Tìm m để đường thẳng d: y= −x+m cắt C tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của C tại hai điểm đó song song với nhau.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam g
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III Năm học: 2013-2014
Môn thi : TOÁN Khối : A, A1 và B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
1
3 2 +
−
=
x
x
y có đồ thị (C)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b Tìm m để đường thẳng d: y= −x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 3x−3sin 2x−cos 2x+3sinx+3cosx− =2 0
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
x x y y y
y x y x y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 1
(1 )
e
x
=
+
∫
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD Chứng minh AM vuông góc với BN và tính thể tích hình chóp M.ABND biết SC=a 2
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x ,,y z là các số dương thay đổi thỏa mãn x+y+ 2z= 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ABC cân tại A có chu vi là 18 Cạnh AB nằm trên đường thẳng ∆: 3 7x−y−3 7 =0; điểm B, C∈Ox; điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau
Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y−z+1=0 và đường thẳng d:
3
1 1
1 1
2
−
−
=
−
−
=
−
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng 3 2
Câu 9a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn: 2z = z+z+2 và số phức w= z−2có mô đun nhỏ nhất Tìm một Argument của số phức z biết phần ảo của z là một số âm
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elíp có phương trình 2 1 , ( 0 )
2 2
2
>
>
=
b
y a
x
, biết trục lớn bằng hai lần trục bé và đường tròn nội tiếp tứ giác tạo bởi bốn đỉnh của Elíp có bán kính bằng 2 Tìm tâm sai của Elip
Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có
x y z
− Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d sao cho
khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Câu 9b (1,0 điểm) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số
5 lập được từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số trong X Tính xác suất để số đó chia hết cho 5.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………; Số báo danh: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III
Trang 2TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Năm học: 2013-2014
Môn thi : TOÁN Khối : A, A1 và B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
1 Cho hàm số
1
3 2 ) (
+
−
=
=
x
x x f
*Tập xác định: R\{-1}
*Sự biến thiên:
) 1 (
5 ' 2 >
+
=
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
-Giới hạn và tiệm cận:
⇒
=
= +∞
→
−∞
x
⇒
−∞
= +∞
−
x
xlim1 ; lim1 x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
-Bảng biến thiên
x − ∞ -1 + ∞
y’ + +
+ ∞ 2
y
2 − ∞
-Đồ thị: y x -3 O 3 2 -1 2 Nhận xét: Đồ thị nhận I(-1;2) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 0,25 b Tìm m để đường thẳng d: y= −x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau 1,0 -PT hoành độ giao điểm của d và (C): ( ) ( 3 ) 3 0 1 3 2 2 = − − − − = ⇔ + − = + − m x m x x g m x x x d cắt (C) tại hai điểm phân biệt m g ⇔ ∀ ≠ − > ∆ ⇔ 0 ) 1 ( 0 Gọi x1, x2là hoành độ hai giao điểm ⇒ x1+x2 =m− 3 (1)
0,25
0,25
Trang 3Theo bài ra tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau nên
) 1 (
5 )
1 (
5 '
) (
2
2 1 2
+
= +
⇒
x x
x f x
Từ (1) và (2) ta có m− 3 = − 2 ⇔m= 1
0,25 0,25
2 Giải hệ phương trình: sin 3 x−3sin 2x−cos 2x+3sinx+3cosx− =2 0 1,0
sin 3x−3sin 2x−cos 2x+3sinx+3cosx− = ⇔2 0
(sin 3x+sin ) 2sinx + x−3sin 2x−(cos 2x+ −2 3cos ) 0x =
2 2sin 2 cosx x 2sinx 6.sin cosx x (2 cos x 3cosx 1) 0
2sin cosx x 2sinx 6sin cosx x (2cos x 3cosx 1) 0
x= ⇔ = +x π k π x= π +k π
x= ⇔ = ± +x π k π
+) cosx= ⇔ =1 x k2π
KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên.
0,25
0, 5
0,25
3 Giải hệ phương trình:
2
x x y y y
y x y x y
Dễ thấy y≠0, ta có:
2
2
1
4
x
x y
x y
y
Đặt
2 1 ,
x
y
+
+) Với v=3,u=1ta có hệ:
x y
+ = ⇔ + − = ⇔
+) Với v= −5,u=9ta có hệ:
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2) và ( 2;5)−
0,25
0,25
0,25
0,25
4 Tính tích phân:
2 1
(1 )
e
x
=
+
Ta có:
2
2
=
2 2
−
+ Ta có:
2
1
e
=
1
e
0,25
0,25
Trang 4Vậy
2 ln
I
−
0,5
5
Cho S.ABCD có đáy là hình vuông, ∆SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy Gọi M, N, lần lượt là trung điểm SB, CD Chứng minh AM ⊥ BN và tính
thể tích hình chóp M.ABND biết SC=a 2
1,0
I
E
N
M
B
H
S
A
Gọi H là trung điểm AD⇒SH ⊥ AD⇒SH ⊥(ABCD)
Gọi E là trung điểm BC khi đó ta có: ∆ABE =∆BCN⇒ AE ⊥BN
Gọi I = AE∩BH ⇒MI//SH ⇒MI ⊥(ABCD)⇒MI ⊥BN
AM BN AME
Trong SDC∆ vuông cân tại D nên ta có: 2SD2 =SC2 ⇒SD=a,
2
3
a
SH =
⇒
4
3 4
2 2
a S
S
S ABND = ABCD − BCN = − =
⇒
Mà
16
3
3
1 4
3 2
.
a S
MI V
a MI SH
MI = ⇒ = ⇒ M ABND = ABND =
0,25 0,25
0,25
0,25
6 Cho x ,,y z>0, x+y+ 2z= 3.Tìm MinP = 2 2 2 2 2 2
4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
3 3 3 2 2 2 2
2
(
3 x + y + z = x+y+ z x + y + z =x + y + z
) 4 2
( 3 2 4
) 2 8 ( ) 4 ( ) (x3 +xy2 + y3 + yz2 + z3 + zx2 + xz2 +x2y+ y2z≥ x2y+ y2z+ z2x
=
x z z y y x z y
x2 + 2 + 4 2 ≥ 2 + 2 2 + 4 2
4
4
xy yz zx
P x y z
x y z
4
x y z
P x y z
x y z
Đặt t=x2+y2+4z2 Do 32 = + +(x y 2 )z 2 ≤3(x2+y2+4 )z2 ⇒ ≥t 3
9 2
t
P t
t
−
⇒ ≥ + Xét hàm số ( ) 9 , 3
2
t
f t t t
t
−
Ta có
2
t
+
0,25
0,25
0,25
Trang 5x d
N H
M
C B
A
1
2
2
MinP= ⇔ = =x y z=
0,25
7a
∆ABC cân tại A, 2p= 18 A, B∈∆: 3 7x−y−3 7 =0; B, C∈Ox; điểm A có tung
độ dương Viết PT d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác
ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau
1,0
Ta có B=∆∩Ox⇒B(1;0) Kẻ AH ⊥ BC
Gọi A(a;3 7a−3 7)⇒H(a;0)⇒C(2a−1;0)
Từ gt ⇒a>1
) 1 ( 2 ),
1 (
=
=
2 18
) 1 (
= + +
) 0
; 3 ( ), 7 3
; 2
A
Đặt BM = x⇒BN =9−x⇒7≤x≤8
Mà
2
1
2
=
BC BA
BN BM S
S ABC BMN
8 2
1 2 8
) 9
⇒ x x x ⇒M(2;3 7)≡ A,N(2;0)≡ H
Vậy PT đường thẳng d:x−2=0
0,25
0,25
0,25
0,25
8a (P): x+ y−z+1=0 và d:
3
1 1
1 1
2
−
−
=
−
−
=
−
, I =d∩(P) Viết PT đường thẳng
∆ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng 3 2
1,0
• (P) có véc tơ pháp tuyến n=(1;1;−1) và d có véc tơ chỉ phương u1 =(1;−1;−3)
) 4
; 2
; 1 ( ) (P I d
I = ∩ ⇒
• vì ∆⊂(P);∆⊥d ⇒∆ có véc tơ chỉ phương u =[ ]n;u1 =(−4;2;−2)=−2(2;−1;1)
• Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ Khi đó do IH ⊂(P),IH ⊥∆⇒véc tơ chỉ phương
của IH là u2 =[ ]n;u =(0;3;3)=3(0;1;1)⇒Phương trình
+
=
+
=
=
t z
t y
x IH
4 2
1 :
)
;
; 0 ( )
4
; 2
; 1
−
=
=
⇔
=
⇔
=
3
3 2
3 2 2
t
t t
IH
+ Với
1
7 1
5 2
1 : )
7
; 5
; 1 ( 3
−
−
=
−
=
−
−
∆
⇒
⇒
t
+ Với:
1
1 1
1 2
1 : )
1
; 1
; 1 ( 3
−
−
=
+
=
−
−
∆
⇒
−
⇒
−
t
0,25
0,25
0,25
0,25
9a Cho số phức z thỏa mãn: 2z = z+z+2 và số phức w=z−2có mô đun nhỏ nhất
Tìm Argumen của số phức z biết phần ảo của z là một số âm
1,0
Gọi số phức có dạng: z=a+bi⇒z =a−bi; a,b∈R;b<0
Theo bài ra: 2z = z+z+2 ⇔ 4a2 +4b2 = (2a+2)2 ⇔b2 =2a+1
Mà w = z−2 = (a−2)2 +b2 = a2 −2a+5 = (a−1)2 +4
0,25
0,5
Trang 6⇒ w nhỏ nhất khi a=1⇔a=1⇒b=− 3⇒z =1− 3i
Ta có: = − = − 2 =2cos −3 + .sin −3
3 2
1 2 3
z
Vậy số phức z có một Argumen bằng
6
π
−
0,25
7b
Cho (E): 2 1 , ( 0 )
2 2
2
>
>
=
b
y a
x
, biết trục lớn bằng hai lần trục bé và đường tròn nội tiếp tứ giác tạo bởi bốn đỉnh của Elíp có bán kính bằng 2 Tìm điểm M thuộc Elíp sao
cho ∆MFF' có diện tích bằng 2 15 (F , F' là hai tiêu điểm của Elíp).
1,0
M
y
x
H
B'
B
Gọi 4 đỉnh của (E) là A,A’,B,B’ (hình vẽ) Theo bài ra ta có a=2b⇒a2 =4b2 (1)
Gọi H là hình chiếu của O trên AB⇒OH là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác
ABB’A’
4
1 1 1 1
1 1
=
⇒
b a OH OB
OA
Từ (1) và (2) ta có a2 =20,b2 =5⇒c2 =15
Vậy tâm sai của Elip :
2
3 20
15 =
=
=
a
c e
0,25
0,25 0,25 0,25
8b Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d :
x y z
phẳng (P) đi qua A, song song với d sao cho khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
1,0
* Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d =>H cố định và AH = const Do (P)//d
nên khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (p)
* Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên (P) ⇒d( ,( ))H P =HI≤HA⇒HI lớn nhất
⇔ A≡I => (P) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT
) 3 1
;
; 2 1
H d
H∈ ⇒ + + vàAH ⊥d ⇒ AH.u=0(u=(2;1;3) là véc tơ chỉ phương
của d) ⇒H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5)
Vậy phương trình (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
⇔ 7x +y - 5z -77 = 0
0,25 0,25
0,25 0,25 9b X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 lập được từ 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số trong X Tính xác suất để số đó chia hết cho 5
1,0
-Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5, bốn chữ số còn lại có A cách chọn nên có 564
4 6
A số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên)
-Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên: Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5,
3 chữ số còn lại có A cách chọn nên có 453 3
5
A số.
0,25
Trang 7Nên trong tập X có: 3
5
4
5A − A =1560(số)
Gọi abcde là số được chọn trong X Để số đó chia hết cho 5 thì:
+ e = 0 Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, 3 chữ số còn lại có 3
5
A cách chọn
nên có 4A số 53
+ e=5 Khi đó a có 5 cách chọn; b, c, d có 3
5
A nên có 3
5
5A số
⇒Trong tập X có: 4A +53 3
5
5A =560 số
Vậy xác suất cần tìm là:
26
9 1560
540 =
0,25
0,25
0,25