P)
Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = 1
Bài 17: Đề (2017)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5
a Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m
b Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 (với x1 < x2) sao cho |x1| > |x2|
Bài 18: Cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(1 ; -2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung
HD: a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) Nên phương trình đường thẳng (d) là : y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
- x2 = mx + m – 2
x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Và phương trình (*) có m2 4m 8 m 22 4 0 m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung phương trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2
Bài 19:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b Tính diện tích tam giác ABC
Trang 9HD: a.Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thộc đường thẳng AB nên b = 4; a = 2
Vậy đường thẳng AB là y = 2x + 4
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đường thẳng AB A,
B, C không thẳng hàng
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đường thẳng AB A,B,D thẳng hàng
b.Ta có :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
AB2 = AC2 + BC2 ABC vuông tại C
Vậy SABC = 1/2AC.BC = 10 10 5
2
1
( đơn vị diện tích )
Bài 20: Trên cùng một mặt phẳng tọa đọ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
HD:
a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường thẳng AB có dạng
y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = 2
B(3; -4) AB 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
(x 5) (0 2)
(x 3) (0 4) Tam giác MAB cân MA = MB 2 2
(x 5) 4 (x 3) 16
Trang 10 (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
x = 1
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
D) Bài tập tự luyện
B
à i 1 cho parabol (p): y = 2x2
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đường thẳng y = 2x +1
B
à i 2 : Cho (P): 2
2
1
x
y và đường thẳng (d): y = ax + b
1 Xác định a và b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P)
2 Tìm toạ độ tiếp điểm
B
à i 3 : Cho (P) y x2và đường thẳng (d) y = 2x + m
1 Vẽ (P)
2 Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3 Tìm toạ độ tiếp điểm
B
à i 4 : Cho (P)
4
2
x
y và (d): y = x + m
1 Vẽ (P)
2 Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
B
à i 5 : Cho (P): y x2 và (d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2 Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2
B
à i 6 : Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1) y = -2(x+1)
1 Điểm A có thuộc (d1) không ? Vì sao ?
2 Tìm a để (P): y a x2 đi qua A
B
à i 7 : Cho (P): 2
4
1
x
y và đường thẳng (d): ymx 2 m 1
1 Vẽ (P)
2 Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
