BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Chủ đề 18 Giảng viên hướng dẫn Trần Ngọc Diễm Nhóm GT2 L27 18 Tp HCM, ngày 18/4/2022 CÂU HỎI Đ[.]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
GIẢI TÍCH 2
Chủ đề 18
Giảng viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT2_L27_18
Tp.HCM, ngày 18/4/2022
Trang 2CÂU HỎI ĐỀ TÀI
Thực hiện một video dài 15 phút giới thiệu về ý nghĩa (hình học, thực tế) và các ứng dụng của đạo hàm riêng trong thực tế
Yêu cầu: có hình ảnh minh họa ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng, được vẽ bằng phần mềm hoặc ứng dụng tùy ý, trình bày tối thiểu 5 ứng dụng của đạo hàm riêng
Trang 3MỤC LỤC
CÂU HỎI ĐỀ TÀI 1
TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO 3
LỜI CẢM ƠN 4
I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU: 5
1 Đối tượng nghiên cứu: 5
2 Công cụ hỗ trợ cho quá trình nghiên cứu: 5
II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG: 5
III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG: 8
1 Ý nghĩa hình học: 8
2 Ý nghĩa thực tế: 9
IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ: 9
1 Ứng dụng trong sản xuất: 9
2 Ứng dụng trong tính toán để tối đa hóa lợi nhuận: 10
3 Ứng dụng để tính vector gradient: 11
4 Ứng dụng trong vật lý (dùng phương trình lagrange trong bài toán con lắc lò xo): 11
5 Ứng dụng để tính toán một số đặc điểm thường ngày trong đời sống: 12
Trang 4TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO
Bài báo cáo do nhóm 18 thực hiện sẽ trình bày quá trình nghiên cứu, tìm tòi
và tra cứu thông tin nhằm thực hiện tốt cho đề tài được giao đồng thời tiếp thu được thêm nhiều thông tin và kiến thức bổ ích mới
Cụ thể, báo cáo sẽ khái quát sơ lược về đạo hàm riêng đồng thời giới thiệu về
ý nghĩa hình học và thực tế của đạo hàm riêng Từ đó dẫn dắt kiến thức về đạo hàm riêng nhằm ứng dụng vào thực tế với nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm phục vụ cho đời sống
Trang 5LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện Bài tập lớn môn Giải tích 2 nói trên, nhóm đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ tận tình của thầy cô, anh chị
em và bạn bè
Ngoài ra, nhóm cũng xin gửi lời tri ân chân thành nhất đến cô Trần Ngọc Diễm là giảng viên hướng dẫn cho đề tài bài tập lớn lần này Nhờ có cô hết lòng chỉ bảo mà nhóm đã hoàn thành Bài tập lớn môn Giải tích 2 đúng tiến độ một cách tốt nhất và giải quyết được những vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn của cô chính là kim chỉ nam dẫn lối cho nhóm và phát huy tối đa được tối đa mối quan hệ hỗ trợ giữa cô và trò trong môi trường giáo dục
Lời cuối, một lần nữa xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô
đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn
để nhóm có thể đạt được kết quả như ngày hôm nay
Trang 6I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ QUÁ TRÌNH
NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU:
1 Đối tượng nghiên cứu :
Đạo hàm riêng
2 Công cụ hỗ trợ cho quá trình nghiên cứu:
- Tài liệu, sách báo, phần mềm Geogebra
II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG:
biến khác được xem như là hằng số (khác với đạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều biến thiên) Đạo hàm riêng được sử dụng trong giải tích vector và hình học
vi phân
- Đạo hàm riêng của f đối với biến x được ký hiệu khác nhau bởi:
Trang 7- Ký hiệu của đạo hàm riêng là Ký hiệu này được giới thiệu bởi nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre và được chấp nhận rộng rãi sau khi nó được giới thiệu lại bởi nhà toán học người Đức Carl Gustav Jacob Jacobi
Hình 1 Nhà toán học người Pháp
Adrien-Marie Legendre
Hình 2 Nhà toán học người Đức Carl Gustav Jacob Jacobi
- Ví dụ sau sẽ giúp giải thích định nghĩa của đạo hàm riêng theo biến y Giả sử một hàm theo hai biến x,y được xem như là một họ các hàm theo y được đánh số theo x
- Nói một cách khác, mỗi giá trị của x định nghĩa một hàm số, ký hiệu là, mà nó
là hàm số một biến Nghĩa là:
- Một khi giá trị của x được chọn, ví dụ là a, thì ( , ) xác định một hàm số ,
()= 2 + + 2
- Trong công thức này, a là hằng số, không phải là biến số, do đó , là một hàm số một biến và do vậy ta có thể sử dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm một biến:
6
Trang 8′( )= +2
- Quy trình trên có thể được áp dụng cho bất cứ lựa chọn nào của a Khi đem gộp lại tất
cả những đạo hàm đó ta có được sự biến thiên của hàm số f theo hướng của y:
- Đây là đạo hàm riêng của f theo biến số y Ổ đây ∂ được gọi là ký hiệu đạo hàm riêng Một cách tổng quát,
đạo hàm riêng của một hàm số ( 1, , ) theo hướng xi tại điểm ( 1 , , ) được định nghĩa là:
( 1 ,…, + ℎ,…, )− ( 1 ,…, ,…, )
( 1 , … , ) = lim
ℎ ℎ→0
- Trong tỷ số bên trên, tất cả các biến ngoại trừ x i được giữ cố định Do vậy ta chỉ có hàm số theo một biến:
( 1 , … , −1 , +1 , … , ( ) = ( 1 , … , −1 , , +1 , … , ) và do định nghĩa
đạo
hàm riêng đối với mỗi biến Tại điểm a, những đạo hàm riêng này định ra
vector:
- Vector này được gọi là gradientcủa f tại a Nếu f khả vi tại mọi điểm trong một miền nào đó, thì gradient là hàm số có trị là vectơ ∇f đưa điểm a đến vectơ ( ).
Do đó gradient là một trường vectơ
7
Trang 9III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG:
1 Ý nghĩa hình học:
- Đồ thị của hàm = ( , ) là mặt cong S Cho ( 0 , 0 , ( 0 , 0 )) nằm trên mặt cong S Khi cố định = 0 ta thấy mặt phẳng = 0 sẽ cắt mặt cong S theo giao tuyến C 1 Khi cố định = 0 ta thấy mặt phẳng = 0 sẽ cắt mặt cong S theo giao tuyến C 2 Cả hai đường cong C 1 và C 2 đều đi qua điểm P.
- Như vậy, đường cong C 1 chính là đồ thị của hàm số ( ) = ( , 0 ) trên mặt
- Tóm lại, ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm ( , ) tại điểm ( 0 , 0 ) là:
+ ’ ( 0 , 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 (trong đó C1 là
giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng y = y0)
+ ’ ( 0 , 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến T 2 với đường cong C 2 (trong đó C 2 là
giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng x = x0)
Ví dụ: Cho hàm số = ( , ) = 2 2 + 2
8
Trang 10+ ’ (1,1) là hệ số góc của tiếp tuyến T 1 với đường cong C 1 Trong đó, C 1 là giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng = 1.
2 Ý nghĩa thực tế:
Giải Cho= 4 ta được ( ) = ( , 4) =4 + 20 2 + 16 => ’( ) = 4 3 + 40 => ’(3) = 4.33 + 40.3 = 228.
Ta thấy ’ (3,4) mô tả tốc độ thay đổi tức thời của giá trị hàm ( , ) theo phương của đường thẳng = 4.
IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ:
1 Ứng dụng trong sản xuất:
Trong kinh tế, sự phân tích cận biên có liên quan đến việc sử dụng đạo hàm riêng để ước tính sự thay đổi giá trị của một hàm mà kết quả thu được khi tăng 1 đơn vị của
9
Trang 11một biến của nó Ta đã biết sự phân tích cận biên bao gồm các đạo hàm cấp một của hàm một biến
- Đây là một minh họa về cách sử dụng các đạo hàm riêng trong một mô hình tương tự
- Người ta ước tính rằng đầu ra hằng tuần của một nhà máy nào đó được cho bởi hàm ( , ) = 200 + 10 + 20 + đơn vị, trong đó x là số công nhân lao động lành nghề và y là số công nhân lao động không lành nghề làm việc tại nhà máy Hiện tại lượng lao động gồm 30 công nhân lao động lành nghề và 60 công nhân lao động không lành nghề Sử dụng phân tích cận biên để ước tính sự thay đổi trong đầu ra hằng tuần mà kết quả từ việc thêm 1 công nhân lành nghề nếu số công nhân lao động không lành nghề không thay đổi
Giải: Đạo hàm riêng:
( , ) = 10 +
Là tốc độ thay đổi của đầu ra tương ứng với số công nhân lao động lành nghề Với bất kì giá trị của x và y, đây là một sự xấp xỉ số đơn vị thêm vào mà sẽ đưựoc sản xuất mỗi tuần nếu số công nhân lao động lành nghề tăng từ x đến x + 1 trong khi số công nhân lao động không lành nghề vẫn giũ không đổi tại y Trong thực tế, nếu lượng lao động tăng từ 30 công nhân lành nghề và 60 không lành nghề đến 31 công nhân lành nghề và 60 không lành nghề, kết quả thay đổi trong đầu ra xấp xỉ
(30,60) = 10 + 60 = 70 đơn vị Thực tế, tính chính xác sự thay đổi là (31, 60) − (30, 60)
2 Ứng dụng trong tính toán để tối đa hóa lợi nhuận:
- Giả sử rằng đầu ra của một công ty phụ thuộc vào lao động ( ) và tiền vốn ( ) Nếu hàm sản lượng ( , ) thì đạo hàm riêng của Y theo biến L cho ta biết được giá trị cận biên của lao động Giá trị cận biên của lao động là số lượng đầu ra tăng
lên khi sử dụng thêm 1 lao động và vẫn giữ vốn đầu vào, ta được = Tương tự cho vốn đầu vào: =
Ví dụ:
Cho hàm cụ thể Y(K, L) = 5K 1⁄ 3 L 2⁄ 3
10
Trang 12Giá trị cận biên của lao động là: MPL =σYσL =103 K1⁄3 L−1⁄3 khi K = 64, L = 125 ⟹ MPL =8 Điều này có nghĩa là khi lượng lao động là 125 đơn vị lao động, tiền vốn là 64 nghìn đô thì sản lượng đầu ra sẽ tăng8 sản phẩm khi lao động tăng 1 đơn vị Vậy điều gì sẽ xảy ra với giá trị cận biên của lao động khi vốn đầu vào tăng
Đạo hàm MPL theo biến K:
σ Y
=
10
K −
L > 0 Vì thế khi vốn đầu vào tăng,
σKσL 9
lao động tăng thêm sẽ làm việc hiệu quả hơn
3 Ứng dụng để tính vector gradient:
tốc không
đổi Đi theo hướng nào vận động viên leo lên được núi nhanh nhất?
Giải Cho ( ) = là đường đẳng trị của hàm số = ( , ) Đặt ( , ) =
( , ) − = 0 Ta có ∇F(x 0 , y 0 ) = (F ′
x (x 0 , y 0 ), F ′
y (x 0 , y 0 )) = (f ′
x (x 0 , y 0 ), f ′
y (x 0 , y 0 )) = ∇f(x 0 , y 0 ) Do đó theo công thức của pháp vecto với
đường cong ( , ) = 0 tại điểm P(x 0 , y 0 ), ta được ( 0 , 0 ) sẽ vuông góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị ( , ) = tại điểm P.
Vậy để vận động viên chạy lên núi nhanh nhất thì phải đi theo hướng vecto gadient ∇ , có nghĩa là hướng vuông góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị ( , ) = tại điểm P(x 0 , y 0 ).
4 Ứng dụng trong vật lý (dùng phương trình lagrange trong bài toán con lắc lò xo):
11
Trang 13Về mặt năng lượng:
- Theo biến li độ x: ∂L
∂x = −kx = F
Theo định luật 2 Newton F = ma ⟺ F − ma = 0 ⟹ ( ∂L
∂v ) − ∂L
∂x = 0
Trong nhiều trường hợp năng lượng cho bởi một hàm số thì dùng công thức này tính sẽ dễ dàng hơn rất nhiều
5 Ứng dụng để tính toán một số đặc điểm thường ngày trong đời sống:
bạn bạn kiếm được ( ) và số thời gian bạn có được ở bên gia đình (ℎ), ta có thể viết là = ( , ℎ).
- Nhưng số tiền bạn kiếm được sẽ ít đi khi bạn dành nhiều thời gian cho gia đình nên biến m sẽ phụ thuộc vào ℎ.
- Ta có thể viết lại là = ( (ℎ), ℎ) Vấn đề đặt ra là chúng ta muốn biết số giờ chúng ta phải bỏ ra bên gia đình để chúng ta cảm thấy hạnh phúc nhất
Giải Đạo hàm riêng theo h: ℎ = ℎ + ℎ = 0 từ đó ta thấy được với số thời
gian ta dành cho gia đình ta sẽ cảm thấy hạnh phúc nhất
12
Trang 14TÀI LIỆU THAM KHẢO
https://kkhtn.duytan.edu.vn/Home/ArticleDetail/vn/92/2193/ung-dung-cua-dao-ham-rieng
Giải tích Chương 4 P2 - Hàm nhiều biến: Cận biên - Co giãn riêng - Tối ưu Lợi tức
& Chi phí
https://vted.vn/tin-tuc/ung-dung-cua-dao-ham-trong-phan-tich-kinh-
4919.html
https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m_ri%C3%AAng#:~:text=Trong%2 0to%C3%A1n%20h%E1%BB%8Dc%2C%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m,v%C3%A0%20h
%C3%ACnh%20h%E1%BB%8Dc%20vi%20ph%C3%A2n.&text=K%C3%BD%20hi%E1%BB%87u%20c
%E1%BB%A7a%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m%20ri%C3%AAng%20l%C3%A0%20%E2
%88%82
Trang 15Giáo trình Giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt
https://phohen.com/post-detail/dao-ham-rieng wikipedia-tieng-viet/246311200