Một số bài toán bđt với các biến bị chặn trên một khoảng

kienqb2013@gmail com MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN Khi các biến bị chặn trên một đoạn, khoảng ta cần chú ý các cách đánh giá để chặn biến như sau + , ,m a b c n  thì[.]

MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN

TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN

Khi các biến bị chặn trên một đoạn, khoảng ta cần chú ý các cách đánh giá để chặn biến như sau: + ma b c, , n thì

Nếu cần đánh giá a b c theo 2, 2, 2 a b c, , ta dùng:    2  

Sau khi chứng minh nếu phát sinh điều kiện của một biến thì ta có thể quay lại để chặn biến

nhằm tạo ra điều kiện đó

Thật vậy từ giả thiết: 0a b c, , 2 ta suy ra

c) Ta có: P 9 3ab bc ca0 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

Ta cũng có P    dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 9 6 3 a b c; ;  là hoán vị của bộ số

a b c 3 4

     Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c; ;  là hoán vị của bộ số 1;0; 0

Ví dụ 4) Cho các số thực không âm a b c, , sao cho a2b2c2 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c, , là hoán vị của bộ số 1;0; 0

Ví dụ 5) (Một số đánh giá quen thuộc)

Cho các số thực không âm a b c, , sao cho a2b2c2k 1

Suy ra P 1 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c; ;  là hoán vị của bộ số 1;0; 0

2) Cho các số thực không âm a b c, , sao cho a2b2c2 2 Tìm GTLN của

Để đưa bài toán về bất đẳng thức đối xứng ta đặt ax4,b y5,c z 6 với x y z , , 0 Giả

thiết của bài toán trở thành:  2  2  2

Một số bài toán quy về Ví dụ 8

Vi dụ 8.1 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: 1a b c, , 2 Tìm GTLN,GTNN của

a c

Vậy GTLN của P là 7 khi có 1 một số bằng 2 lần 2 số còn lại

Ví dụ 8.2 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: 0a b c, , 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

y x  nên A 9 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xyz hay ab c

Phần còn lại làm như câu 19) Ta có A 10

Ví dụ 9 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: a b, 0,c1 và a b c   Chứng minh rằng:2

Từ giả thiết suy ra c 2 a b      1 a b 1 0 a b,  1

Suy ra a1b1c1 0 abc a b c   ab bc ca    1 0 ab bc ca   1 abc

Kết luận: GTLN của P là 2 2 , GTNN của P là 2

Câu 2) Cho các số thực a b c , , 1 Chứng minh rằng:

 

    , tương tự ta cũng có đánh giá với các biểu thức còn lại trong vế trái và suy ra : P 12 12 12 12 4 1 1 1

nên suy ra P  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 9 ab  c 1

Câu 3) Cho các số thực a b , 0 thỏa mãn: ab1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

Từ giả thiết a b, 0ab0 , lại có 4  2 1 1

Câu 5) Cho các số thực không âm a b, thỏa mãn điều kiện a b 2ab Tìm giá trị lớn nhất 4

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pa3b3

Giải:

Ta có bất đẳng thức sau: Với mọi x y , 0 thì 3 3  

x y xy xy

ra a3b3a b 2ab 2 2 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab , 1

Từ giả thiết ta cũng suy ra a b  , ta cũng có 3

Câu 6) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện: a2b2c2 2(ab bc ca  ) 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2ab 2 2bc 2 2ca 2

P  , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c, 0 và các hoán vị

Câu 8) Cho các số thực a b, sao cho 0ab7 biết a b 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Pa2b2

Giải:

a b Pa b  , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0

Từ giả thiết suy ra 2aa b 10a5

a3a7 nên 0 P 58 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a3,b7

Cau 9) Cho các số thực x y z , , 0 thỏa mãn: xy z xyz4 Tìm giá trị lớn nhất của

Đặt a 2 x b,  5 y c,  5 zsuy ra x y z , , 0 thay vào giả thiết ta có:

là chứng minh BĐT ở các vế (dành cho học sinh)

Ví dụ 3) Cho các số thực không âm x y z, , sao cho xyyzzx0 Chứng minh rằng:

Phân tích: Giả sử zminx y z; ;  ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi z  , khi đó ta có 0

t    t ( dành cho học sinh) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 7) Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca   0

      Dấu đẳng thức xảy ra khi ab1,c0

Có thể chứng minh (*) như sau:

đúng do 2a2b2c2b2c22bcbc1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có 2 số

bằng 1, một số bằng 0