Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên (1995 2021)

Để phục vụ cho các ôn thi học sinh giỏi và ôn thi tuyển sinh vào 10 đặc biệt là tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên thì mình đem đến cho các bạn 39 đề tự luận tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường trung học phổ thông chuyên Nguyễn Tất Thành. Chúc các bạn ôn thi vui vẻ và có một kỳ thi vào 10 thật suất sắc. Trân trọng cảm ơn

Trang 1

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH

b/ Dựng đường tròn tâm O' tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O

Bài 4 ( 2 điểm ) Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC của tam

giác này lần lượt ở D và E Chứng minh rằng với mọi điểm K trên cạnh BC luôn có diện tích tam giác DEK không lớn hơn một phần tư diện tích tam giác ABC Đường thẳng DE ở vị trí nào thì tam giác DEK có diện tích lớn nhất ?

a/ Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn, suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng

b/ Từ C kẻ đường song song với AD cắt DN tại M Chứng minh BCM là tam giác cân

Bài 4 ( 2 điểm) Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của OB và CD

a/ Chứng minh AMN là tam giác vuông cân

b/ So sánh AN và MD

Bài 5 ( 2 điểm) Cho a, b, c, d và A, B, C, D là các số dương thoả mãn: a b c d

A= B =C = D Chứng minh: aA+ bB+ cC + dD = (a b c d A B C+ + + )( + + +D)

Trang 2

2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI

(Năm học 1996 - 1997) Buổi 1 Bài 1 (2,5 điểm)

Cho đường tròn (O, R) Gọi K là trung điểm của dây AB, qua K kẻ hai dây EF và CD ( với EF > CD),

C và E ở về cùng một phía đối với AB CF cắt AB tại M; ED cắt AB tại N Từ F kẻ dây FI // AB

1 Chứng minh: FK = IK

2 Chứng minh tứ giác KNDI nội tiếp trong một đường tròn và KM = KN

3 Giả sử hai điểm A, B thay đổi trên đường tròn sao cho độ dài AB không đổi Hãy tìm tập hợp điểm K

Bài 4 (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân ( AB = AC) Gọi D là một điểm trên cạnh BC Gọi (O1, R1) và (O2, R2) là các đường tròn đi qua D lần lượt tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C; P là giao của BO1 và CO2; I là trung điểm của O1O2

Chứng minh rằng khi D di động trên BC thì P cố định và I chạy trên một đường thẳng cố định

Rút gọn rồi giải phương trình P(x) = 1

2/ Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 và điểm A(2; 1) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm giá trị của k để MN nhỏ nhất

Bài II (2 điểm)

Cho đường tròn (O; R) Gọi P là điểm nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến PA, PB ( A, B là tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính BC của đường tròn

1 PC cắt AH tại I Chứng minh I là trung điểm của AH

2 Đặt PO = d Tính AH theo Rvà d

Bài III (2,5 điểm) Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB và BAx = 300 Gọi H là chân đường vuông góc

hạ từ B xuống Ax Trên BH kéo dài lấy điểm C sao cho HM = 2CH, đường thẳng song song với AB kẻ từ C cắt Ax tại D

1 Gọi N là trung điểm của CD, chứng minh M, H, N thẳng hàng

2 Gọi E là giao điểm của AC và BD Chứng minh H là trọng tâm của ABE

Bài IV (1,5 điểm)

Tìm số nguyên n 0 để phương trình: nx2 + (2n - 1)x + n - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ

Bài V (1 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên BC và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc MAN = 450 Chỉ dùng thước kẻ hãy vẽ đường thẳng vuông góc với MN

Trang 3

( Năm học 1997 - 1998 )

Bài 1 ( 2 điểm ) Cho Parabol y = 3x2 (P)

a/ Biện luận theo tham số m số giao điểm của (P) với đường thẳng có phương trình y = mx - 2 (d)

b/ Tìm trên đồ thị của (P) các điểm cách đều hai trục toạ độ

Bài 2 ( 2,5 điểm )

a/ Cho biểu thức B =

2 3

1

a a

x − x+ = 4x + 2

Bài 3 ( 1,5 điểm) Cho biểu thức A = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 với n là số nguyên

a/ Phân tích A thành tích của bốn số nguyên liên tiếp

b/ Chứng minh A chia hết cho 24

Bài 4 ( 3 điểm )

Cho đường tròn tâm O cố định Một đường thẳng ( d) cố định cắt đường tròn (O) tại M và N , A là một điểm chuyển động trên (d) ( A ở ngoài đoạn MN ) , từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O)

a/ Tìm những điểm cố định mà đường tròn xác định bởi ba điểm A, B , C đi qua

b/ Tìm trên (d) điểm A sao cho ABC là tam giác đều

c/ Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5 ( 1 điểm )

Cho hai điểm A, B thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) cho trước Hãy tìm trên (d) hai điểm

C và D sao cho tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất biết CD có độ dài m cho trước

( NĂM HỌC 1998 - 1999 )

Bài 1 ( 2 điểm ) Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc xOy cho Parabol (P) : 1 2

4

y= − x và đường thẳng (d) : y = mx - 2m - 1

a/ Tìm m sao cho (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b/ Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P)

Bài 2 ( 3 điểm )

a/ Giải hệ phương trình

131

b2x2 + ( b 2+ c2 - a2 )x + c2 = 0 ( với x là ẩn ) vô nghiệm

Bài 3 ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi trung

điểm của BC là I , kẻ đường kính AM

a/ Chứng minh I là trung điểm của HM b/ Chứng minh 3 điểm : H , G , O thẳng hàng

Bài 4 ( 2 điểm) Từ điểm A ngoài đường tròn (O,R ) kẻ cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N)

độ dài đoạn MN lớn nhất

Trang 4

4

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH

(Năm học 1999 - 2000) Bài I (3 điểm)

Bài II (2 điểm) Cho biểu thức: A= x+2 x− +1 x−2 x−1

1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa Rút gọn A

2 Tìm x ứng với GTNN của A

Bài III (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AC > AB Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC, D là giao của của AB và CM Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tiếp tuyến tại M và cắt tia AM lần lượt tại N và E

1 Chứng minh: Tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh: MN // BC

3 Gọi I là giao điểm của AM và BC Chứng minh: 1 1 1

NC =CE +CI

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một cát tuyến CD quay quanh trung điểm I của OB, kẻ AE

vuông góc với CD, K là trung điểm của CD, H là giao điểm của BK và AE

+ Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P)

+ Tìm trên đồ thị của (P) các điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ bằng 6

b/ Cho hàm số : f(x) = (x-1)(x-3)(x+5)(x+7)

Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất Tìm GTNN đó

Bài 2 (2,5 điểm) a/ Giải phương trình x− −3 2 x− +4 x−4 x−4 = 1

b/ Giải hệ phương trình:

2

21

a/ Chứng minh các tứ giác MCNS , ACBS nội tiếp đường tròn

a/ Chứng minh 3 điểm P , O , C thẳng hàng

b/ Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DCE không đổi khi các điểm D, E thay đổi trên (O)

Trang 5

( NĂM HỌC 2001 - 2002 )

Bài 1 ( 2,5 điểm ) Cho phương trình ẩn số là x ( m là tham số ): 2

x −mx + m − =

a/ Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình Đặt A = x1 + x22 - 6x1x2

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp

b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành

c/ Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

d/ Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định

Bài 4 ( 2 điểm )

Một số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau ,được tạo nên từ bốn chữ số 0, 2, 3, 5 Hãy tìm số đó biết rằng

nó là bình phương của một số tự nhiên

( NĂM HỌC 2002-2003) NGÀY THI : 04 - 07 - 2002

Bài 1 ( 2 điểm Cho biểu thức M =

a/ Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn biểu thức M

b/ Tìm giá trị của x khi cho M = 2

c/ Tìm giá trị nguyên dương của x để M có giá trị nguyên

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2 R Vẽ dây AC và BD lần lượt bằng R và R 2, gọi E

và F là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD

a/ Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD

b/ Tính EF theo R

c/ Chứng minh diện tích tứ giác AEFB bằng tổng diện tích hai tam giác ABC và ABD

Bài 5 ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Từ một điểm D bất kỳ trên (O) kẻ DM,

DN lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và BC (M AB, N  BC)

a/ Chứng minh các tam giác ADC, MDN đồng dạng

b/ Xác định vị trí của D trên (O) để MN có độ dài lớn nhất

Trang 6

6

( NĂM HỌC 2002-2003) NGÀY THI : 05 – 07 – 2002

Bài 1 ( 2 điểm ) Cho parabol (P): 1 2

2

y= − x và điểm D(1; -2)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua D và có hệ số góc m Chứng minh rằng (đ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m

b) Gọi xA, xB là hoành độ của A, B Tìm m để x x2A B+ x x A 2B đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài II (1,5 điểm) Cho biểu thức : P=x2−3x y+2y

Bài III (2 điểm) a/ Rút gọn vế phải rồi giải phương trình: x2−2x+ =1 6 4 2+ − 6 4 2−

b/ Cho P(x) là đa thức bậc 4 biết: P(1) = P(-1); P(2) = P(-2) Chứng minh rằng P(x) = P(-x) với mọi x

Bài IV (2 điểm)

Cho (O, R) và đường thẳng (c) ở ngoài đường tròn Kẻ OP vuông góc với (c) tại P Từ điểm S trên (c)

vẽ 2 tiếp tuyến với (O) tại các tiếp điểm M, N Dây cung nối hai điểm này cắt SO tại D và cắt OP tại E a) Chứng minh rằng: SO.OD = R2

b) Chứng minh các tứ giác SMNP, PMON nội tiếp

c) Tìm tập hợp điểm D khi S chạy trên (c)

Bài V (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao

cho AD = kAB; BE = k.BC; CF = kCA

a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k

b) Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF nhỏ nhất

( NĂM HỌC 2003 - 2004 ) NGÀY THI : 04- 07 - 2003

Bài 2 ( 2 điểm ) Cho phương trình : 2x2 + ( 2m -1 )x + m - 1 = 0

a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện

x1 + 10 x1x2 + x2 = -6 b/ Với giá trị nào của m để 2 nghiệm x1, x2 : đều dương ; đều âm; đối nhau

Bài 3 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi C là một điểm trên cung AB , D là điểm chính

giữa cung nhỏ CB Lấy E là một điểm bất kỳ trên đoạn OB,

nối DE cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai K , KC cắt AD tại H

a/ Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn

b/ Chứng minh EH vuông góc với AC

c/ Đường thẳng song song với AC kẻ từ E cắt CK tại I Chứng minh IE = BE

Bài 4 ( 2 điểm ) Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa hai điểm A và C Vẽ tia Bx vuông góc với AC

và trên đó lấy hai điểm H, E sao cho AB BH 3

BE = BC = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và CBH cắt nhau

ở điểm thứ hai D

a/ Chứng minh 3 điểm A , H , D thẳng hàng

b/ Chứng minh đường thẳng BD luôn đi qua một điểm cố định khi B di chuyển trên AC

Bài 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc xOy cho điểm A (-2;1) và B (2;3) Tìm trên trục Ox toạ

độ điểm M0 sao cho M0A + M0B có giá trị nhỏ nhất

Trang 7

( NĂM HỌC 2003 - 2004 ) NGÀY THI : 05- 07 - 2003

Bài 1 ( 2 điểm ) a/ Cho biểu thức A = x− +1 2 x−2 + x− −1 2 x−2

+ Rút gọn A + Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất

b/ Tìm các số x, y, z thoả mãn điều kiện x+ y− +1 z− = 2 1

2(x+y+z)

Bài 2 (2 điểm )

Cho Parabol ( P ) : y = x2 - 4x + 3 và điểm A ( 2;1 ) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A a/ Chứng minh (d ) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M,N

b/ Tìm giá trị của k để đoạn MN ngắn nhất

Bài 3 ( 3 điểm) Cho góc xOy = ( < 90o) , trên tia Ox lấy một điểm C cố định, các điểm A, B lần lượt chạy trên Ox, Oy sao cho OA - OB = OC, đường trung trực của OC và AB cắt nhau tại D

a/ Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn

b) Tìm x để A = B

Bài II (2 điểm) Cho phương trình: 2 ( )

x − m− x+ − = (1) m

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài III.(1 điểm ) Giải hệ phương trình:

Bài IV.(4 điểm) Trên đường thẳng lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự, từ A kẻ các tiếp tuyến AE, AD với đường

tròn đường kính BC Kẻ DH vuông góc với EC tại H Gọi P là trung điểm của DH, đường thẳng CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai Q, DE cắt BC tại I

a) Tứ giác IPCE là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh tứ giác QDPI nội tiếp

c) Chứng minh góc AQE vuông

d) Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn qua 3 điểm A, D, Q

Bài V (1 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), M là một điểm thuộc đường tròn Từ M dựng các đường

MH, MK lần lượt vuông góc với BA, BC Xác định vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất

Trang 8

8

(Năm học 2004-2005) Buổi 2 Bài I (2 điểm)

a) Giải phương trình: x4 + 4x3 + 4x2 - 1 = 0

b) Cho biểu thức: y= x+2 x− +1 x−2 x−1 Tìm x để y đạt GTNN

Bài II (2 điểm) Một đoàn học sinh đi tham quan bằng ôtô, nếu mỗi ôtô chở 22 người thì còn thừa một người

Nếu bớt đi một ôtô thì có thể chia đều số người cho các ôtô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và

có bao nhiêu ôtô, biết rằng mỗi ôtô chở không quá 40 người

Bài III (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định trên đoạn AB ( C khác A, B ) Lấy điểm

M trên nửa đường tròn, đường thẳng qua M, vuông góc với MC lần lượt cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A, B ở E, F

a) Chứng minh ECF là tam giác vuông

b) Chứng minh: AE.BF = AC.BC

c) Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ECF khi M chuyển động trên nửa đường tròn

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, Gọi K là điểm chính giữa cung AB, trên cung KB lấy điểm M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = MB, kẻ dây BP song song với KM

a) So sánh hai tam giác AKN và BKM

b) Chứng minh tam giác KMN vuông cân

c) Chứng minh tứ giác ANKP là hình bình hành

Bài V (1 điểm)

Trong hệ toạ độ xOy cho hai điểm A(5; 1) và B(-1; 5) Hãy tính chu vi và diện tích tam giác AOB

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI

(Năm học 2005-2006) Buổi 1-6/7/2005 Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức:

2

.2

A

x x

=

−a/ Tìm điều kiện của x để A tồn tại b/ Rút gọn A

Bài 2 (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): 1

2

y= +x m, ( m là tham số)

a- Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

b- Tìm phương trình đường thẳng (l) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)

c- Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu a) là 3 2

Bài 3 (2 điểm) a/ Tìm giá trị của m để hai phương trình bậc hai: x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung

Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD, đường thẳng qua

D song song với BC cắt đừơng thẳng AH tại E

a- Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

b- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC Chứng minh góc OAC bằng góc BAE

c- Gọi M là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AM cắt OH tại G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC

Bài 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC có góc A vuông, gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC, các điểm M, N

theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB, AC Tìm vị trí của D để MN có độ dài nhỏ nhất

Trang 9

( Năm học 2006-2007) Ngày thi : 06 - 07 - 2006

Bài 1 ( 3 điểm) Cho biểu thức : M =

( NĂM HỌC 2006-2007) NGÀY THI : 07 - 07 – 2006

a/ CMR tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn kẻ từ T đi qua 1 điểm cố định trên yy’ Cho OA = d, tính bán kính AC của đường tròn thứ 2 theo d và R

b/ Tìm d để 2 đường tròn bằng nhau, khi đó hãy tính góc OCA

c/ Một đường tròn thứ 3 đôi một tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn nói trên Tính diện tích phần xen giữa ba đường tròn trong trường hợp chúng có cùng bán kính R

Trang 10

10

( NĂM HỌC 2007-2008) NGÀY THI : 09 - 07 - 2007

a) Hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm

b) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

c) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 2 ( 2 điểm)

Hãy xác định giá trị của tham số k để sao cho phương trình : 2

x − x+ =k có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện 3x1+2x2 =20

( NĂM HỌC 2007-2008) NGÀY THI : 10 - 07 - 2007

Bài 1 ( 2 điểm)

Cho phương trình : x2 + ax + a - 2 = 0

a) Chứng ming rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Giả sử 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 Hãy xác định giá trị của a để

a) Tam giác PMN bằng tam giác NIQ

b) Tam giác PNQ là tam giác vuông cân

Bài 5 ( 2 điểm)

Cho số tự nhiên N = a a1 2 a a n−1 n thoả mãn N2 là số chứa một số lẻ chục Tìm chữ số hàng đơn vị của N2

Trang 11

a.Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

b Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình

Cho tam giác vuông ABC ( BAC =900 ) Từ B dựng về phía ngoài tam giác ABC sao cho BC = BD và

ABC=CBD I là một điểm trên CD sao cho IC = ID Nối AI cắt BC tại E

a.CMR : góc CAI bằng góc DBI

b CMR : tam giác ABE cân

c chứng minh : AB.CD = BC.AE

a CMR phương trình có nghiệm với mọi m

b Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 (x1 > x2) Hãy xác định giá trị của m để x1− đạt giá trị x2

nhỏ nhất

Bài 5 (2 điểm)

Cho một hình vuông và một hình chữ nhật cùng nội tiếp một hình tròn tâm O Hình vuông và hình chữ nhật nào có diện tích lớn hơn? Hãy chứng minh

Tiêu đề	Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên (1995 2021)
Trường học	Trường THPT Nguyễn Tất Thành
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề thi tuyển sinh
Năm xuất bản	1995 - 2021

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	611,16 KB