Bài giảng Giải tích lớp 12: Lũy thừa được biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được khái niệm lũy thừa; Tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Đồng thời cung cấp một số bài tập giúp các em củng cố và nắm vững nội dung kiến thức bài học. Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo bài giảng.
Trang 1TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH
TỔ TOÁN
KHỐI 12
Trang 2CHỦ ĐỀ: LŨY THỪA
Trang 3I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Hãy tính : ( )4
1,5 = 1,5.1,5.1,5.1,5 = 5, 0625
3
2 3
−
= − − −
8 27
= −
( )5
3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 = 9 3
Có : Cho n là số nguyên dương
Với a là số thực tùy ý , lũy thừa bậc n của a là tích của n số a
so
n
n
a = a a a
1 1
n
n
a
a
a
−
=
=
Trong biểu thức am , ta gọi a là cơ số , số nguyên m là số mũ
Chú ý :
00 và 0- n
không có nghĩa
Trang 4Ví dụ 1 : Tính giá trị của biều thức : 1 10 3 ( ) 4 2 1 1 9
A
−
Giải :
27 0, 2 25 128
A = + + = + + = 3 1 4 8
Ví dụ 2 : Rút gọn biều thức :
1
2
1 1
a
−
Giải : Với a ≠ 0 , a ≠ 1 ta có :
( 2) ( )
1
2 1 2 2 .
1
−
3
3
1
2 2 2 2
−
2
1
1
a a
−
Trang 52 Phương trình xn = b
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 và y = x4 hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình x3 = b và x4 = b
y y = x3
y = b
O
y
y = x 4
y = b
Đồ thị y = x 2k + 1 có dạng như đồ thị hàm số y = x 3
Đồ thị y = x 2k có dạng như đồ thị hàm số y = x 4
Nên biện luận được số nghiệm của phương trình x n = b như sau :
a) Trường hợp n lẻ :
Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất
b) Trường hợp n chẵn :
• b < 0 phương trình vô nghiệm
• b = 0 phương trình có 1 nghiệm x = 0
• b > 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Trang 63 Căn bậc n .
Cho số nguyên dương n , phương trình an = b đưa đến 2 bài toán ngược nhau :
• Biết a tìm b ( là tính lũy thừa của 1 số )
• Biết b tính a ( dẫn đến khái niệm lấy căn của 1 số )
Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) Số a được gọi là căn bậc n
của số b nếu a n = b
a) Khái niệm :
Ví dụ 2 và – 2 là căn bậc 4 của 16 ; 1
3
− là căn bậc 5 của 1
243
−
Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình x n = b Ta có :
a) Trường hợp n lẻ và b R :
Có duy nhất một căn bậc n của b Kí hiệu : n
b
b) Trường hợp n chẵn và b R :
• b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b
• b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0
• b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu Kí hiệu : n
b
Trang 7Từ định nghĩa có các tính chất sau :
b) Tính chất của căn bậc n :
.
n
n
m
n n
b b
a a
a
=
Khi n lẻ Khi n chẵn
Chứng minh tính chất sau : n a b n = n ab
Ví dụ 3 : Rút gọn biều thức : 5 5 3
Trang 84 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ .
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r m
n
= , trong đó m Z , n N , n ≥ 2 Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :
m
n
Ví dụ 4 : Tính :
1
1 3
3
2
1
8
n
1 3 3
)
a = =
3
3 2
3
1 1
8 4
Ví dụ 5 : Rút gọn biều thức : ( )
+
+
Giải : Với x , y > 0 ta có :
+
Trang 95 Lũy thừa với số mũ vô tỉ .
Cho a là số dương và số vô tỉ Ta thừa nhận rằng luôn có dãy số hữu tỉ (rn) có
giới hạn là và dãy số tương ứng ( )r n
a Có giới hạn không phụ thuộc việc chọn dãy số (rn)
Ta gọi giới hạn dãy số ( )r n
a Là lũy thừa của a với số mũ Kí hiệu : a
n
•Từ định nghĩa suy ra 1 = 1
II - TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
•Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự lũy thừa số mũ nguyên dương
Cho a , b những số thực dương , , số thực tùy ý Ta có :
( )
( )
a
• Nếu a > 1 thì a > a khi và chỉ khi >
• Nếu a < 1 thì a > a khi và chỉ khi <
Trang 10Ví dụ 6 : Rút gọn biều thức :
7 1 2 7
2 2
2 2
.
0
a
+ −
+
−
Giải : Với a > 0 ta có :
( )( )
5 2
a a
+ + −
−
Tương tự làm nhanh Rút gọn biều thức : ( ) 3 1 ( )
3 1
.
a
+
−
− −
Ví dụ 7 : Không sử dụng máy tính hãy so sánh các số : 52 3 & 53 2
Giải : Ta có : 2 3 = 12 & 3 2 = 18 2 3 3 2
Và cơ số 5 > 1 nên có : 2 3 3 2
5 5
Tương tự làm nhanh so sánh :
&
