Chuyên đề 2 liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương , ôn thi toán lớp 9 và tuyển sinh lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề 2 LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A Kiến thức cần nhớ 1 Với thì và ngược lại Đặc biệt, khi , ta có 2 Với thì và ngược lại 3 Bổ sung Với thì V. Giáo dụcGiáo dục 4.0Thứ tư, 2582021, 09:30 (GMT+7) Kinh nghiệm ôn luyện môn Toán 9 hiệu quả Với hơn 10 năm kinh nghiệm luyện thi vào lớp 10, thầy Lưu Huy Thưởng từ HOCMAI khuyên học sinh học theo ba mốc thời gian với 4 bước quan trọng. 4 bước quan trọng khi bắt tay ôn luyện Toán 9 Theo thầy Lưu Huy Thưởng, giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI, học sinh có thể ôn luyện theo 4 bước sau: Đầu tiên, các em nên có lộ trình học tập đúng đắn. Khi có được điều này, học sinh có thể kiểm soát mục tiêu, đánh giá quá trình và kết quả học tập, từ đó, điều chỉnh phương pháp phù hợp. Thứ hai, các em nên bắt tay ngay vào việc học và nắm vững lý thuyết cơ bản trong chương trình học lớp 9. Nội dung chương trình Toán lớp 9 bao gồm hai phần: Đại số và Hình học và chia thành 8 chủ đề. Trong đó, phần Đại số có các chủ đề: Căn bậc hai, Căn bậc ba; Hàm số bậc nhất; Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; Hàm số y=a.x bình phương (a khác 0) với phương trình bậc hai một ẩn. Về Hình học, chương trình có các chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông; Đường tròn; Góc với đường tròn và chủ đề về Hình học không gian (bao gồm Hình trụ, hình nón, hình cầu).

Trang 1

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề 2 LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP

KHAI PHƯƠNG

A Kiến thức cần nhớ

1 Với A0,B0 thì: A B  A B và ngược lại A B  A B

Đặc biệt, khi A0, ta có:  2

2

A  A  A

2 Với A0,B0 thì A A

B  B và ngược lại A A

B

B 

3 Bổ sung

 Với A A1, 2, ,A n 0 thì: A1 A2 A n  A A A1 .2 n

 Với a0;b0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a 0 hoặc b0)

 Với a b 0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a b hoặc b0)

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) 8 15 8 15 ;

6 11 6 11

Giải

a) 8 15 8 15  64 15  49 7

6 11 6 11  6 11 2 6  11 6 11  6 11

12 2 36 11 22

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P 2 2 2 4 8 2 2 2 .

Giải

và a b nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính

Trình bày lời giải

2 2 2 4 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2

Trang 2

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A 10 2 21  3.

Giải

2

x xy y  x y

Ta cần biến đổi:  2

2

a b  x y , do vậy ta xác định x và y thông qua

;

x y a xy b   Chẳng hạn: x y 10; x y21   x y;  3;7

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B 4 7  8 3 5  2

Giải

Ta cần biến đổi bài toán về dạng a2 b và giải theo cách trên

Ta có: B 2  8 2 7  16 6 7 2 

B        B

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A 2 3 4 2 3  21 12 3

Giải Tìm cách giải Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số

căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng a2 b sau đó dùng hằng đẳng thức 2

A  A và giải như các ví dụ trên

Ta có A 2 3 4 2 3  21 12 3

Trang 3

2 3 2 3 4

Suy ra A2

Ví dụ 6: Rút gọn: C  2 2 5 2  2 2 5 2

Giải Tìm cách giải

Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng  2

2

a b  x y

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y  x y ta thường tính 2

C sau đó nhận

xét dấu của C, từ đó tìm được C.

2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2

2

4 2 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5 1

2 6 2 5 5 1

C     Vì C0 nên C 1 5

Ví dụ 7: Cho x y, thỏa mãn x 1 x2  y 1 y2 Chứng minh rằng: x y.

Giải Tìm cách giải Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau Phân tích từ kết luận để có

x y, chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử x y 

Dễ thấy 2 2

x y có chứa nhân tử x y , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử x y 

chúng ta vận dụng  a b a b a b từ đó suy ra: a b a b



 Lưu ý rằng mẫu số khác 0 Từ đó chúng ra có lời giải sau:

Từ đề bài ta có điều kiện: x1; y1

- Trường hợp 1: Xét x1;y  1 x y.

- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1 Ta có:

x y  x  y 

x y x y

  

  

x y x y

  

Trang 4

Vì 1 0 0

Ví dụ 8: Cho 1 2

2

a  Tính giá trị biểu thức 8

16a 51a

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012)

Giải

2

a  vào biểu thức thì khai triển dài dòng,

dễ dẫn đến sai lầm Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a a2; 4 và a8 bằng hằng đẳng thức Bài toán sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm

2

2a 1 22a  1 24a 4a 1 2

4a 1 4a 1 2 1 2 3 2 2 16a 9 12 2 8 17 12 2

256 289 408 2 288 577 408 2 16

16

Xét 8 577 408 2 51 1 2

16 51

577 408 2 408 408 2 169

16 51

16 4

Ví dụ 9: Tính giá trị S 17 17

a b

Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ

phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính

tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.

Từ đề bài suy ra: a b  6; ab1

Ta có: 2 2  2

a b  a b  ab ;

a   b a b  ab a b   

Xét a2b2 a3b3 a5 a b2 3a b3 2 b5 a5 b5 a b a b2 2  

4.3 6a  b 1 6

Trang 5

Từ đó tính được: a5 b5 11 6

Xét a2b2 a5b5 a7a b2 5a b5 2b7 a7 b7 a b a2 2 3b3

Suy ra: 4.11 6 a7 b7 1.3 6a7b7 41 6

1 1

41 6

a b

Ví dụ 10: Cho b0; a b Chứng minh đẳng thức:

Giải

Ta có B0

4

Vì B0 nên B a b

Vế phải bằng vế trái Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 11: Cho các số thực x y; thỏa mãn: x x22y 1 y22y 3 2 Chứng minh rằng: x3y33xy1

Giải

Đặt y 1 z từ giả thiết ta có: x x22z z22 2 * 

Nhân hai vế với x2  2 x ta được

x2 2 x2 z z22 2 x2  2 x

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với z2 2 z ta được

x x22 z2 2 z2 2 z2 2 z

x x2 2 2 2  z2 2 z

Trang 6

 

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:

x z        x y x y

Xét x3y33xy x y x  2 xy y23xy x 2 xy y23xy

Vậy x3y33xy1 Điều phải chứng minh

C Bài tập vận dụng

2.1 Tính:  2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:   2    2

2.2 Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

a) A 3 5 3  5 10 2;

b) B 2 3 1   2 3

a) Ta có A 3 5 3  5 2  5 1  6 2 5.  5 1 3    5

5 1 5 1 3 5 5 1 5 1 3 5

5 2 5 1 3  5 2 3 5 3  5 2 9 5  8

Vậy A là số tự nhiên.

3 1 4 2 3 3 1 3 1

 3 1 3 1   3 1 2

B

Vậy B là số tự nhiên.

2.3 Rút gọn biểu thức:

a) 3 10 20 3 6 12

5 3

Trang 7

a) Ta có: 10 3 2 6 3 2 3 2 10 6

3 2 2  5 3

3 2 2

5 3

b) Ta có 2 3 2 2 6 8  2 3 4 1 2

1 2

2.4 Rút gọn các biểu thức:

a) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2

2

3

a) 1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6

2

2 2

2

C 

b) 3 3 2 2  6 3 2 2 2 1 6

1

2.5 Cho x 3 2 Tính giá trị B x 5 3x43x36x220x2018

(Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013)

Từ x  2 3, bình phương hai vế ta được:

 

2 4 4 3 2 4 1 0 *

x  x  x  x 

Ta có B x x 3 24x 1 x x2 24x 1 5 x24x 1 2013

Kết hợp với (*) ta có: B2013

2.6 Tính giá trị biểu thức A x 22002x2003 với

Trang 8

   

27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2

13 3 13 3 : 13 2



(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003)

27 10 2  5 2  5 2

27 10 2  5 2  5 2

Tử số là:   2    2 

5 2 5 2  5 2 5 2

5 2 23 5 2 23 46 2

Xét a 13 3  13 3;  a0

2 13 3 13 3 2 13 3 13 3

a

2 2 13 4 2 13 2

Do đó

2 13 2 : 13 2

Vậy giá trị biểu thức A4622002.46 2003 92205 

2.7 So sánh:

a) 6 20 1và  6 ;

b) 17 12 2 và 2 1  ;

c) 28 16 3 và 3 2 

5 2 5 1   5 1  5 1  6 1 Vậy 6 20  1 6 .

17 12 2 = 9 12 2 8 =  3 2 2

= 3 2 2 = 2 2 2 1=   2 1  2 1

16 16 3 12 =  4 2 3 = 4 2 3 

Trang 9

 2

= 3 2 3 1=  3 1 = 3 1   3 2

Vậy 28 16 3  3 2 .

2.8 a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a b  b  a

Chứng minh rằng 2 2

1

a b  b) Chứng minh rằng số 2 2 2 2

2009 2009 2010 2010 là số nguyên dương

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011)

a) Ta có a 1a2  b 1b2

Bình phương hai vế không âm, ta được:

a  a a  a  b b b   b a a b b

Bình phương hai vế không âm, ta được:

a a b b a   b a b 

 2 2  2 2 

1 0

Do a, b là hai số dương khác nhau nên 2 2

0

a  b

a b

    hay a2b2 1 Điều phải chứng minh

b) Đặt a2009, ta có:

a a a  a  a  a a   a a

1 2009 2009 1

a a

      là số nguyên dương

2.9 Cho b0; a b Chứng minh đẳng thức:

2

a b  a b  a a b

Đặt A a b  a b ta có A0

Xét A2  a b2 a b a  b  a b

Vì A0 nên  2 

2

A a a b Suy ra điều phải chứng minh

Trang 10

2.10 Cho x1 3 5 và x2  3 5 Hãy tính: 2 2 3 3 5 5

1 ; 2 1 2; 1 2; 1 2

A x x B x  x C x x D x x

Ta có: A x x 1. 2  3 5 3 5  9 5 2 

Ta có: 2 2

B x x     

C  x x x x x x     

C 6 2 5 6 2 5 2 2

 5 1 5 1 2 2 4 10

C

Xét  2 2  3 3 5 2 3 3 3 5

x x x x  x x x x x x

6.4 10 x x x x x x

24 10 x x 4 3 5 3 5

24 10 x x 6 2 5 6 2 5 2 2

24 10 x x 5 1 5 1 2 2

1 2 20 10

D x x

2.11 Rút gọn biểu thức: 7 5 7 5 3 2 2

7 2 11

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán, TP Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011)

Xét B 7 5 7 5

B

2 14 2 49 5 14 4 11

B

Mà B0 nên B 14 4 11

Từ đó suy ra: 14 4 11  2  

7 2 11

2.12 Cho x y, là các số thực thỏa mãn: x 1 y y  y 1 x x

Tìm giá trị nhỏ nhất của Sx23xy2y28y12

Trang 11

Tập xác định x1;y1

 Trường hợp 1: Xét x y 1 suy ra:

 

1 3.1.1 2.1 8.1 12 6 1

 Trường hợp 2: Xét ít nhất x1 hoặc y1 Ta có:

x x y y  x  y 

  

  

x xy y



   Suy ra x y   0 x y

Ta có: S x23x22x2 8x 12

2

Dấu bằng xảy ra khi x2

Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x2 2  .

Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x2

2.13 Rút gọn các biểu thức sau:

4 5 3 5 48 10 7 4 3

 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128

a) Ta có: P 4 5 3 5 48 10 4 4 3 3   

4 5 3 5 48 10 2 3

Trang 12

4 5 3 5 28 10 3

4 5 3 5 25 10 3 3

4 5 3 5 5 3

4 5 3 25 5 3 4 25 9 3

b) Q 3 1 6 2 2 3    2 12 16 8 2 2 

3 1 6 2 2 3 2 12 4 2

 3 1 6 2 2 3 2 2 3 4 2

 3 1 6 2 2 3 3 2 3 1

 3 1 6 2 2 3 3 1  3 1 6 2 2 2 3

 3 1 6 2 4 2 3  3 1 6 2  3 1

 3 1 4 2 3  3 1 3 1 2

a) 6 2 5 13 48

3 1





b) 2 3 3 13 48

6 2





a) Ta có: 6 2 5 12 4 3 1

3 1





6 2 5 2 3 1 6 2 5 2 3 1

Trang 13

 2

6 2 3 1

6 2 3 2 3 1

6 2 3 1 3 2 3 1

1

2 3 3 2 3 1

2 3 3 13 4 3

T

2

2 2 3 4 2 3 3 1

1

3 1

2.15 Rút gọn biểu thức: 2 10 30 2 2 6 : 2

10 2 3 2 2 3 3 1

2

2 10 2





10 2 2 3 3 1

2

2 10 2





2 3 3 1 4 2 3 3 1

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1

2.16 Biết x 2 2 3  6 3 2  3 .

Tính giá trị biểu thức: S x416x2

2 2 3 6 3 2 3 2 2 2 3 6 3 2 3

Trang 14

 

2 8 2 2 3 2 3 4 2 3

x

2 8 2 2 3 2 6 3 3

x

2

8 x 2 2 3 6 3 3

Bình phương hai vế ta được:

64 16 x x 4 2  3 6 3 3 2 2    3 6 3 3 

64 16x x 32

2019 2019 2020 2019 2019 2020 2020

Tính giá trị của A x y 

Đặt x2019a y; 2019b

Đẳng thức đã cho có dạng:  2   2   

2020 2020 2020 *

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với 2

2020

a  a, ta được:

a  a b b   a  a

 

2020 2020 1

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với 2

2020

b  b, ta được:

 

2020 2020 2

Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:

0 2019 2019 0

a b   x  y 

Vậy A x y  4038

: 2 1

3

A

x



Ta có:        

: 2 3

A

x





Điều kiện xác định   3 x 3,

Trang 15

 

: 2 3

A

x





3

A

x x



2.19 Cho biểu thức Pa20138a201211a2011  b20138b201211b2011

Tính giá trị biểu thức của P với a 4 5 và b 4 5

(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)

Xét a 4 5 bình phương hai vế ta được:

a    a a   a

Xét b  4 5 bình phương hai vế ta được:

b       b b b

P a a  a b b  b

0

P

 

2.20 Cho 3 3; 0

2 x 2 x

    và 3 2 x 3 2 x a

Tính giá trị của biểu thức P 6 2 9 4x2

x

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014)

Ta có: 3 2x 2 3 2 x 3 2x 3 2x

P

x



3 2x 3 2x 3 2x 3 2x

P

a

2.21 Tính giá trị của biểu thức: A2x33x24x2

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015)

Trang 16

Đặt 2 5 5 2 5 5, 0

2

3 5

a

6 2 5 6 2 5

5 1 5 1

1 2 1

x    x  x   x  x 

Ta có: A2x33x24x2

A x x  x  x  x  

2.22 Đố Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6  4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên

Đặt số đó là ab Theo đầu bài, ta có:

ab a  bab a  a b b

2

10a a 2a b a 2 b 10

 a chẵn Đặt a2K K ¥ 2K2 b10 K b5

Do b9 nên b0;1; 4;9.

 Nếu b    0 K 5 a 10 (loại)

 Nếu b     1 K 4 a 8 Số đó là 81

 Nếu b     4 K 3 a 6 Số đó là 64 (đã cho)

 Nếu b     9 K 2 a 4 Số đó là 49

Tiêu đề	Chuyên đề 2 Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương, ôn thi toán lớp 9 và tuyển sinh lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,13 MB
File đính kèm	Chuyên đề 2 Liên hệ phép nhân.rar (379 KB)