Chuyên đề 5 bất đẳng thức cô si có lời giải chi tiết rất hay luyện thi toán lớp 9 học sinh giỏi và ôn thi tuyển sinh lớp 10

Chuyên đề 5 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI A Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô si được ví hầy Thưởng tư vấn, học sinh nên vạch ra lộ trình học với ba giai đoạn cụ thể: Giai đoạn 1 Trang bị kiến thức nền tảng: Học và nắm chắc kiến thức nền tảng tổng quan chương trình Toán lớp 9. Giai đoạn này cần được bắt đầu ngay từ kỳ nghỉ hè vì việc xuất phát sớm sẽ giúp các em có thêm nhiều thời gian cho giai đoạn cuối ôn luyện tổng hợp và luyện đề. Nếu học nhanh và đúng lộ trình, đến khoảng hết học kỳ 1 (tháng 12), học sinh có thể hoàn thành chương trình Toán lớp 9 và bắt đầu bước vào giai đoạn tiếp theo. Giai đoạn 2 Tổng ôn theo từng chuyên đề (tháng 1, 2): Việc ôn luyện theo từng chuyên đề sẽ giúp các em cải thiện các vấn đề còn vướng mắc trong quá trình học. Học sinh cũng có thể vừa tổng ôn kiến thức, vừa luyện đề sớm khi đã đảm bảo họcnhư viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳn.

Chuyên đề 5 B T Đ NG TH C CÔ-SI Ấ Ẳ Ứ

A Ki n th c c n nh ế ứ ầ ớ

Trong các bài toán v b t đ ng th c và c c tr thì b t đ ng th c Cô-si đ c ví nh viên kimề ấ ẳ ứ ự ị ấ ẳ ứ ượ ư

c ng b i tính u vi t trong vi c ch ng minh các b t đ ng th c khác cũng nh tìm c c tr Trongươ ở ư ệ ệ ứ ấ ẳ ứ ư ự ị

ch ng trình THCS ch y u là v n d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s không âm Do v y trongươ ủ ế ậ ụ ấ ẳ ứ ố ậchuyên đ này s ch nêu ng d ng trong vi c gi i các bài toán b ng vi c v n d ng b t đ ngề ẽ ỉ ứ ụ ệ ả ằ ệ ậ ụ ấ ẳ

th c Cô-si cho hai s không âm.ứ ố

• B t đ ng th c Cô-si: cho hai s ấ ẳ ứ ố x, y không âm, ta có:

h p nh m khi v n d ng b t đ ng th c Cô-si thì l n ợ ằ ậ ụ ấ ẳ ứ ầ l t ượ xu t hi n các h ng t v ph i.ấ ệ ạ ử ế ả

Đ ng th c ằ ứ x yả ra khi

Ví d 4:ụ Cho a, b là s th c không âm th a mãn ố ự ỏ hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ

Gi i ả

Tìm cách gi i ả Gi thi t lả ế à đi u ki n liên quan các bi n v i s mũ 2, còn bi u th c ề ệ ế ớ ố ể ứ M ph n bi n ầ ế

có ch a căn Nhứ ằm bi n đ i t bi u th c ch a căn t i bi u th c không có căn và có s mũ 2, ể ổ ừ ể ứ ứ ớ ể ứ ốchúng ta c n áp d ng b t đ ng th c Cô-siầ ụ ấ ẳ ứ d ng ạ và

Tìm cách gi i ả Quan sát c gi thi t và k t lu n, hiả ả ế ế ậ ển nhiên chúng ta c n tách ph n bi u th c ầ ầ ể ứ B

có xu t hi n b ph n c a gi thi t đ khai thác Ph n còn l i c cùng bi n ta nhóm v i nhau đấ ệ ộ ậ ủ ả ế ể ầ ạ ứ ế ớ ể

v n d ng b t đ ng th c Cô-si.ậ ụ ấ ẳ ứ

Trình bày l i gi i ờ ả

• xác đ nh ị m b ng cách cho ằ và suy ra T đó ta có ừcách tách

• xác đ nh ị n b ng cách cho ằ và suy ra T đó ta có ừcách tách

(Thi h c sinh gi i Toán, l p 9, t nh Quãng Ngãi, năm h c 2011- 2012) ọ ỏ ớ ỉ ọ

Hay Đi u ph i ch ng minh ề ả ứ

5.5 Cho a, b, c, d d ng Ch ng minh r ng:ươ ứ ằ

T các b t đ ng th c (1), (2), (3) c ng v v i v , ta đ c:ừ ấ ẳ ứ ộ ế ớ ế ượ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

V y giá tr l n nh t là ậ ị ớ ấ khi

5.7 V i ớ a, b, c là các s d ng th a mãn đi u ki n ố ươ ỏ ề ệ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ

(Tuy n sinh vào l p 10, THPT TP Hà N i năm h c 2014-2015) ể ớ ộ ọ

V y ậ

5.13 Cho tam giác ABC có chu vi b ng 1 C nh ằ ạ a, b, c th a mãn:ỏ

Ch ng minh tam giác ứ ABC đ u.ề

(Thi h c sinh gi i l p 9, t nh Hà Tĩnh, năm h c 2012- 2013) ọ ỏ ớ ỉ ọ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

V y tam giác ậ ABC là tam giác đ uề

5.14 Cho x; y; z là các s không âm Ch ng minh r ng:ố ứ ằ

(Thi h c sinh gi i toán l p 9, TP H Chí Minh năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ồ ọ

5.21 Cho các s th c d ng ố ự ươ a,b,c th a mãn ỏ Ch ng minh:ứ

(Tuy n sinh l p 10, THPTchuyên, T nh Vĩnh Phúc, năm h c 2013- 2014) ể ớ ỉ ọ

(Tuy n sinh l p 10, THPT chuyên, ĐHKHTN, Đ i h c Qu c Gia Hà N i,năm h c 2015- 2016) ể ớ ạ ọ ố ộ ọ

Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ v i ớ ta có

T (1), (2) suy ra ừ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

5.24 Cho a, b, c là các s th c d ng th a mãn ố ự ươ ỏ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ

(Thi h c sinh gi i toán l p 9, t nh Ngh An, năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ỉ ệ ọ

5.25 Cho 5 s th c không âm ố ự a, b, c, d,e có t ng b ng 1 X p 5 s này trên m t đ ng tròn Ch ngổ ằ ế ố ộ ườ ứminh luôn t n t i m t cách x p sao cho hai s b t kì c nh nhau có tích không l n h n ồ ạ ộ ế ố ấ ạ ớ ơ

(Thi h c sinh gi i toán l p 9, TP Hà N i, năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ộ ọ