Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 chủ đề 18 hực hiện một video dài 15 phút giới thiệu về ý nghĩa (hình học, thực tế) và các ứng dụng của đạo hàm riêng trong thực tế

CÂU HỎI ĐỀ TÀI Thực hiện một video dài 15 phút giới thiệu về ý nghĩa hình học, thực tế và các ứng dụng của đạo hàm riêng trong thực tế.. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG: - Trong toá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI

TÍCH 2

Chủ đề 18

Giảng viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT2_L27_18

Tp.HCM, ngày 18/4/2022

CÂU HỎI ĐỀ TÀI

Thực hiện một video dài 15 phút giới thiệu về ý nghĩa (hình học, thực tế) và các ứng dụng của đạo hàm riêng trong thực tế

Yêu cầu: có hình ảnh minh họa ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng, được vẽ bằng phần mềm hoặc ứng dụng tùy ý, trình bày tối thiểu 5 ứng dụng của đạo hàm riêng

MỤC LỤC

CÂU HỎI ĐỀ TÀI 1

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO 3

LỜI CẢM ƠN 4

I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU: 5

1 Đối tượng nghiên cứu: 5

2 Công cụ hỗ trợ cho quá trình nghiên cứu: 5

II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG: 5

III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG: 8

1 Ý nghĩa hình học: 8

2 Ý nghĩa thực tế: 9

IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ: 9

1 Ứng dụng trong sản xuất: 9

2 Ứng dụng trong tính toán để tối đa hóa lợi nhuận: 10

3 Ứng dụng để tính vector gradient: 11

4 Ứng dụng trong vật lý (dùng phương trình lagrange trong bài toán con lắc lò xo): 11

5 Ứng dụng để tính toán một số đặc điểm thường ngày trong đời sống: 12

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

Bài báo cáo do nhóm 18 thực hiện sẽ trình bày quá trình nghiên cứu, tìm tòi và tra cứu thông tin nhằm thực hiện tốt cho đề tài được giao đồng thời tiếp thu được thêm nhiều thông tin và kiến thức bổ ích mới

Cụ thể, báo cáo sẽ khái quát sơ lược về đạo hàm riêng đồng thời giới thiệu về

ý nghĩa hình học và thực tế của đạo hàm riêng Từ đó dẫn dắt kiến thức về đạo hàm riêng nhằm ứng dụng vào thực tế với nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm phục vụ cho đời sống

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện Bài tập lớn môn Giải tích 2 nói trên, nhóm đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ tận tình của thầy cô, anh chị

em và bạn bè

Ngoài ra, nhóm cũng xin gửi lời tri ân chân thành nhất đến cô Trần Ngọc Diễm

là giảng viên hướng dẫn cho đề tài bài tập lớn lần này Nhờ có cô hết lòng chỉ bảo mà nhóm đã hoàn thành Bài tập lớn môn Giải tích 2 đúng tiến độ một cách tốt nhất và giải quyết được những vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn của cô chính là kim chỉ nam dẫn lối cho nhóm và phát huy tối đa được tối đa mối quan hệ hỗ trợ giữa cô và trò trong môi trường giáo dục

Lời cuối, một lần nữa xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô

đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn

để nhóm có thể đạt được kết quả như ngày hôm nay

I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ QUÁ TRÌNH

NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU:

1 Đối tượng nghiên cứu :

2 Công cụ hỗ trợ cho quá trình nghiên cứu:

- Tài liệu, sách báo, phần mềm Geogebra

II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG:

- Trong toán học, đạo hàm riêng của một hàm số đa biến là đạo hàm theo một biến,

các biến khác được xem như là hằng số (khác với đạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều biến thiên) Đạo hàm riêng được sử dụng trong giải tích vector và hình học

vi phân

- Đạo hàm riêng của f đối với biến x được ký hiệu khác nhau bởi:

Đạo hàm riêng

Ý nghĩa hình học

Ý nghĩa thực tế

Ứng dụng

- Ký hiệu của đạo hàm riêng là 𝜕 Ký hiệu này được giới thiệu bởi nhà toán học

người Pháp Adrien-Marie Legendre và được chấp nhận rộng rãi sau khi nó được

giới thiệu lại bởi nhà toán học người Đức Carl Gustav Jacob Jacobi

Hình 1 Nhà toán học người Pháp

Adrien-Marie Legendre

Hình 2 Nhà toán học người Đức Carl

Gustav Jacob Jacobi

- Ví dụ sau sẽ giúp giải thích định nghĩa của đạo hàm riêng theo biến y Giả sử một hàm theo hai biến x,y được xem như là một họ các hàm theo y được đánh số theo x

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑦) = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2

- Nói một cách khác, mỗi giá trị của x định nghĩa một hàm số, ký hiệu là 𝑓𝑥 , mà nó

là hàm số một biến Nghĩa là:

𝑓𝑥(𝑦) = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2

- Một khi giá trị của x được chọn, ví dụ là a, thì 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định một hàm số 𝑓𝑎,

𝑓𝑎(𝑦) = 𝑎2+ 𝑎𝑦 + 𝑦2

- Trong công thức này, a là hằng số, không phải là biến số, do đó 𝑓𝑎, là một hàm số một biến và do vậy ta có thể sử dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm một biến:

𝑓𝑎′(𝑦) = 𝑎 + 2𝑦

- Quy trình trên có thể được áp dụng cho bất cứ lựa chọn nào của a Khi đem gộp lại tất cả những đạo hàm đó ta có được sự biến thiên của hàm số f theo hướng của y:

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦

- Đây là đạo hàm riêng của f theo biến số y Ổ đây ∂ được gọi là ký hiệu đạo hàm

riêng Một cách tổng quát, đạo hàm riêng của một hàm số 𝑓(𝑥1, , 𝑥𝑛) theo hướng xi tại điểm (𝑎1, , 𝑎𝑛) được định nghĩa là:

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑎1, … , 𝑎𝑛) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖+ ℎ, … , 𝑎𝑛) − 𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖, … , 𝑎𝑛)

ℎ

- Trong tỷ số bên trên, tất cả các biến ngoại trừ x i được giữ cố định Do vậy ta chỉ có hàm số theo một biến:

𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖+1, … , 𝑎𝑛(𝑥𝑖) = 𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖−1, 𝑥𝑖, 𝑎𝑖+1, … , 𝑎𝑛) và do định nghĩa

𝑑𝑓𝑎1,…,𝑎𝑖−1,𝑎𝑖+1,…,𝑎𝑛

𝑑𝑥𝑖 (𝑥𝑖) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖(𝑎1, … , 𝑎𝑛)

- Một ví dụ quan trọng của đạo hàm riêng: Cho một hàm số 𝑓(𝑥1, 𝑥𝑛) định nghĩa trên một miền của 𝑅𝑛 (ví dụ, trên 𝑹𝟐 hay là 𝑹𝟑) Trong trường hợp này 𝑓 có các đạo hàm riêng 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑗 đối với mỗi biến 𝑥𝑗 Tại điểm a, những đạo hàm riêng này định ra vector:

- Vector này được gọi là gradient của f tại a Nếu f khả vi tại mọi điểm trong một

miền nào đó, thì gradient là hàm số có trị là vectơ ∇f đưa điểm a đến vectơ 𝛻𝑓(𝑎)

Do đó gradient là một trường vectơ

III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG:

1 Ý nghĩa hình học:

- Đồ thị của hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) là mặt cong S Cho 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)) nằm trên mặt cong S Khi cố định 𝑦 = 𝑦0 ta thấy mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0 sẽ cắt mặt cong S theo giao tuyến C1 Khi cố định 𝑥 = 𝑥0 ta thấy mặt phẳng 𝑥 = 𝑥0 sẽ cắt mặt cong S theo giao tuyến C2 Cả hai đường cong C1 và C2 đều đi qua điểm P

- Như vậy, đường cong C1 chính là đồ thị của hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0) trên mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0, do đó tiếp tuyến 𝑇1 của nó tại P sẽ có hệ số góc là 𝑔’(𝑥0) =

𝑓’𝑥(𝑥0, 𝑦0) Đường cong C2 chính là đồ thị của hàm số ℎ(𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦) trên mặt phẳng 𝑥 = 𝑥0, do đó tiếp tuyến 𝑇2 của nó tại P sẽ có hệ số góc là ℎ’(𝑦0) =

𝑓’𝑦(𝑥0, 𝑦0)

- Tóm lại, ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) là: + 𝑓’𝑥(𝑥0, 𝑦0) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 (trong đó C1 là giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng y = y0)

+ 𝑓’𝑦(𝑥0, 𝑦0) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 (trong đó C2 là giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng x = x0)

Ví dụ: Cho hàm số 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 𝑦2

+ 𝑓’𝑥(1,1) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 Trong đó, C1 là giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng 𝑦 = 1

+ 𝑓’𝑥(1,1) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 Trong đó, C2 là giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng 𝑥 = 1

2 Ý nghĩa thực tế:

- Xét đạo hàm riêng theo biến 𝑥, nó là tốc độ thay đổi tức thời của giá trị hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) theo phương của đường thẳng 𝑦 = 𝑦0

Ví dụ: Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 5𝑥2𝑦 + 𝑦2 Tính f’x(3,4)

Giải Cho 𝑦 = 4 ta được 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 4) = 𝑥4 + 20𝑥2+ 16 => 𝑔’(𝑥) = 4𝑥3 + 40𝑥 => 𝑔’(3) = 4.33 + 40.3 = 228

Ta thấy 𝑓’𝑥(3,4) mô tả tốc độ thay đổi tức thời của giá trị hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) theo phương của đường thẳng 𝑦 = 4

IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ:

1 Ứng dụng trong sản xuất:

- Đạo hàm riêng theo biến nào thì nó cũng như hàm cận biên trong hàm một biến Trong kinh tế, sự phân tích cận biên có liên quan đến việc sử dụng đạo hàm riêng để ước tính sự thay đổi giá trị của một hàm mà kết quả thu được khi tăng 1 đơn vị của

một biến của nó Ta đã biết sự phân tích cận biên bao gồm các đạo hàm cấp một của hàm một biến

- Đây là một minh họa về cách sử dụng các đạo hàm riêng trong một mô hình tương

tự

- Người ta ước tính rằng đầu ra hằng tuần của một nhà máy nào đó được cho bởi hàm 𝑄(𝑥, 𝑦) = 200 + 10𝑥 + 20𝑦 + 𝑥𝑦 đơn vị, trong đó x là số công nhân lao động lành nghề và y là số công nhân lao động không lành nghề làm việc tại nhà máy Hiện tại lượng lao động gồm 30 công nhân lao động lành nghề và 60 công nhân lao động không lành nghề Sử dụng phân tích cận biên để ước tính sự thay đổi trong đầu ra hằng tuần mà kết quả từ việc thêm 1 công nhân lành nghề nếu số công nhân lao động không lành nghề không thay đổi

Giải: Đạo hàm riêng:

𝑄𝑥(𝑥, 𝑦) = 10 + 𝑦

Là tốc độ thay đổi của đầu ra tương ứng với số công nhân lao động lành nghề Với bất kì giá trị của x và y, đây là một sự xấp xỉ số đơn vị thêm vào mà sẽ đưựoc sản xuất mỗi tuần nếu số công nhân lao động lành nghề tăng từ x đến x + 1 trong khi số công nhân lao động không lành nghề vẫn giũ không đổi tại y Trong thực tế, nếu lượng lao động tăng từ 30 công nhân lành nghề và 60 không lành nghề đến 31 công nhân lành nghề và 60 không lành nghề, kết quả thay đổi trong đầu ra xấp xỉ

𝑄𝑥(30,60) = 10 + 60 = 70 đơn vị

Thực tế, tính chính xác sự thay đổi là 𝑄(31, 60) − 𝑄(30, 60)

2 Ứng dụng trong tính toán để tối đa hóa lợi nhuận:

- Giả sử rằng đầu ra của một công ty phụ thuộc vào lao động (𝐿) và tiền vốn (𝐾) Nếu hàm sản lượng 𝑌(𝐾, 𝐿) thì đạo hàm riêng của Y theo biến L cho ta biết được giá trị cận biên của lao động Giá trị cận biên của lao động là số lượng đầu ra tăng lên khi sử dụng thêm 1 lao động và vẫn giữ vốn đầu vào, ta được 𝑀𝑃𝐿 =𝜕𝑦

𝜕𝐿 Tương

tự cho vốn đầu vào:𝑀𝑃𝐾 =𝜕𝑦

Ví dụ:

Cho hàm cụ thể Y(K, L) = 5K13L2 3

Giá trị cận biên của lao động là: MPL =σY

3 K1 3L−13 khi K = 64, L = 125 ⟹ MPL = 8

3 Điều này có nghĩa là khi lượng lao động là 125 đơn vị lao động, tiền vốn

là 64 nghìn đô thì sản lượng đầu ra sẽ tăng 8

3 sản phẩm khi lao động tăng 1 đơn vị Vậy điều gì sẽ xảy ra với giá trị cận biên của lao động khi vốn đầu vào tăng

Đạo hàm MPL theo biến K: σ2Y

9 K−23 L−13 > 0 Vì thế khi vốn đầu vào tăng, lao động tăng thêm sẽ làm việc hiệu quả hơn

3 Ứng dụng để tính vector gradient:

- Giả sử hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) biểu diễn độ cao của một ngọn núi so với mực nước biển Một vận động viên leo núi muốn đi từ chân núi lên đến đỉnh núi với vận tốc không đổi Đi theo hướng nào vận động viên leo lên được núi nhanh nhất?

Giải Cho 𝑓(𝑥) = 𝑘 là đường đẳng trị của hàm số 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦) =

𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑘 = 0 Ta có ∇F(x0, y0) = (F′

(f′x(x0, y0), f′

y(x0, y0)) = ∇f(x0, y0) Do đó theo công thức của pháp vecto với đường cong 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 tại điểm P(x0, y0), ta được 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) sẽ vuông góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 tại điểm P

Vậy để vận động viên chạy lên núi nhanh nhất thì phải đi theo hướng vecto gadient

∇𝑓, có nghĩa là hướng vuông góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 tại điểm P(x0, y0)

4 Ứng dụng trong vật lý (dùng phương trình lagrange trong bài toán con lắc lò xo):

Về mặt năng lượng:

Ta có cơ năng L = Wđ− Wt =1

Đạo hàm riêng theo từng biến:

- Theo biến vận tốc v ∂L

∂v= mv ⟹ 𝒅

𝒅𝒕(∂L

∂v) = mdv

dt = ma

- Theo biến li độ x: ∂L

∂x = −kx = F Theo định luật 2 Newton F = ma ⟺ F − ma = 0⟹ 𝒅

𝒅𝒕(∂L

Trong nhiều trường hợp năng lượng cho bởi một hàm số thì dùng công thức này tính sẽ dễ dàng hơn rất nhiều

5 Ứng dụng để tính toán một số đặc điểm thường ngày trong đời sống:

- Sự hạnh phúc của chúng ta là tính toán bằng một hàm 𝐹 nào đó phụ thuộc vào các biến ví dụ như số tiền bạn bạn kiếm được (𝑚) và số thời gian bạn có được ở bên gia đình (ℎ), ta có thể viết là 𝐹 = 𝐹(𝑚, ℎ)

- Nhưng số tiền bạn kiếm được sẽ ít đi khi bạn dành nhiều thời gian cho gia đình nên biến m sẽ phụ thuộc vào ℎ

- Ta có thể viết lại là 𝐹 = 𝐹(𝑚(ℎ), ℎ) Vấn đề đặt ra là chúng ta muốn biết số giờ chúng ta phải bỏ ra bên gia đình để chúng ta cảm thấy hạnh phúc nhất

Giải Đạo hàm riêng theo h: 𝑑𝐹

𝜕ℎ = 0 từ đó ta thấy được với số thời gian ta dành cho gia đình ta sẽ cảm thấy hạnh phúc nhất

TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://kkhtn.duytan.edu.vn/Home/ArticleDetail/vn/92/2193/ung-dung-cua-dao-ham-rieng

Giải tích Chương 4 P2 - Hàm nhiều biến: Cận biên - Co giãn riêng - Tối ưu Lợi tức

& Chi phí

https://vted.vn/tin-tuc/ung-dung-cua-dao-ham-trong-phan-tich-kinh-te-4919.html

https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m_ri%C3%AAng#:~:text=Trong%2 0to%C3%A1n%20h%E1%BB%8Dc%2C%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m,v%C3%A0%20h

%C3%ACnh%20h%E1%BB%8Dc%20vi%20ph%C3%A2n.&text=K%C3%BD%20hi%E1%BB%87u%20c

%E1%BB%A7a%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m%20ri%C3%AAng%20l%C3%A0%20%E2

%88%82

https://phohen.com/post-detail/dao-ham-rieng wikipedia-tieng-viet/246311200

Giáo trình Giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt

https://phohen.com/post-detail/dao-ham-rieng wikipedia-tieng-viet/246311200