Tài liệu số Trung tâm Thông tin Học liệu và Truyền thông: Browsing DSpace

Microsoft Word TOM TAT LUAN VAN doc BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN HẢI KHÔNG GIAN D Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng Năm[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đà Nẵng - Năm 2013

Cô g trìn đư c h àn thàn tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngư i hư n dẫn k oa học : TS CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: PGS.TS Huỳn Thế Ph ng

Luận văn đã đư c bảo vệ trư c Hội đ n chấm Luận văn tốt

n hiệp Thạc sĩ Kh a học họp tại Đại học Đà Nẵn vào n ày 1thán 1 năm 2 1

Có thể tm hiểu luận văn tại :

- Tru g tâm Th n tn - Học lệu,Đại học Đà Nẵn

- Thư viện Trư n Đại học Kin tế,Đại học Đà Nẵn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Không gian C thích hợp để mô tả các quá trình ngẫu nhiên như quá trình Poisson, nhưng không được thuận lợi để nghiên cứu chuyển động Brown vì nó chứa các hàm bước nhảy Chính vì lý do

đó, người ta khảo sát không gian D, không gian các hàm liên tục phải

và có các giới hạn bên trái Để nghiên cứu và tìm hiểu rõ hơn sự mở rộng này và các ứng dụng của nó tôi chọn việc nghiên cứu không gian

D để làm đề tài luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình Mặc dù còn nhiều hạn chế trong việc tiếp cận các khái niệm mới của toán học

hiện đại, nhưng tôi vẫn cố gắng thực hiện thành công đề tài “Không gian D” để kết thúc bậc cao học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu không gian các lớp hàm liên tục phải và có các giới hạn trái Đề tài cũng khảo sát về tôpô Skorohod, tính compact trong D và các tập hữu hạn chiều, sau đó đề tài cũng khảo sát về sự hội tụ yếu và tính tight trong D

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ của đề tài là khảo sát từ tính chất hình học đến tôpô của không gian D Tính tight, compact và sự hội tụ yếu cũng được đề tài quan tâm khảo sát

4 Phương pháp nghiên cứu

Tập hợp các tài liệu liên quan đến không gian D, trong các sách chuyên khảo và trên mạng internet Sau đó, sắp xếp các kiến thức theo trình tự phù hợp để hoàn thành luận văn theo nội dung đã vạch ra

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận văn là một tài liệu tham khảo về không gian D và các vấn đề liên quan Nó có thể được sử dụng để khảo sát một số vấn đề trong xác suất hiện đại

CHƯƠNG 1

MÔ TẢ HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN D

Không gian C (không gian các hàm thực liên tục trên [0,1]) thích hợp để mô tả các quá trình ngẫu nhiên như quá trình Poisson, nhưng không được thuận lợi để nghiên cứu chuyển động Brown vì nó chứa các hàm bước nhảy Trong chương này chúng ta nghiên cứu sự hội tụ yếu trong một không gian bao gồm các hàm không liên tục

Một hàm x được gọi là gián đoạn loại 1 tại t nếu tồn tại x(t-)

và x(t+) nhưng khác nhau và x(t) nằm giữa chúng Bất kỳ sự gián đoạn của một phần tử của D là thuộc loại 1 và x(t) = x(t+) Tất nhiên, C[0 ;1] là một tập hợp con của D, (C[0 ;1] là tập các hàm số liên tục trên [0 ;1])

Bổ đề 1 Đối với mỗi x trong D và mỗi ε dương tồn tại những điểm t 0 , t 1 , , t r , sao cho:

Ta kí hiệu Λ là lớp các hàm từ [0,1] lên chính nó tăng thực sự

và liên tục Nếu λ∈ Λ thì λ(0) 0= và λ(1) 1= Đối với x và y trong

D, xác định d(x, y) là cận dưới đúng những ε dương mà tồn tại λ

trong Λ sao cho

supt λt− ≤ (1.12)t ε

và

supt x t( )−y( )λt ≤ε (1.13) Theo (1.5), d(x, y) là hữu hạn (lấyλ t ≡ t) Rõ ràng, d(x, y)

1

supt λ−t− =t supt λt− t

và supt x(λ− 1t)−y t( ) =supt x t( )−y( )λt

Nếu λ1 và λ2 nằm trong D, thì hàm hợp λ λ1. 2 cũng nằm trong D; bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn do:

supt λ λ t − ≤ t supt λ t − + t supt λ t − t

và sup ( ) x t − z ( λ λ1 2t ) sup ( ) ≤ x t − y ( ) sup λ1t + y t ( ) − z ( λ2t )

Do đó, d là một metric

Metric này xác định một tôpô và nó được gọi là tôpô Skorohod Khoảng cách đều giữa x và y có thể được xác định là cận dưới đúng của những ε dương mà sup ( )t x t −y t( )≤ ε

Các phần tử xn của D hội tụ về giới hạn x trong tôpô Skorohod nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm λn trongΛsao cho lim (n n ) ( )

n x λt =x t

đều theo t và lim n

n λt=t đều theo t Nếu xn hội tụ đều tới x, thì nó hội

tụ trong tôpô Skorohod (lấy λn t≡ ) Mặt khác, có sự hội tụ t

Với metric d ở trên thì không gian D là không gian không đầy

và vì vậy {xn} là dãy cơ bản theo metric d, mặc dù nó không hội tụ Chúng ta sẽ giới thiệu trong D một metric khác là metric d0, metric này tương đương với d, nhưng với metric d0 thì D là đầy đủ

Nếu λ là một hàm không giảm trên [0,1] với λ (0) 0 = và

Nếu λ là hữu hạn, thì độ dốc các cung của λ là bị chặn Do

đó nó là liên tục và tăng ngặt và do đó thuộc Λ

Cho d0(x, y) là cận dưới đúng của những ε dương mà trong

Λ có chứa một λ nào đó với

d x y < (1.22)

So sánh (1.15) và (1.21) suy ra không có bất đẳng thức theo chiều ngược lại với (1.22) Bổ đề sau đây, cho thấy, d0(x, y) là bé nếu d(x, y) và wx'( ) δ cả hai đều bé

Bổ đề 2 Nếu d x y( , )<δ2, trong đó 0 1

4δ

< < , thì

Định lý 1.1 Các metric d và d 0 là tương đương

Định lý 1.2 Với metric d0 thì không gian D là đầy đủ.

1.3 TÍNH COMPACT TRONG D

Chúng ta trở lại vấn đề đặc trưng của các tập hợp con compact của D Với môđun w'x( ) δ được xác định bởi (1.6), chúng ta có một tính chất tương tự của định lý Arzela-Ascoli

Định lý 1.3 Một tập hợp A có bao đóng compact trong tôpô

skorohod nếu và chỉ nếu

1.4 ĐẶC TRƯNG THỨ HAI CỦA TÍNH COMPACT

Mặc dù các môdunw '( ) δ là tự nhiên theo nghĩa nó dẫn đến một đặc trưng đầy đủ của các tập hợp compact, một tính chất đôi lúc

rõ ràng hơn, nghĩa là:

w " ( ) sup min{ ( )x δ = x t − x t ( ) , (1 x t2− x t ( )}, (1.44) trong đó cận trên đúng mở rộng trên t1, t và t2 thỏa mãn

t1≤ ≤t t2, t2− ≤ t1 δ (1.45) Với δ và ε cho trước, phân hoạch [0,1) thành các khoảng con [si-1, si) sao cho si − si−1> δ và w sx[ i−1, ) si < w ' ( )x δ + ε Nếu (1.45) nghiệm đúng thì hoặc là t1 và t2 nằm trong cùng một khoảng con [si-1, si), trong trường hợp đó x t( )−x t( )1 <w' ( )x δ +εvà 2

Có thể không có bất đẳng thức theo chiều ngược lại Ví dụ,

Do {xn} có bao đóng compact trong trường hợp ngược lại thì

có thể sẽ không có điều kiện compact liên quan đến một hạn chế trên

" ( )x

w δ , tuy nhiên, có thể thiết lập điều kiện tính compact theo thuật ngữ củaw " ( )x δ và hành vi của x cận 0 và 1

Định lý 1.4 Một tập hợp A có bao đóng compact trong tôpô

Skorohod nếu và chỉ nếu

supx A∈ supt x t ( ) < ∞ (1.49)

và

0

0 0

δ δ δ

δ δ δ

1 ( ) ( ( ), , ( )1 )

k

t t x x t x t k

π = (1.57) 0

π và π1 liên tục hầu khắp nơi Giả sử 0 < t < 1 Nếu các điểm

xn hội tụ về x trong tôpô Skorohod và x là liên tục tại t, thì

n

x t x t Mặt khác, giả sử rằng x đó là gián đoạn tại t Nếu λn

là phần tử của Λ, nghĩa là tuyến tính trên [0, t] và [t, 1] và thỏa mãn

1 /

n t t n

λ = − , và nếu x sn( ) ≡ x ( λns )thì xn hội tụ về x trong tôpô Skorohod nhưng xn(t) không hội tụ về x(t) Như vậy: Nếu 0 < t <1 thì t

π liên tục tại x khi và chỉ khi x liên tục tại t

đo Lebesgue bằng 0 Do xn bị chặn đều,

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ YẾU VÀ TÍNH TIGHT TRONG D

2.1 CÁC PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU

Đối với một độ đo xác suất P trên (D, D) Cho Tp chứa những t trong [0,1] mà phép chiếu πt liên tục ngoại trừ những điểm tạo thành một tập hợp có P-độ đo bằng 0 Điểm 0 và 1 luôn luôn nằm trong Tp Nếu 0 < t < 1, thì t ∈ TP khi và chỉ khi P (Jt) = 0,

Jt = { : ( ) x x t ≠ x t ( )} − (2.1)

là tập hợp những x gián đoạn tại t, với 0 < t < 1, πt liên tục tại x khi

và chỉ khi x liên tục tại t

Một phần tử của D có nhiều nhất một số đếm được các bước nhảy Chúng ta chứng minh P(Jt) > 0 với nhiều nhất đếm được các giá trị t Cho Jt (ε) là tập hợp của x có tại t một bước nhảy x t( )−x t( )−

vượt quá ε Với ε và σ cố định dương, có nhiều nhất hữu hạn các điểm t mà P(Jt(ε ))≥δ , do bất đẳng thức này nên với một dãy các điểm phân biệt t1, t2, , thì tập hợp limsupnJt k( ) ε sẽ có độ đo ít nhất là δ và do đó sẽ không rỗng, điều này mâu thuẫn với thực tế rằng với mỗi x, bước nhảy có thể vượt quá ε tại hữu hạn điểm Với một ε dương cố địnhP J( t( )ε ) có thể khác 0 với nhiều nhất là đếm được các điểm t Vì P J( t( )ε )↑P J( )t khi ε ↓ 0, ta có kết quả sau

Như vậy: Tp chứa 0 và 1 và phần bù của nó trong [0,1] là không quá đếm được Nếu tất cả t1,……tk, đều nằm trong TP thì

1 [0, ) 2

I và Pn , một khối lượng đơn vị tại

n

Pπ− ⇒Pπ− là không đúng

(ii) Với mỗi ε và η dương, tồn tại một δ , 0 < < δ 1, và một số nguyên n 0 sao cho

P xn{ : w ' ( )x δ ≥ ε } ≤ η, n≥n0 (2.6)

Sử dụng Định lý 1.4 và Định lý 1.3 ta có một tập hợp thứ hai các điều kiện thứ hai về tính tight

Định lý 2.3 Dãy {Pn } có tính tight khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây nghiệm đúng:

(i) Với mỗi η dương, tồn tại một a sao cho

P J = Cuối cùng giả sử rằng, với mỗi ε và η dương, tồn tại δ,

0< <δ 1, và một số nguyên n 0 sao cho

P x δ ≥ ε ≤ η, n ≥ n0 (2.11)

Khi đó, P n ⇒P

Định lý 2.5 Giả sử rằng, với mỗi số η dương, tồn tại một a sao cho

P x x n{ : (0) >a}≤η,n ≥ 1 (2.17) Giả sử thêm rằng, với mỗi ε và η dương, tồn tại một δ ,

0< <δ 1, và một số nguyên n 0 sao cho

P xn{ : w ( )x δ ≥ ε } ≤ η, n ≥ n0 (2.18) Thì P n có tính tight, và, nếu P là giới hạn yếu của một dãy con {P n } thì P(C) = 1

2.3 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG D

Chúng ta thường gọi một phần tử ngẫu nhiên của D là một hàm ngẫu nhiên Nếu X là một ánh xạ từ (Ω,B,P) vào D thì với mỗi ω,

( )

X ω là một phần tử của D mà giá trị của nó tại t được ký hiệu bởi

( , )

X tω Với mỗi t, X(t) biểu thị là hàm thựcπtX trên Ω giá trị của

nó tại ω là X t ( , ) ω Như trong không gian C, X là một phần tử ngẫu

nhiên của D(X-1D⊂B ) khi và chỉ khi với mỗi t, X(t) là một biến ngẫu

nhiên

Một dãy {Xn} các phần tử ngẫu nhiên của D được gọi là có tính tight nếu dãy các phân phối tương ứng có tính tight Mỗi một định lý từ định lý 2.1 đến 2.5 có thể thiết lập lại tương tự cho các hàm ngẫu nhiên

Cho Xn và X các là phần tử ngẫu nhiên của D Viết TX cho TP,

mà P là phân phối của X Vì vậy TX có chứa 0 và 1, và nếu 0 < < t 1,

α > , và F là hàm liên tục không giảm trên [0,1] Khi đó, Xn→D X

2.4 TIÊU CHUẨN HỘI TỤ

Định lý 2.7 Tồn tại trong D một phần tử ngẫu nhiên với các

phân phối hữu hạn chiều

với t1≤ ≤ t t2, khi γ ≥ 0, 1

2

α > và F là một hàm liên tục không giảm trên [0,1] và giả sử

2.5 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊU TÁCH ĐƯỢC

Định lý 2.8 Nếu { ξt: 0 ≤ ≤ t 1 } là một quá trình ngẫu nhiên tách được, và nếu tồn tại trên (D, D) một độ đo xác suất có phân phối

hữu hạn chiều giống như { } ξt thì các đường dẫn mẫu, với xác suất 1, liên tục phải tại t = 0, có giới hạn trái tại t = 1 và liên tục trên (0,1) trừ các điểm gián đoạn loại 1.

Một ví dụ cho thấy không thể tiếp tục và chứng minh rằng các đường dẫn phải liên tục trong D (với xác suất 1): Xác định

lý

CHƯƠNG 3 CÁC ÁP DỤNG

với mỗi E trong B 0 Giả sử thêm rằng tất cả E n nằm trong σ(B 0 ) Nếu

P 0 là liên tục tuyệt đối đối với P, một độ đo xác suất thứ hai trên B,

thì P E0( )n →α (3.6)

Định lý 3.3 Định lý 3.1 vẫn đúng nếu P được thay thế bởi một

độ đo xác suất P 0 liên tục tuyệt đối đối với P

Định lý 3.4 Giả sử ξn độc lập và có một hàm phân phối chung F(t) Nếu x n được xác định bởi (3.14),do đó

Y n →D Y, (3.15)

Trong đó Y là phần tử ngẫu nhiên Gaussi của D, đặt trưng bởi

3.2 THỜI GIAN BIẾN ĐỔI NGẪU NHIÊN

Đôi khi người ta cần một phân phối gần đúng cho một tổng

Giả sử các tổng riêng S n =ξ1+ + ξnvới một chỉ số n không ngẫu nhiên, tuân theo định lý giới hạn trung tâm, cùng với thừa số chuẩn σ n, sao cho:

Để trình bày một định lý giới hạn, xét dãy {νn} của các số nguyên ngẫu nhiên Chúng ta xét điều kiện sau:

khi n → ∞ Thật không dễ để đưa ra giả thiết rằng νn tiến đến vô cùng theo xác suất, theo nghĩa:

P{νn≤α}→0,n→ ∞ (3.19) với mỗi α Giả sử ξn là độc lập và lấy giá trị +1 và -1, với xác suất 1

2, cho mỗi trường hợp ,để (3.17) nghiệm đúng với σ = 1 Nếu νn là giá

trị thứ n của k mà Sk = 0, khi đó (3.19) nghiệm đúng (vì

1 1

νn ≥νn− + ) nhưng (3.18) thì không đúng (vì Sν =0)

Để có (3.18), chúng ta phải giả thiết nhiều hơn (3.19) Kết quả

cơ bản cuối cùng vẫn là (3.18) nghiệm đúng nếu νn/n … hội tụ theo xác suất tới một biến ngẫu nhiên dương và hữu hạn và nếu ξn là độc lập và có cùng phân phối với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai

σ2 Chúng ta có kết quả này từ định lý giới hạn trung tâm thuộc hàm

mà nó có nhiều thông tin hơn

Xác định một phần tử ngẫu nhiên Xn của D bởi

Phân phối của hàm ngẫu nhiên như Yn được khảo sát một cách

dễ dàng bằng cách vận dụng từ Xn với sự thay đổi thời gian ngẫu nhiên Đặt Φn( , )t ω =ν[ ]nt ( ) /ω n Do

Y tn( , ) ω = Xn( Φn( , ), t ω ω ) (3.20) (Chúng ta giả thiết mômen νn ≤n, sao cho Φn( , ) 1t ω ≤ ), Yn là

Xn với phạm vi thời gian phụ thuộc vào sự thay đổi do hàm ngẫu nhiên

Rõ ràng để hợp lý trong lý luận mục này, trước hết chúng ta xét thay đổi

thời gian ngẫu nhiên trong trường hợp tổng quát Giả sử mỗi Xn và Φn

hội tụ theo phân phối và tìm điều kiện mà theo đó Yn được xác định bởi (3.20), hội tụ theo phân phối

Cho D0 gồm các phần tử φ của D mà nó không giảm và thỏa mãn 0 ≤ φ(t) ≤ 1 với mọi t Một φ như vậy thể hiện một phép biến đổi trong khoảng [0,1] Chúng ta tôpô hóa D0 bởi tôpô liên quan với tôpô Skorohod của D Do D0 ∈ D, dễ chỉ ra σ- trường D0của tập Borel trong D0 bao gồm các tập con của D0 nằm trong D

Với x∈D và φ∈D0, cho xoφ là hàm hợp của x và φ là hàm trên [0,1] có giá trị tại thời điểm t là

( x o ϕ )( ) t = x ( ϕ ( ) t ) (3.21) Lúc này xoϕ nằm trên D, và nếu ψ : D × D0 → D được xác định bởi

ψ( , )xϕ = ox ϕ (3.22) thì ψ là đo được

Cho X là một phần tử ngẫu nhiên của D và cho Φ là một phần

tử ngẫu nhiên của D0 Giả sử X và Φ có cùng miền xác định sao cho (X,Φ) là một phần tử ngẫu nhiên của D × D0 với tôpô tích Nếu XoΦ

có một giá trị X( )ω oΦ( )ω (ω) tại w kéo theo, nếu XoΦ =ψ( , )X Φ , khi đó XoΦ là một phần tử ngẫu nhiên của D, XoΦ kết quả có được

là do sự phụ thuộc Xvào sự thay đổi thời gian tương ứng bởi Φ Giả sử rằng, thêm vào X và Φ chúng ta có với mỗi n, X n và

Φ lần lượt là các phần tử ngẫu nhiên của D và D0, X n và Φn có cùng miền xác định (có thể biến thiên với n) Ta cần các điều kiện mà

x Cvà ϕ⊂ ∩D0 Nếu xn hội tụ tới x và φn hội tụ tại φ trong tôpô Skorohod, và nếu x và φ nằm trong C, tính hội tụ trong mỗi trường hợp là đều Nhưng

supt x n ϕn( )t −x ϕ( )t ≤supt x t n( )−x t( ) sup+ t x ϕn( )t −x ϕ( )t

do x là liên tục đều, x noϕn hội tụ đều về xoϕ và trong tôpô Skorohod, (3.25) được chứng minh

Y n →D W

(3.28)

3.3 LÝ THUYẾT ĐỔI MỚI

Có thể vận dụng những ý tưởng này để suy ra định lý giới hạn trung tâm hàm liên quan đến lý thuyết đổi mới Cho η η1, , 2 là dãy các biến ngẫu nhiên dương và xác định

3 2