VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO 10 Dạng 1 Chứng minh các điểm thuộc đường tròn Phương pháp Cách 1[.]
Trang 1CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO 10 Dạng 1: Chứng minh các điểm thuộc đường tròn
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD
Do ABCD là hình thoi nên ta có AC ⊥ BD
Ta có BAD=600 nên BAO=300 (tính chất đường chéo hình thoi)
Tam giác ABO vuông tại O có 0 a
OB ABsinBAO OB a.sin 30
2
Xét tam giác vuông ABO có ABO+BAO=900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO=300suy
ra ABO=600 hay EBO=600
Trang 2Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC ta có OB = OF (2)
Chứng minh tương tự với các tam giác vuông COD ta có OD = OG (3)
Chứng minh tương tự với các tam giác vuông DOA ta có OD = OH (4)
Mà OD = OB ( vì O là tâm của hình thoi ABCD) nên kết hợp với (1), (2), (3),(4) ta có:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu của D lên BC
là E, điểm đối xứng của E qua BD là F Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn đó
Trang 3Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên
2
(3)
Từ (1), (2), (3)OA=OB=OD=OE=OF Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên
một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC
Dạng 2:Tứ giác nội tiếp
Phương pháp
Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai
đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện
Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối
diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp
Giải
Trang 4
Gọi O là trung điểm của BC Xét BB’C có : BB'C=900 (giả thiết)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
OB’ = OB = OC = r (1)
Xét BC’C có : BC'C=900 (giả thiết)
Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C
và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F( F ở giữa B và E)
1 Chứng minh: ABD = DFB
2 Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp
Giải
Trang 51) ADB có ADB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
BDF vuông tại D
oDBF DFB 90
+ = (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180 )(1) o
ABF
có ABF=90o ( BF là tiếp tuyến ).ABD+DBF=90o(2)
Từ (1) và (2) ABD=DFB
2) Tứ giác ACDB nội tiếp (O)ABD +ACD = 180o
mà ECD +ACD = 180o ( Vì là hai góc kề bù) ECD=DBA
Theo trên ABD = DFB,ECD=DBAECD=DFB Mà EFD +DFB = 180o ( Vì
là hai góc kề bù) nên ECD +EFD = 180o, do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp
Dạng 3: Bài toán quĩ tích
Phương pháp
Để tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn tính chất α ta làm như sau:
- B1: Tìm hiểu bài toán, chỉ ra được các yếu tố sau đây
+ Yếu tố cố định: thông thường là các điểm
+Yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng , số đo góc, diện tích hình
+Yếu tố thay đổi: thường là các điểm mà ta đi tìm quĩ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quĩ tích Các yếu tố này thường cho kèm nhóm từ( di động , di chuyển, chạy, thay đổi )
- B2: Đoán nhận quĩ tích cần tìm: ta thường tìm 3 điểm của quĩ tích Muốn vậy nên xét 3
vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác sẽ
Trang 6giúp ta hình dung được quĩ tích Giả sử ta dự đoán quĩ tích các điểm M thỏa mãn tính chất α là hình H
- B3: Chứng minh kết quả tìm được ở bước 2 Ta phải chứng minh hai phần
+ Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình H
+Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất α
- B4: Kết luận
Ví dụ 1: Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B Qua B vẽ một cát tuyến cắt
các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D
a) CMR : AC = AD
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B
Giải
a) CMR : AC = AD
(O) có góc ACBlà góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB
(O’) có góc ADB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB
(O) và (O’) bằng nhau
ACB=ADB ∆ACD cân tại A AC = AD
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B
Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm của CD AM vuông góc với CD
AMB=90 M thuộc đường tròn đường kính AB
Dạng 4: Các bài toán về đường tròn liên quan đến tiếp tuyến
Trang 7- Tiếp tuyến của đường tròn là đường
thẳng chỉ có 1 điểm chung với đường
tròn ( điểm chung đó được gọi là tiếp
điểm)
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến
của đường tròn thì nó vuông góc với
bán kính đi qua tiếp điểm (d⊥OA tại
A, trong đó A là tiếp điểm)
- Nếu một đường thẳng đi qua một
điểm của đường tròn và vuông góc với
bán kính đi qua điểm đó thì đường
thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường
tròn
2 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn
cắt nhau tạo một điểm thì
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm, tức
là: MA = MB
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia
phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến,
tức là: OMA=OMB
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia
phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
đi qua tiếp điểm, tức là: AOM=BOM
Trang 8- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường
tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác,
tam đường tròn nội tiếp tam giác là giao
điểm của 3 đường phân giác trong của
tam giác
- Đường tròn bàng tiếp tam giác
là đường tròn tiếp xúc với một
cạnh của tam giác và phần kéo
dài hai cạnh kia, tâm đường tròn
này là gia của 2 đường phân
giác của góc ngoài tam giác
Mỗi tam giác có 3 đường tròn
bàng tiếp tam giác
Trang 9- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là
đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác,
tâm đường tròn này là giao của 3 đường
trung trực của tam giác
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn
(O) tại A Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d (M khác A) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến
MB với đường tròn (B là tiếp điểm, B khác A)
1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
2) Gọi I là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng OI.OM = R2
3) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.Tính chu vi tứ giác OAHB theo R
Lời giải
1) Vì MA là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A nên MAO=90o
Vì MB là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B nên MBO=90o
Tứ giác OAMB có: MBO+MAO=90omà hai góc này là hai góc đối nên tứ giác OAMB nội tiếp
2) Theo (1) ta có tam giác OAM vuông tại A
A
B
Trang 10Ta có OA = OB = R và MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó OM là đường trung trực của AB OM vuông góc với AB tại I
AI là đường cao của tam giác vuông OAM
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có OI.OM = OA2
Do đó chu vi tứ giác OAHB là: OB + OA + HA + HB = 4R
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, dây cung MN( MN < 2R) Trên tia đối của
tia MN lấy điểm A Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm)
1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh AB2 = AC2 = AM.AN
Lời giải
1) AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C (giả thiết)
AB BO⊥ tại B; AC⊥CO tại C (tính chất của tiếp tuyến )
0ABO =ACO =90
0ABO +ACO =180
Tứ giác ABOC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)
Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (định nghĩa)
2) AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C (giả thiết)
Trang 11Ta cóABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BM
ANB là góc nội tiếp chắn cung BM
- Để làm được dạng toán này ta cần nắm được hệ thức góc và cạnh trong tam giác
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Khi đó ta có các hệ thức sau:
b c
H A
Trang 12Phương pháp giải là: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức ( )1 →(5)
+ Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:
Bước 1 Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức
Bước 2 Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao
Bước 3 Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Biết AB = 8cm, AC = 6cm
vuông tại A, AH⊥BC, nên
AH.BC=AB.AC AH AB.AC 6.8 4,8(cm)
BC 10
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại
O Biết OA = 2 3cm, OB = 2cm, tính độ dài AB
Giải
Trang 13Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D
Ta có ABD vuông tại A D + B1 = 90
Xét ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có AD2 =BD.HD
Suy ra (2 3)2 = x(2x + 2) Từ đó ta được phương trình:
Trang 14Vẽ đường phân giác BD của ABC ( D AC )
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có : AD AB
Để chứng minh ABC đồng dạng với MNP ta làm như sau:
- Cách 1: Chứng minh ba cạnh của tam này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia
Tức là ta chứng minh AB AC BC
MN = MP = NP -Cách 2: Chứng minh hai góc của tam này bằng hai góc của tam giác kia
Trang 15Chú ý: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- TH1: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền
và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đồng dạng
- TH2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đồng dạng
- TH3: Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác vuông đồng dạng
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi I là giao điểm AC và BD Kẻ
IH vuông góc với AB; IKvuông góc với AD (H AB;K AD)
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng IA.IC=IB.ID
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng
Giải
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác AHIK có:
Trang 16AHI 90 (IH AB)
AKI 90 (IK AD)
AHI AKI 180
= ⊥
= ⊥
Tứ giác AHIK nội tiếp
b) Chứng minh rằng IA.IC=IB.ID
XétIAD và IBC có:
A = B (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))
AID = BIC (2 góc đối đỉnh)
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có
cắt đường tròn (O) tại E Từ B kẻ BF⊥AE tại F
a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn
b) Kẻ đường cao BK của ABC Chứng minh BEF ∽ BCK
Giải
Trang 17a) Xét tứ giác BDEF, ta có:
BDE = 90 (gt)
BFE = 90 (gt)
BDE + BFE 180 =
Vậy tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn
b) Ta có: tứ giác ACBE nội tiếp đường tròn (O) ACB + BEA 180 =
A, E, F thẳng hàng nên BEF + BEA 180 =
BEF ACB
= (cùng bù BEA) hay BEF = KCB
Hai tam giác vuông BEF, BCK có một góc nhọn bằng nhau nên BEF ∽ BCK
Dạng 7: Chứng minh đường thẳng vuông góc , song song
1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Cách 1:Chứng minh hai đường thẳng đó cắt nhau tạo ra một góc 900
- Cách 2: Chứng minh hai đường đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù
- Cách 3: Chứng minh hai đường đó chứa hai cạnh của tam giác vuông
- Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
- Cách 5: Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác
- Cách 6: Sử dụng tính chất đường kính và dây cung
- Cách 7: Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong hình tròn
- Cách 8: Chứng minh hai đường đó chứa hai đường chéo của hình vuông hoặc hình thoi
- Cách 9: Sử dụng mối quan hệ song song và vuông góc của đường thẳng
2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
Trang 18- Chứng minh các góc so le trong, đồng vị bằng nhau
- Sử dụng tính chất bắc cầu: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
- Dùng tính chất từ vuông góc đến song song: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc
với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
- Sử dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi
- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành
- Sử dụng định lý Ta-let đảo
- Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Ví dụ 1: Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn đường tròn tâm O bán kính R, AK là
đường kính Vẽ các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC
a) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK Chứng minh: MD //BK
Lời giải
a) Vì BE là đường cao của ABCBE⊥ACBEC=900
Vì CF là đường cao của ABCCF⊥ABCFB=900
Xét tứ giác BCEF có hai đỉnh kề nhau E, Fcùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc bằng
900 tứ giác BCEF nội tiếp
b) Vì AD là đường cao của ABCAD⊥BCADC=900
M là hình chiếu của C lên AKCM⊥AKCMA=900
Xét tứ giác ADMC có hai đỉnh kề nhau D, M cùng nhìn cạnh AC dưới góc 900
tứ giác ADMC nội tiếp
Trang 19MDC MAC
= (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (1)
Ta lại có: KBC=KAC hay KBC=MAC (góc nội tiếp cùng chắn cung KC)(2)
Từ (1) và (2) KBC=MDC, mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra DM // BK (đpcm)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt BC tại D và
cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm Chứng minh rằng DK vuông góc với AM
EAF = 45 Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H Chứng minh rằng
a) ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp
Trang 20b) Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối của tia AB lấy
điểm D sao cho AD = AC
a) Chứng minh rằng BAC=2BDC
b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC Chứng minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn
Bài 3: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD
Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N và M Chứng minh
a)Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn
b) MN// BD
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, còn CD kà đường kính thay
đổi Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn
Bài 5: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến
AMN Gọi I là trung điểm của MN
a) Chứng minh 2
AB AM.AN.= b) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn
Bài 6: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó Vẽ đường tròn (O)
đi qua hai điểm B và C Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn) Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F
a) Chứng minh AM2 = AB AC
b) Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn
Bài 7: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM Trên nửa mặt
phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho 0
ABO 90 = Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng AM tại C Đường thẳng BM cắt AN tại K Gọi I là trung điểm của
AC BI cắt AN tại E Chứng minh năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn
Bài 8: Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC Vẽ hình vuông AMPQ sao
cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B Chứng minh rằng: a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng
b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn
Trang 21Bài 9: Cho đường tròn tâm O bán kình bằng 6cm, điểm A nằm trên đường tròn Qua A kẻ
tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B sao cho AB = 8cm
a) Tính OB
b) Qua A kẻ đường vuông góc OB cắt đường tròn tâm O ở C Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm B tùy ý trên đường tròn Qua B kẻ tiếp tuyến với
đường tròn, trên đó lấy điểm A Trên AO lấy điểm C sao cho AC = BC, tia BC cắt đường tròn tâm O ở E Chứng minh rằng OE⊥OA
Bài 11: Cho đường tròn tâm O, bán kính 5cm, đường kinh AB, tiếp tuyến Bx Gọi C là
một điểm trên đường tròn sao cho BAC=300, tia AC cắt Bx ở E
a) Chứng minh BC2 = AC.CE
b) Tính BE
Bài 12: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB, M là một điểm nằm giữa O
và B Đường thẳng kẻ qua trung điểm E của AM vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O
ở C và D
a) Tứ giác ACMD là hình gì?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt OA tại I Chứng minh rằng ID là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, bán kính R
Bài 13: Tính diện tích của 1 tam giác cân có chiều cao tương ứng với đáy bằng 10cm,
chiều cao ứng với cạnh bên bằng 12cm
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
của H trên AB và AC Cmr:
Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm trên (O) mà AC > BC
Kẻ CD ⊥ AB ( D AB ) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại E Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AE tại M OM cắt AC tại I MB cắt CD tại K
a) Chứng minh M là trung điểm AE
b) Chứng minh IK // AB
Bài 16 Cho ba điểm A, B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó Vẽ đường tròn (O)
đi qua B và C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN Gọi E và F lần lượt là trung điểm của
BC và MN
a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh IN // AB
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi