Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề hệ phương trình ôn thi học sinh giỏi thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI TRƯỜNG THPT THỊ XÃ NGHĨA LỘ BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Lĩnh vực Giáo dục) Tên sáng kiến Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề “Hệ phương trình” ôn thi học sinh[.]

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ NGHĨA LỘ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

(Lĩnh vực: Giáo dục) Tên sáng kiến:

Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề “Hệ phương trình”- ôn thi học sinh giỏi THPT

Tác giả: Nguyễn Thị Hằng Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ: GIÁO VIÊN - TTCM Đơn vị công tác: Trường THPT thị xã Nghĩa Lộ

Yên Bái, tháng 11 năm 2021

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề Hệ phương trình - Ôn thi học sinh giỏi THPT”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo

3 Phạm vi áp dụng sáng kiến: Dạy ôn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ

4.Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm học 2019-2020

5.Tác giả:

Họ và tên tác giả sáng kiến NGUYỄN THỊ HẰNG

Ngày, tháng, năm sinh: 15/9/1975

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ chuyên ngành Lí luận và Phương pháp

dạy học bộ môn Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên – TTCM

Nơi công tác: Trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ

Điện thoại lên hệ: 0915659391

6 Đồng tác giả ( nếu có) : Không

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN

1 Tình trạng giải pháp đã biết

Qua kinh nghiệm 23 năm giảng dạy tại trường Trung học phổ thông, trong đó

có nhiều năm trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh Bản thân tôi đã nhận thấy phương pháp dạy học hiện nay đã có nhiều thay đổi so với trước Các phương pháp dạy học tích cực đã dần thay thế cho cách dạy học thầy đọc, trò chép, học sinh đã dần thay đổi cách học bớt thụ động, tự mình chủ động khám phá và chiếm lĩnh tri thức Tuy nhiên, hiện nay trong các nhà trường phổ thông vẫn còn có một bộ phận các giáo viên vẫn dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức, trò tiếp nhận và ghi nhớ Đôi khi vẫn còn xuất hiện kiểu dạy nhồi nhét, dạy chay, dạy một cách hình thức và xa rời thực tiễn Với cách dạy học đó đã làm cho học sinh thụ động tiếp thu bài giảng, hạn chế lớn đến nhận thức và tư duy sáng tạo của học sinh, không phát huy được

tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Nhìn chung giáo viên mới chỉ quan tâm dạy sao cho đúng, đủ nội dung quy định trong chương trình, sách giáo khoa chứ chưa khuyến khích phát triển tối đa khả năng sáng tạo của người học

Trong dạy học môn Toán ở đa số các trường phổ thông hiện nay đặc biệt

là dạy các chuyên đề bài tập trong đó có ôn thi học sinh giỏi, giáo viên thường chữa và luyện cho học sinh theo bài tập mẫu, mới chỉ dừng lại ở bước trình bày lời giải mà chưa quan tâm đến việc nghiên cứu sâu lời giải Chính vì thế học sinh thường quen với việc giải bài tập theo cách giải mẫu đã có một cách máy móc mà không có sự sáng tạo, tìm tòi lời giải Một thực tiễn nữa là thông thường học sinh thường thỏa mãn khi tìm ra một cách giải mà không chú trọng việc tìm hiểu xem bài toán có còn cách giải nào khác nữa hay không? Cách giải của mình

đã tối ưu chưa? Bài toán còn được khai thác theo các cách khác theo hướng nào? Hoặc đứng trước một bài toán khó, dạng toán lạ học sinh rất lúng túng và gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết bài toán

Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh, tôi mạnh viết sáng

kiến kinh nghiệm này nhằm “Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chuyên đề

Hệ phương trình - Ôn thi học sinh giỏi THPT” Đồng thời từ đó giúp học sinh

phát triển tư duy sáng tạo khi học môn toán nói chung và chuyên đề hệ phương trình nói riêng

2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến

a Thực trạng :

Sau nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và qua tìm hiểu các em học sinh ở trường trung học phổ thông Thị xã Nghĩa Lộ, tôi nhận thấy rằng khi học chuyên đề hệ phương trình học sinh còn gặp phải một số vấn

đề sau:

+ Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi

người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện Hơn nữa nhiều năm gần đây đề

thi chọn học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh môn toán luôn có một bài về hệ phương trình

+ Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham

khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình Hầu hết các em học sinh đều giải được bài tập dạng đơn giản bằng cách nhớ dạng tổng quát của hệ phương trình cơ bản, đã biết phương pháp giải theo mẫu

+Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng

quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về mặt hình thức là không mới Cái mới ở đây chính là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là giúp học sinh tìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào Thông qua đó học sinh sẽ dần dần thích nghi một cách tự nhiên, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới Học sinh sẽ hiểu sâu và học tập có hiệu quả chuyên đề này

b Giải pháp thực hiện :

Để khắc phục những khó khăn trên, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau : + Bước đầu phân dạng các bài tập một cách có hệ thống, và trình bày phương pháp giải quyết từng dạng bài cho học sinh, nhằm giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về dạng toán “Hệ phương trình” từ đó học sinh có thể tự giải quyết tốt các dạng toán đó

+ Rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh, phân tích kỹ, hướng dẫn cách tình bày một bài toán tự luận để đảm bảm tính hợp lí, logic, đặc biệt hướng dẫn học sinh phát hiện ‘‘nút thắt ’’ của bài toán để ‘‘cởi’’ từ đó khuyến khích học sinh chủ động, tích cực khi đứng trước mỗi bài toán

Phân tích: Ta nhận thấy rằng nếu thay đổi vị trí của x và y cho nhau thì hệ

phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi nên từ đó kết luận đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 Mặt khác, phương trình đầu tiên đã có dạng tổng và tích nên ta quan tâm đến việc biến đổi phương trình thứ hai

Lời giải 1: Sử dụng kỹ thuật giải hệ phương trình dạng đối xứng loại I





Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y;  3;3

Lời giải 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y;  3;3

Lời giải 3: Đưa về tổng các số không âm

Thực hiện nhân hai vế của phương trình  1 với 2 và hai vế của phương trình  2 với 4 ta được:

y y

thỏa mãn điều kiện ban đầu

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y;  3;3

Phân tích: Dễ dàng nhận ra đây là hệ phương trình đối xứng loại II, có chứa căn

thức và phương pháp giải là trừ tương ứng hai vế Khi đó ta có hai hướng xử lí thường gặp: Một là nhân liên hợp để đưa về dạng x y f x   0, hai là xác định hàm đặc trưng và dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh

   

f x  f y  x y, sau khi khẳng định hàm đặc trưng đơn điệu

Điều kiện x y; 0, do x y 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên

x v

Thử lại ta thấy x1 là nghiệm của phương trình (3)

So với điều kiện kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x x

0;

Mặt khác f  1  3 VP 3 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x1

So với điều kiện kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

   x y;  1;1

Lời giải 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

t t

Suy ra f x  f y  x y, đến đây giải tương tự như trên ta được x y 1

So với điều kiện kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

   x y;  1;1

II Hệ phương trình đưa về dạng tích số

Giải hệ phương trình bằng các phép biến đổi về dạng tích số là một dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Trong đó các kỹ thuật thường dùng trong quá trình biến đổi là:

 Kỹ thuật tách, ghép, nhóm và dùng tam thức bậc 2( hằng số biến thiên)

Phân tích: Nhìn nhận thấy phương trình (1) có dạng tam thức bậc hai đối

với hai ẩn x, y nên từ đó ta có các hướng giải bài toán như sau

Hướng 2: Khi nhận phương trình (1) có dạng phương trình bậc hai đối

với ẩn x, nên ta biến đổi phương trình như sau:

Từ hai hướng suy nghĩ đó dẫn đến lời giải của hệ phương trình như sau:

Lời giải : Điều kiện 2x y 0,x4y0

3x   x 3 3x 1  5x4 4

Nhận thấy phương trình  4 có một nghiệm x0và một nghiệm x1 nên sử

dụng kỹ thuật ghép ax b và liên hợp ta có:

Hướng 2: Ngoài hướng suy nghĩ trên ta còn thấy nếu chia hai vế của

phương trình  1 cho x2 thì có thể giải hệ phương trình bằng cách sử dụng phương pháp hàm số

Từ đó ta có các lời giải hệ phương trình như sau:

Lời giải 1: Sử dụng kỹ thuật nhân lượng liên hợp

Điều kiện x1;y0:

Lời giải 2: Sử dụng phương pháp hàm số

Chia hai vế của phương trình (1) cho 2

III Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với kỹ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ thường rất đa dạng và phong phú Tùy thuộc vào mỗi hệ phương trình mà ta cần phải khai thác các đặc điểm riêng và cấu trúc của từng hệ phương trình để tìm ra phép đặt ẩn phụ nhằm đưa về những hệ cơ bản( Hệ đối xứng loại I, loại

II, hệ đẳng cấp hay các hệ phương trình giải được bằng các phép thế, phép cộng đại số…)

7x y  2x y a b 5x nên ta có thể giải bài toán theo các cách sau

Lời giải 1: Đặt 7 0

với hệ phương trình sau:

Phân tích: Khi nhìn vào hệ phương trình mà không tìm ra mối liên hệ

giữa các hạng tử để đặt ẩn phụ thì cần hướng dẫn học sinh thực hiện các phép biến đổi làm xuất hiện các hạng tử giống nhau hoặc có liên quan đến kỹ thuật đặt ẩn phụ Cụ thể ở đây nếu chia hai vế của phương trình  1 cho x và chia

hai vế phương trình  2 cho xta sẽ nhận được các hạng tử giống nhau ở cả hai phương trình

Lời giải: Điều kiện x y, 0, ta thấy x0 không phải là nghiệm của hệ phương trình trên nên ta có:

3 2 2

Mặt khác ta thấy f  1 0 nên phương trình  3 có 1 nghiệm

Phân tích: Nhìn vào phương trình  2 dễ thấy ,x y độc lập ở từng vế nên

có thể nghĩ đến cách giải bằng phương pháp hàm số, tuy nhiên học sinh sẽ bị mắc vì không tìm ra được hàm đặc trưng ở hai vế Nếu để ý ta có thể biến đổi

2  x y   1 y x 1, đến đây có thể giải tiếp bài toán theo hai hướng:

Hướng 1: Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế sẽ tìm được mối liên hệ

giữa ,x ysau đó sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Hướng 2: Sử dụng kỹ thuật liên hợp cũng sẽ làm xuất hiện nhân tử

b a

b a

b a

x y

2 33

2 33

IV Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Đối với dạng hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá, trong phạm vi kiến thức của học sinh trong đội tuyển ôn thi học sinh giỏi có cả học sinh lớp 10 đến lớp 12, thì chủ yếu sử dụng hai phương pháp đánh giá chính là:

 Phương pháp đánh giá bằng hàm số

 Phương pháp đánh giá bằng cách sử dụng bất đẳng thức

Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp đánh giá bằng cách nào thì cũng có nhiều

kỹ thuật và hướng phân tích bài toán, đòi hỏi học sinh phải sáng tạo và nhạy bén khi gặp các hệ phương trình trong dạng phương pháp này

3 3

hàm số luôn đơn điệu trên R

Lời giải: Điều kiện 1, 3 3

Đến đây thấy rằng phương trình  3 dạng ax b cx +dx+e2 có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như sử dụng các kỹ thuật liên hợp, lũy thừa, đặt

ẩn phụ hoặc biến đổi về phương trình dạng 2 2

x

  

 

 thử lại vào phương trình

 3 cả hai nghiệm đều không thỏa mãn

So sánh với điều kiện và thử lại thì hệ phương trình đã cho có tập nghiệm

2 2

4 2

So sánh với điều kiện và thử lại thì hệ phương trình đã cho có tập nghiệm

Phân tích: Từ các phương trình trong hệ ta nhận thấy biến x và y chưa

độc lập ở hai vế, do đó cần thực hiện phép chia hai vế của phương trình cho một đại lượng nào đó để làm xuất hiện hàm đặc trưng

Lời giải: Điều kiện y0, dễ thấy y0 không là nghiệm của hệ phương trình nên nếu xét với y0và từ phương trình  2 ta thấy nếu hệ phương trình

Do đó hàm số f t luôn đồng biến trên khoảng   0;

Nhận thấy phương trình  3 có nghiệm y1 và vế trái của phương trình  3

là một hàm số có đạo hàm dương nên tiếp tục sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình  3

Phân tích: Trong hệ phương trình trên ta thấy cần phải kết hợp cả hai

phương trình trong hệ mới tạo ra được hàm đặc trưng bằng cách sử dụng kỹ thuật cộng hai vế để tạo ra hàm đặc trưng Vấn đề là khi nào thực hiện phép cộng? khi nào thực hiện phép trừ, khi nào cần nhân thêm một phương trình với

số nguyên n, cách xác định số n này dựa vào dấu hiệu nào?

Lời giải: Điều kiện x 1

Nhân hai vế phương trình  1 với 2 và hai vế phương trình  2 với 3 ta được:

3 Khả năng áp dụng của giải pháp

- Sáng kiến đã và đang áp dụng trong quá trình dạy ôn đội tuyển học sinh

giỏi môn Toán tại trường THPT Thị xã Nghĩa Lộ từ năm học 2019-2020 cho đến nay

- Nội dung của sáng kiến trình bày bằng nhiều phương pháp, nhiều cách tiếp cận kiến thức, hệ thống bài tập đưa ra theo các dạng có sự phân tích, định hướng cho học sinh phù hợp với phạm vi kiến thức ,giúp học sinh từ lớp 10 đến lớp 12 có thể giải quyết được bài toán bằng các cách khác nhau

- Hiện nay tác giả đang tiếp tục hoàn thiện và xây dựng hệ thống bài tập đầy đủ hơn, phong phú hơn giúp học sinh khi ôn thi học sinh giỏi môn toán có tài liệu tốt để ôn tập Đồng thời các đồng nghiệp trong Tỉnh cũng có thể tham khảo, sử dụng

4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp

+ Hiệu quả của sáng kiến:

Kết quả thử nghiệm khi dạy đội tuyển học sinh giỏi từ năm học 2019-2020 chuyên đề “Hệ phương trình”, tôi đã áp dụng tôi đã chọn hai nhóm học sinh( nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm ) để khảo sát và kết quả cụ thể như sau:

Điểm Yếu, Kém (từ 0 đến cận 5); Trung bình (từ 5 đến cận 7); Khá (từ 7 đến cận 8); Giỏi (từ 8 đến 10)

Kết quả bài kiểm tra:

Nhóm

Nhóm điểm

Số bài % Số bài % Số bài % Số bài %

Đối

Thực

Qua kết quả bài kiểm tra theo thống kê trên cho thấy:

- Tỷ lệ học sinh ở nhóm thực nghiệm đạt điểm khá, giỏi cao hơn nhiều so với nhóm đối chứng

- Tỷ lệ học sinh đạt điểm yếu, kém và điểm trung bình thấp hơn nhiều so với nhóm đối chứng

+ Phân tích kết quả kiểm tra: qua các tiết dạy thực nghiệm và kết qủa

bài kiểm tra có thể thấy rằng:

- Nhìn chung trong thời gian thực nghiệm, cả học sinh và giáo viên đều nhiệt tình, tích cực tham gia vào quá trình dạy và học Giáo viên đã đầu tư thời gian, tâm huyết với nội dung giảng dạy

- Học sinh lớp thực nghiệm đã được bồi dưỡng, phát triển tư duy sáng tạo nên nắm bắt phương pháp học tốt hơn, trước mỗi bài toán các em định hướng phương pháp giải nhanh và chính xác hơn Đặc biệt những học sinh khá, giỏi ở lớp thực nghiệm đã tìm được nhiều lời giải hay, ngắn gọn và độc đáo, khả năng lập luận và trình bày lời giải chặt chẽ hơn

- So với lớp đối chứng, học sinh ở lớp thực nghiệm tích cực hoạt động hơn, làm việc nhiều hơn và độc lập hơn

- Tâm lí học sinh ở lớp thực nghiệm cũng tỏ ra thoải mái hơn, tạo nên một bầu không khí cởi mở và thân thiện giữa giáo viên và học sinh, giữa học sinh với nhau

- Học sinh lớp đối chứng còn nhiều học sinh không định hướng được phương pháp giải bài toán hoặc định hướng không tốt nên có cách giải dài dòng hoặc lời giải không đúng

- Đặc biệt học sinh lớp thực nghiệm đã bước đầu hình thành thói quen xem xét bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, bước đầu biết cách khai thác một bài toán

Dựa vào kết quả thực nghiệm có thể thấy rằng, mặc dù thời gian thực nghiệm không dài nhưng đã đạt được hiệu quả nhất định, điều đó đã chứng tỏ tính khả thi của đề tài khi áp dụng giảng dạy ôn thi học sinh giỏi môn Toán tại trường THPT Thị

xã Nghĩa Lộ

+Về triển vọng áp dụng và triển khai: Có thể áp dụng cho giáo viên

Toán ở các trường THPT của tỉnh Yên Bái sử dụng giảng dạy ôn luyện HSG

+ Kết quả đã đạt được: Năm học 2019-2020 có một học sinh đoạt giải

khuyến khích kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh; Năm học 2020-2021 có hai học sinh đoạt giải khuyến khích kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh Các học sinh tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh hai năm gần đây đều giải tốt bài hệ phương trình trong đề thi