Chuyên đề định lí vi ét

Hướng Dẫn: aVới m = 1 ta có phương trình: Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là bPhương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Dạng 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình

Trang 1

Chuyên đề 4: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng I.Lí thuyết

1.Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc hai một ẩn x là phương trình có dạng:

Trong đó, a,b,c là các số cho trước và

2 Công thức nghiệm của phương trình (1):

;

3 Hệ thức Vi-ét:

Đảo lại: Nếu hai số thỏa mãn: thì là nghiệm của phương trình:

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán:

2)

3)

Trang 2

Nếu m = 3 thì p/trình (1) trở thành: -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình (1) có nghiệm với m -6

VD2: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Ta có

Nếu m = 3 thì phương trình (1) là p/trình bậc nhất -6x + 5 = 0 có nghiệmduy nhất x =

Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai

m = -6

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m = 3 hoặc m = -6

VD3: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Trang 3

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m 3 và m > -6

VD4: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép

Phương trình (1) có nghiệm kép

Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép

VD5: Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi m 3 và m < -6

VD6: Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2.

Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được

Vậy với m = thì phương trình (1) có một nghiệm x = -2

Bài tập áp dụng có lời giải:

Hướng Dẫn:

Phương trình đã cho vô nghiệm

Trang 4

Bài 2: Cho phương trình : Tìm để phương trình có một nghiệm bằng

2 Tính nghiệm còn lại

Hướng Dẫn:

Bài 3: Cho là hai nghiệm của phươngtrình Hãy lập một phương trình bậc

Trang 5

Bài 4: Cho phương trình (với là tham số) Chứng minh rằngphương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của

Hướng Dẫn:

Ta có:

luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

a)Giải phương trình (1) với

b)Chứng minh rằng với mọi giá trị của phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

phân biệt

Trang 6

Vậy với ; , thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 8: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1) + m – 3 = 0 (1)

a)Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Hướng Dẫn:

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Theo chứng minh câu a thì ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Theo định lý Viet ta có: x1 + x2= 2(m-1)

Vậy m =1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm đối nhau

Bài 9: Tìm tham số m để phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m +1 = 0 vô nghiệm

Hướng Dẫn:

Vậy phương trình trên vô nghiệm khi m ≠ 0

Bài 10: Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tìmnghiệm kép đó

Trang 7

Hướng Dẫn:

Phương trình có nghiệm kép 

Nghiệm kép là :

Vậy m  - 2 thì phương trình có nghiệm kép là

Bài 11:Cho phương trình ẩn x: (với m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được

Hướng Dẫn:

Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được

= m-1

Phương trình trên có nghiệm kép  =0

m-1=0

m=1Nghiệm kép là :

a)Giải phương trình khi m = 1

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 8

Nếu:

Do đó ’ 0,  m Vậy p/trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

a)Giải phương trình với m = 1

b)Với giá trị nào của m phương trình (2) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

Bài 14: Cho phương trình bậc hai: Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

Hướng Dẫn:

Phương trình (1) có nghiệm 

Trang 9

Vậy thì pt (1) có nghiệm

Bài 15: Cho phương trình: –3x2 + 2x + m = 0 với m là tham số

a)Giải phương trình khi m = 1

b)Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

a)Với m = 1 ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

b)Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Dạng 2: Tìm giá trị của tham số (m) để phương trình có 2 nghiệm thoã mãn hệ

Trang 10

Hướng Dẫn:

Ý 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Ta có

Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng và tích của 2 nghiệm.

Theo định lí Vi-ét:

Ý 3 Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình.

Giải phương trình (2) tìm được hai nghiệm:

Đối chiếu điều kiện (*)

Vậy m=1

VD3: Cho phương trình (1) (với m là tham số) Chứng minh PT

Hướng Dẫn:

Chia bài toán thành 3 ý

Ý 1: Chứng minh phương trình có hai nghiệm

Ta có

Suy ra

Do đó PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi giá trị m

Trang 11

Chia hai trường hợp.

VD4: Cho phương trình (1) (với m là tham số) Tìm giá trị m để PT có hai

Hướng Dẫn:

Ý 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Ta có

Vì Suy ra

Do đó PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi giá trị m

Trang 12

Tức là Do đó, PT có hai nghiệm khác 0 khi

Chia hai trường hợp.

VD5: Cho phương trình (1) (với m là tham số) Tìm giá trị m để PT

Trang 13

Vì Giả sử m=0 thì

Do đó

Bài tập áp dụng có lời giải:

Hướng Dẫn:

a)Có:

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Trang 14

Vậy thỏa mãn bài toán

a)Giải phương trình (1) khi

Hướng Dẫn:

b)Phương trình có hai nghiệm

(luôn đúng do

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có:

Thay vào đẳng thức bài ta được :

Trang 15

Vậy là giá trị cần tìm

a)Giải phương trình khi

b)Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của

Hướng Dẫn:

b)Ta có:

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của

c)Áp dụng định lý Vi-et ta có:

Theo bài ra ta có:

Do là nghiệm của phương trình

Bài 4: Cho phương trình với là tham số Tìm để phương trình

Hướng Dẫn:

a)Ta có:

Trang 16

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

Bài 5: Cho phương trình: ( là tham số) Tìm các giá trị của tham số

Hướng Dẫn:

ta có:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Trang 17

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có:

mà

Ta có:

mãn hệ thức

Hướng Dẫn:

Trang 18

b)Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Trang 19

Hướng Dẫn:

Theo hệ thức Vi-et ta có:

(thỏa)Vậy

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Trang 20

b)Phương trình ( là ẩn)

với mọi Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

Theo đề, ta có:

Hướng Dẫn:

Phương trình đã cho có hai nghiệm

Trang 21

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 22

Bài 10: Cho phương trình: ( là tham số)

Trang 23

Bài 11: Cho phương trình với là tham số Tìm giá trị của để phương

a)Giải phương trình đã cho khi

Hướng Dẫn:

b)

Để phương trình có nghiệm

Trang 24

Khi đó, áp dụng Vi-et

Ta có:

Hay

Vậy

Bài 13: Cho phương trình

a)Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Hướng Dẫn:

Trang 25

Bài 14: Cho phương trình ( là tham số) Tìm giá trị của để phương

Bài 15: Cho phương trình: ( là tham số) Chứng minh rằng phương

Trang 26

mãn điều kiện

Hướng Dẫn:

Xét phương trình

b)Xét phương trình (1) ta có

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

Áp dụng hệ thức Viet ta được:

1)Giải phương trình với

Hướng Dẫn:

Trang 27

1)Giải phương trình khi

Hướng Dẫn:

Phương trình

Trang 28

Để phương trình có nghiệm

Khi đó áp dụng Viet ta có:

Bài 20: Cho phương trình (với là tham số) Tìm các giá trị của để

Hướng Dẫn:

Phương trình đã cho có hai nghiệm

Khi đó phương trình có hai nghiệm

Theo định lý Vi-et ta có:

Ta có:

Trang 29

Bài 21: Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệtthỏa mãn

kiện

Hướng Dẫn:

a)Cho phương trình :

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Trang 30

Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán

Hướng Dẫn:

Trang 31

Bài 24: Cho phương trình: (ẩn x, tham số m) Tìm m để phương

Trang 32

Bài 25: Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm

Hướng Dẫn:

Phương trình

Có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1) ta có:

Bài 26: Cho phương trình (ẩn

a)Tìm để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

Trang 33

b)Tìm để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Hướng Dẫn:

a) Ta có:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Bài 27: Cho phương trình ( là tham số)

a)Giải phương trình với

b)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Hướng Dẫn:

b)Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Trang 34

c)Theo câu b) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, ápdụng hệ thức Vi-et ta có:

Hướng Dẫn:

b)Phương trình đã cho có hai nghiệm

(luôn đúng)

Trang 35

Theo đề bài ta có :

Bài 29: Cho phương trình ( là tham số) Tìm giá trị nguyên của

Trang 36

b)Xác định để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Hướng Dẫn:

Vậy nghiệm còn lại là

Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có:

Bài 31: Cho phương trình , với là tham số

1)Giải phương trình với

2)Tìm giá tri của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn

Hướng Dẫn:

2)Phương trình:

Trang 37

Có

Bài 32: Tìm các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm phânbiệt và thỏa

Hướng Dẫn:

ta có:

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ta có:

Trang 38

Kết hợp với điều kiện và nguyên ta có

Bài 33: Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Bài 34: Cho phương trình: ( là tham số) Chứng minh phương

thức:

Hướng Dẫn:

Trang 39

Ta có : nên phương trình luôn

điều kiện

Hướng Dẫn:

Trang 40

Vậy với thì tập nghiệm của phương trình là

b)

Có

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

Theo bài ta có:

a)Tìm điều kiện của để phương trình có nghiệm

Trang 41

b)Tìm sao cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Hướng Dẫn:

a)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ta có:

Theo đề ra ta có:

Trang 42

a)Phương trình có

Để phương trình (1) có nghiệm kép thì

b)Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

Bài 38: Cho phương trình bậc hai với là tham số

Trang 43

Để phương trình có nghiệm thì

Có

Bài 39: Cho phương trình: (với là tham số) Tìm tất cả các giá trị của để

Bài 40: Cho phương trình (1), với là ẩn, là tham số

là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

Hướng Dẫn:

Trang 44

b) Yêu cầu bài toán tương đươngphương trình có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn

Khi đó

Vậy phải tìm là

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

.

Hướng Dẫn:

.Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 45

Bài 42: Cho phương trình: (*) ( là tham số)

Hướng Dẫn:

Ta có:

Trang 46

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Bài 43: Cho phương trình: ( là tham số )(1)

Hướng Dẫn:

Trang 47

và Theo đề bài ta có phương trình :

Vậy

Bài 44: Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình

Trang 48

Vậy thì

Bài 45: Cho phương trình với là tham số Tìm tất cả các giá trị

Trang 49

Vậy hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 46: Cho phương trình: (1), m là tham số

1)Tìm m để x = 2 là nghiệm của phương trình (1)

Hướng Dẫn:

2)Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Theo định lý Viet, ta có:

mãn

Trang 50

Bài 47: Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt ; ; ; thỏa:

Bài 48: Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình có hai

Trang 51

Bài 49: Cho phương trình (m là tham số) Tìm giá trị của m để

Hướng Dẫn:

Để có hai nghiệm phân biệt thì

Theo Vi-et thì

Ta có:

Bài 50: Tìm để phương trình ( là ẩn, là tham số) có hai nghiệm

Trang 52

(Do với mọi )

b)Xác định các giá trị của tham số để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Trang 53

Vậy thỏa mãn đề.

b)Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm ; thỏa mãnđiều kiện

Trang 54

(Thỏa mãn)

a)Tìm để phương trình có một nghiệm bằng và tìm nghiệm còn lại

Hướng Dẫn:

b)Gọi ; là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo định lí Vi-et ta có

Phương trình có hai nghiệm dương

(bình phương hai vế)

Trang 55

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 54: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có

Trang 56

b)Tìmtấtcảcácgiátrịcủa m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Áp dụng tính được:

Kết hợp với (2),(3) ta có hệ phương trình:

Trang 57

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 57: Cho phương trình trong đó là tham số

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Trang 58

Kết hợp với đề bài, ta có hệ

(thỏa)

Bài 58: Cho phương trình ( là ẩn số và là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của để

Hướng Dẫn:

Ta có:

b)

Ta có:

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:

Trang 59

Mà nguyên dương nên

Bài 59: Cho phương trình bậc hai là tham số

b) Tính giá trị m để phương trình (1) có nghiệm

Hướng Dẫn:

Trang 60

b) Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Hướng Dẫn:

Ta có:

b)

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:

Trang 61

Bài 61: Cho phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

Hướng Dẫn:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì ∆= 9 - 4m > 0  m <

Theo Viet ta có: x1 + x2 = -1; x1 x2 = m -2

Khi m < thì pt có 2 nghiệm phân biệt nên

Ta có

Bài 62: Cho phương trình: (x là ẩn, m là tham số) (1)

a Giải phương trình (1) với m = 1

b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ||x1| – |x2|| = 6

Vậy tập nghiệm của (1) là {–1;5}

Trang 62

Bài 63: Cho phương trình x2 – (m2 + 3)x + 2m2 + 2 = 0 (x là ẩn, m là tham số) (1).

a Giải phương trình (1) với m =

-b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

Hướng Dẫn:

Tính được ∆’ = 1

b) Khẳng định được phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = 2; x2 = m2 + 1 khi m ≠ 1 và m ≠ -1

Trang 63

Kết luận: Với m ≠ -1; m ≠ 0 và m ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Bài 64: Cho phương trình (1), m là tham số

1) Giải phương trình (1) khi m = -3

Hướng Dẫn:

1) Giải phương trình (1) khi m = -3

Khi m =-3 (1) trở thành :

PT có 2 nghiệm phân biệt

Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt : x = -8, x =2

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆’ > 0

(luôn đúng)

=> thì PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi –ét và đầu bài cho ta có :

Trang 64

Thay x1, x2 vào (*) ta có :

Bài 65: Cho phương trình x2 – (5m – 1) x + 6m2 – 2m = 0 (m là tham số)

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Hướng Dẫn:

a)Ta có

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b)Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có:

Ta có:

Trang 65

Vậy m = 0 hoặc m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 66: Cho phương trình x2 + mx + 1 = 0 (1), m là tham số

a Giải phương trình (1) khi m = 4

b.Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

Tiêu đề	Chuyên đề Định Lí Vi-Ét
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	133
Dung lượng	6,57 MB