Bai tap bat dang thuc thi dai hoc co loi giai

áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 6... Chứng minh các bất đẳng thức sau: a... Tơng tự cho hai BĐT kia... Tìm Maxxy nhỏ nhất... Tơng tự có:c... Bạn tự giải tiếp.. Cách 2: Dùng PT tham

bài tập & Lời giải:

1 CMR: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1)

-Giải: (1) 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) 0

(a2 -2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) 0 Bất đẳng thức cuối đúng 

2 Cho a, b, c > 0 CMR:

-a8 + b8 + c8 = (a4)2 + (b4)2 + (c4)2 a4b4 + b4c4 + c4a4 = [(ab)2]2 + [(bc)2]2 + [(ca)2]2

a2b4c2 + b2c4a2 + c2a4b2 = (ab2c)2 + (bc2a)2 + (ca2b)2 ³ a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2 = a3b3c3

Û 

3 a, b, c, d > 0 CMR:

-

-a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ ab2c + abc2 + a2bc = abc(a + b + c) Û a4

T-ơng tự:

4 Cho a, b, c ẻ [0, 2] và a + b + c = 3 CMR: a2 + b2 + c2 Ê 5

-Giải: Ta có a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 9 - 2(ab + bc + ca) và Ycbt Û 2(ab +

bc + ca) ³ 4

Ta lại có: (2 - a)(2 - b)(2 - c) ³ 0 Û - 4 - abc + 2(ab + bc + ca) ³ 0Û 2(ab + bc + ca) ³ 4 + abc ị 2(ab + bc + ca) ³ 4

5 a CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e)

b Y Hà Nội 99: CMR: a6 - a3 + a2 - a + 1 > 0 Û (a3 - )2 + (a - )2 + > 0 Ûm

6 a , b ³ 0 và m, n ẻ N CMR:

-Giải: Ta có thể giả sử a ³ b ycbt Û (am + bm)(an + bn) Ê 2(am+n + bm+n) Û am+n + ambn + anbm +

bm+nÊ 2(am+n + bm+n)

Û am+n - ambn - anbm + bm+n ³ 0Û am(an- bn) - bm(an - bn) ³ 0 Û (an - bn)(am - bm) ³ 0 Û  Dấu “ = “ xảy ra Û a = b

7 a , b ³ 0 CMR: (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) Ê 4(a9 + b9)

Giải: Theo bài 6 thì: Û (a + b)(a3 + b3) Ê 2(a4 + b4)

Û (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) Ê 2(a4 + b4)(a5 + b5) Ê 4(a9 + b9) Û đpcm Dấu “ = “ xảy ra Û a = b

8 Hàng Hải 96: ab ³ 1 CMR:

Giải: Ycbt Û (1 + a2)(1 + ab) + (1 + b2)(1 + ab) - 2(1 + a2)(1 + b2) ³ 0

Û 1 + ab + a2 + a3b + 1 + ab + b2 + ab3 - 2 - 2b2 - 2a2 - 2a2b2 ³ 0 Û - a2 + 2ab - b2 + a3b + ab3 - 2a2b2 ³ 0

Û - (a - b)2 + ab(a - b)2 ³ 0 Û (ab - 1)(a - b)2 ³ 0 Û đúng Û đpcm Dấu “ = “ xảy ra Û ab = 1 hoặc a = b

9 110.II.2: Cho a, b, c ³ 1 CMR:

Với d ³ 1 thì theo bài 8 ta có:

10.116.III.2: Cho x + y ³ 0 CMR: (áp dụng bài 8 với a = 2x, b = 2y)

Cã:

13 (92 III) Tam gi¸c ABC cã A ³ B ³ C CMR:

bc2

Û b2(c - a) + ac(c - a) - b(c2 - a2) ³ 0 Û (c - a)[b2 + ac - b(c + a)] ³ 0 Û (c - a)[b(b - c) - a(b - c)] ³

0 Û (c - a)(b - c)(b - a) ³ 0

14 Cho a > 0 CMR:

Gi¶i: Ycbt Û a + a + 2 Û a2 + 2a < a2 + 2a + 1 Û 0 < 1 

15 Cho a + b ³ 2 CMR: a3 + b3 £ a4 + b4

Gi¶i: Ycbt Û a3(a - 1) + b3(b - 1) ³ 0

Û (a3 - 1 + 1)(a - 1) + (b3 - 1 + 1)(b - 1) ³ 0 Û (a3 - 1)(a - 1) + (a - 1) + (b3 - 1)(b - 1) + (b - 1)³ 0

Û (a - 1)2(a2 + a + 1) + (b - 1)2(b2 + b + 1) + a + b - 2 ³ 0 Û 

16 CMR: x2 + 19y2 + 6z2 - 8xy - 4xz + 12yz ³ 0

Gi¶i: Ycbt Û (x - 4y - 2z)2 + 3(y - 2/3z)2 + 2/3z2 ³ 0 Û Ó

17 Cho p/4 < x < p/2 CMR:

-Gi¶i: Ycbt Û Û tg2 - 4tgx + 4 ³ 0 Û (tgx - 2)2 ³ 0 Û 

18 Cho a, b,c > 0 vµ a + b = c CMR:

-Gi¶i: Ta cã c > a > 0; c > b > 0 vµ

Û ể.

19 a 94.(III.1): Cho tam giác ABC CMR: (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) Ê abc

Giải: Vì a2 ³ a2 - (b - c)2 = (a + b -c)(a + c - b)

b2 ³ b2 - (a - c)2 = ( a + b - c)(b + c - a) c2 ³ c2 - (a - b)2 = (c + a - b)(c + b - a) Nhân các bất

đẳng thức cùng chiều theo vế Û 

20 a 142.(III.1) CMR: 4sin3x + 5 ³ 4cos2x + 5sinx

Ycbt Û 12sinx - 16sin3x + 5 ³ 4 - 8sin2x + 5sinx Û (sinx - 1)(4sinx + 1)2 Ê 0

b CMR: 2(sin2000x + cos2000x) ³ sin1998x + cos1998x

Ûsin1998x(2sin2x - 1) + cos1998x(2cos2x - 1) ³ 0Û (sin1998x - cos1998x)(sin2x - cos2x) ³ 0

21 Trong tam giác ABC, CMR: ³ 2

Û abc ³ 8(p - a)(p - b)(p - c) Û abc ³ (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) Û  ( 94.III.1)

22 a ĐH Ngoại thơng 97: Cho a, b, c > 0 CMR:

-

-Vì a, b, c > 0 Nên: ; Vậy

b Cho DABC Tìm MaxP = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật 98); MaxP = cosB + 3(cosA +

cosC) (SP2 98)

d Cho a + b + c = 1 CMR:

1 a Cho a ³ 1, b ³ 1 CMR: a + b £ ab

b §H HuÕ 98: Cho a ³ 1; b ³ - 4; c £ 2; d > 3 CMR: £

Cã: (a + b)( + ) ³ 4 Û

Û (a + b)2³ 4ab Û ab

a b £ (a + b) T¬ng tù:

bc

b c £ (b + c);

ca

c a ca £ (c + a) Þm

d GTVT 99: Min(P = cotg4a + cotg4b + 2tg2atg2b + 2)

-e KTQD 99: Cho 0 < x < ¥ T×m Min: f(x) = 4x + + sinx

g Hµng H¶i TP Hå ChÝ Minh 99: Cho x, y, z ³ 0 vµ x + y + z £ 3 CMR:

-Có: Ê 0

³ ể

h Cho x, y, z > 0 CMR: + + Ê

-2 KTquốc dân 96: Cho a, b ³ 0 CMR: 3a3 + 17b3 ³ 18ab2

Giải: VT = 3a3 + 9b3 + 8b3 ³ 3 ³ 18ab2

3 (148.II.2) Cho a, b ³ 0 CMR: 3a3 + 7b3 ³ 9ab2

-Giải: VT = 3a3 + 4b3 + 3b3 ³ 3 ³ 9ab2 ị 

4 Cho a, b, c > 0 CMR: a)

b (Thi học sinh giỏi toàn quốc 1979)

-

c

-Û

Û BBĐT cuối cùng đúng theo câu a, vậy ta có  Ghi chú: Nếu abc = 1 Thì

d Cho: a, b, c > 0 và abc = 1 CMR:

-Đặt: x =

e QG TP Hồ Chí Minh 98: DABC CMR: ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) ³

0

Û

f Cho: a, b, c > 0 CMR:

Tơng tự: ³ (b + c); ³ (c + a) Cộng ba BĐT có ể

5 Cho các số dơng a, b, c, e, f, chứng minh rằng:

a

Giải: Lập phơng hai vế và có: a + b + c ³ 3 ; ab + bc + ca ³ 3

b

áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

6 Cho các số dơng a, b, c Chứng minh : a a3 + b3 + c3 ³ a2

-Giải: Theo bất đẳng thức côsi ta có: a3 + b3 + c3 ³ 3abc Û 2(a3 + b3 + c3) ³ a3 + b3 + c3

+ 3abc

= (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) ³ 2

b

-Vì a2 - ab + b2 ³ ab Û a3 + b3 + abc = (a + b)(a2 - ab + b2) + abc ³ (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) Û

c Bách khoa 90:

Có a2 + bc ³

-

Giải: Theo bất đẳng thức côsi với n + m + p số thì: ma + nb + pc ³ (m + n + p)

Cộng các BĐT ta có 

8 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a Cho a, b > 0; m ẻ N CMR:

b Cho a > b > 0 CMR: a + ³ 3

Ta có: a + = b + (a - b) + ³ 3 Dấu bằng xảy ra Û a = 2, b = 1

c Cho a, b > 0 CMR:

d ĐHKiến trúc 92: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: ³ 64

Nhân ba bất đẳng thức có  Dấu bằng xảy ra Û a = b = c =

Ghi chú: C2: 1 + a = a + a + b + c ³ 4 4 aabc Tơng tự cho hai BĐT kia Nhân 3 BĐT rồi chia 2 vế cho abc ị 

e a + 2b + 2c ³ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)

-Giải: Ta có: 4xy Ê (x + y)2 ị ị 4[(b + c)(1 - c)](1 - b) Ê (b + c + 1 - b)2(1 - b) = (1 + b)(1 -

b2)

Ê 1 + b = a + 2b + c Ê 1 + b = a + 2b + 2c Û 

f (a + b)(b + c)(c + a)abc Ê nếu a+b+c=1

-Ta có abc Ê

Nhân hai BĐT ị  Dấu “ = “ xảy ra Û a = b = c =

Giải: Vì: (x + y) ³ 4 ị ³ Ta có: 4ab Ê (a + b)2 Û ab Ê Û ³ 4 Û

³ 2

h Cho a, b, c > 0 CMR:

i THTT 1.2000: Cho a, b, c > 0 CMR:

-

Cộng lại có 

9 Ngoại thơng 96 DABC CMR: ma.mb.mc Ê

-Giải: Ta có:

m

a2 + mb + mc2 ³ 3(ma.mb.mc)2/3 Û ma.mb.mc Ê = (sin2A + sin2B +

sin2C)3/2R3 Ê 3/2R3 =

10 ĐH Thơng Mại 1996: tam giác ABC nhọn CMR: tg6A + tg6B + tg6C ³ 81

-Giải: Vì tgA +tgB +tgC ³ nên: tg6A + tg6B + tg6C ³ 3(tgA.tgB.tgC)2 =3(tgA + tgB + tgC)2 ³ 3( )2 = 81 Û 

Dấu “ = “ xảy ra Û A = B = C Û tam giác ABC đều

11.ĐH Kiến trúc 1990 Cho a, b, c > 0 và CMR: ³ 4

= c = b

12 Cho = 1 Tìm Max(xyz)

Giải: Vì = 1 không đổi ị

13 a Cho x = a2 và = a4 + 4 Tìm Max(xy)

nhỏ nhất Mà = = 4 Vậy là 4 đạt đợc khi a = ± , xy lớn

nhất là

b Cho a > 0 Tìm Min(a1000 + a900 + a90 + a5 + )

-Giải: a1000 + a900 + a90 + a5 + = a1000 + a900 + a90 + a5 + ³

³ 1999 = 1999 Vậy Min(a1000 + a900 + a90 + a5 + ) = 1999

Đạt đợc Û a = 1

c Tìm Min(x100 -10x10 + 2004)

Giải: Có x100 + 9 = x100 + 1 + 1 + + 1 ³ 10 = 10x10 Û x100 - 10x10 + 9 ³ 0 Û

x100 10x10 + 2004 ³ 1995 Vậy Min(x100 - 10x10 + 2004) = 1995 đạt đợc Û x = 1

d Cho x, a > 0 T×m Min

-Gi¶i:

14 §HKiÕn tróc 91: Cho a, b, c > 0 vµ

-Gi¶i:

Û 1 ³ 2abc + ab + bc + ca ³ Û 1 ³ (2abc + ab + bc + ca)4 ³ 2.44(abc)3 Û abc

Û 

15 Cho a, b > 1 CMR:

-Gi¶i: Ycbt Û log2a + log2b + 2

VËy: 4log2

³ log2a + log2b + 2 §PCM DÊu “ = “ x¶y ra Û a = b

Ghi chó: Cho n sè kh«ng ©m a1, a2, a3, , an th×: TB b×nh ph¬ng ³ TB céng ³ TB nh©n ³ TB

®iÒu hoµ (DÊu “ = “ Û a1 = an)

Tøc lµ:

16.a CMR: 3 + 34a + 8 ³ 2

b §H TThuû lîi 97: Cho a, b, c, d > 0 CMR:

Û ³ Tơng tự có:

c Tìm m để hệ có nghiệm dơng:

x y z

xy yz zx m xyz m

  













1 9

d Cho ai ³ và P(x) = xn + an-1xn-1 + + a1x + 1 = có n nghiệm thực CMR: P(2) ³ 3n

-Giả sử các nghiệm là: c1, c2, cn ị ci < 0

Đặt: -ci = di > 0 Thì: P(x) = (x - c1)(x - c2) (x - cn) = (x + d1)(x + d2) (x + dn) ị P(2) = (2 +

d1(2 + d2) (2 + dn)

Có: 2 + di = 1 + 1 + di ³ 33d i (n BĐT) ị (2 + d1)(2 + d2) (2 + dn) ³ 3n 3 d d1 2 d n = 3n

( ) 1 1 2

n

c c c = 3n 

e D ABC Tìm Max(AB2C3)

f Cho: x ẻ[0,1] Tìm Max(1 - x2)(1 + 4x)

g Cho a + b + c = 5 Tìm Max(a2b3c4)

h Cho a, b, c, d ³ 0 và a2001 + b2001 + c2001 + d2001 = 4 CMR: a3 + b3 + c3 + d3 Ê 4

1 a (62 II 2) Cho a + b = 2 CMR: a4 + b4 ³ 2.

-Giải: 2 = a + b Ê

b Cho góc vuông ở A, DABC Tìm Min

2 Cho xy + yz + zx = 4 Tìm Min(x4 + y4 + z4)

Giải: 4 = xy + yz + zx Ê

Û 16 Ê 3(x4 + y4 + z4) Û x4 + y4 + z4 ³ Vậy Min(x4 + y4 + z4) = Dấu “ = “ xảy raÛ x = y

= z = ±

3 (19 II 2) Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

-

4 a Cho a + b + c = 3; a, b, c ³ - CMR:

-

= c = 1

b ĐH Đông đô 99: Tìm nghiệm x, y mà x + 2y Max:

-Giải: Cách 1 Hình học Cách 2: (1) Û (x - )2 + (y - 1)2 Ê Có: 1.(x - ) + 2(y - 1) Ê

Ê

c An Ninh 99: Chỉ ra các nghiệm (x,y) có 2x + y Max : logx 2 2 y2(2x + y) ³ 1 (1)

-Cách 1: Hình học

Cách 2: (1) Û (I): Hoặc (II): Từ (I) có: (x - 1)2 + [ (y - )]2

Ê

Từ (II) có: 2x + y Ê x2 + 2y2 < 1 Vậy: Max(2x + y) = Đạt đợc Û x = 2, y =

5 Cho x2 + y2 + z2 = 1 CMR:

Dấu bằng xảy ra Û

6 Cho a > c > 0; b > c > 0 CMR:

Giải:

Û ể Dấu bằng xảy ra Û Û c2 = (a - c)(b - c) = ab - ac - bc + c2 Û ab = ac + bc = c(a + b)

7 Cho p2 + q2 + p,2 + q,2 = 1 CMR: (x2 + px + q)2 + (x2 + p,x + q,)2 Ê (2x2 + 1)2

-Giải: (x2 + px + q)2 = (x.x + p.x + q.1)2 Ê (x2 + p2 + q2)(x2 + x2 + 1) = (x2 + p2 + q2)(2x2 + 1) (x2 + p,x + q,)2 = (x.x + p,.x + q,.1)2 Ê (x2 + p,2 + q,2)(2x2 + 1)

Cộng các bđt cùng chiều theo vế, ta có: (x2 + px + q)2 + (x2 + p,x + q,)2 Ê (2x2 + 1)2 Û ể

Dấu =xảy ra Û 1 = = q và 1 = = q, Û q = q, = 1 và p = p, = x Nhng p2 + q2 + p,2 + q,2 =

1 ị không xảy ra =

8 Cho x2 + y2 + z2 Ê 27 Tìm MaxA với A = x + y + z + xy + yz + zx

Còn: xy + yz + zx Ê x2 + y2 + z2 Ê 27 Dấu bằng Û x = y = z = ± 3 Vậy MaxA = 36 xảy ra

Û x = y = z = ± 3

9 Cho xy + yz + zx = 1 CMR: x4 + y4 + z4 ³

-Giải: Có 1 = xy + yz + zx Ê = (x2 + y2 + z2) Ê

Ê Û x4 + y4 + z4 ³ Û ể Dấu bằng xảy ra Û x = y = z = ±

10 Cho a2 + b2 + c2 = 1 CMR: a + b + c + ab + bc + ca Ê 1 + Giải: Có a + b + c Ê

= ;

ab + bc + ca Ê = 1 Cộng hai Bđt ta có ể Dấu bằng xảy ra Û a = b =

c = ±

11 Cho x, y thoả mãn 4x + y = 1 Tìm Min(4x2 + y2)

Giải: Có 1 = 4x + y = 2.2x + 1.y Ê Û Ê 4x2 + y2 Bạn tự giải tiếp

12 Tìm Max, min của y = Ta có: 1 = cos2x + sin2x Ê cos1/2x + sin1/2x = y Û Miny = 1

y Ê

13 Cho 36x2 + 16y2 = 9 Tìm Max, Min của A = y - 2x + 5

Giải:

Từ đó MaxA = , MinA = Cách 2: Dùng PT tham số của Elip

14 Tìm Min f = (x - 2y + 1)2 +(2x + ay + 5)2 Giải: f = [(- 2)2 + 12][( x - 2y + 1)2 + (2x +

ay + 5)2] ³

³ [(- 2)(x - 2y + 1) + 1(2x + ay + 5)]2 = [(a + 4)y + 3]2 Vậy Min f = 0 nếu x ạ - 4 Min f = nếu x = - 4

15 CMR: Giải: Ta có (a + c)2 + (b + d)2 = a2 + b2 + 2(ac +

ể

16.a ĐH Cảnh sát 98: Trong các tam giác có chu vi cho trớc Tìm D có tổng lập phơng các

cạnh nhỏ nhất

Dễ thấy: (a + b + c)2 Ê 3(a2 + b2 + c2) Û 4p2 Ê 3(a2 + b2 + c2) Û 16p4 Ê 9(a2 + b2 + c2)2 = = 9( )2 Ê 9(a + b + c)(a3 + b3 + c3) Vậy: 16p4 Ê 9(a + b + c)(a3 + b3 +

c3)

Û a3 + b3 + c3 ³ p3 KL: Min (a3 + b3 + c3)= p3 Đạt đợc Û DABC đều

Theo bài 15 thì

17 a Các số: x1, x2, x3, , xn-1, xn ³ 0 và: x1x2 + x2x3 + x3x4 + + xn-1xn + xnx1 = 1 CMR:

³ Giải: 1 = x1x2 + x2x3 + x3x4 + + xn-1xn Ê x + x + x + + x =

³ ể Dấu “ = “ xảy ra Û xi = 1

Ghi chú: x1(x2 + + xn) = x1(x1 + x2 + + xn - x1) = x1(x1 + x2 + + xn) - x1

c Cho ai bất kỳ, bi > 0 CMR: a

b

a b

a b

n n

n n

12 1

22 2

2

  

a

a

n n

1

2

2

       Ê (   )(   ) Bạn tự giải tiếp.

d HVNH 00: D ABC CMR: h

h

h h

h

b a

c b

a c

1

  ³

e Cho a, b, c >0; asinx + bcosy = c CMR: cos2 sin2 2

1 1

x a

y

c

a b

x

a

y

b

c

a b

Có: c =asinx + bcosy = sin

x

y

B

x

e’ 2 HVNH D.00:Cho: a, b, c > 0 và: ab + bc + ca = abc CMR: + +

³

Giải: Đặt = x; = y; = z Ta có: x, y, z > 0 và x + y + z = 1

e’’ QG.00: Cho a + b + c = 0 CMR: 8a + 8b + 8c ³ 2a + 2b + 2c Giải: Đặt 2a = x; 2b = y; 2c =

z Thì có: xyz = 1; x, y, z, > 0

Ta chứng minh: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z Giải sử: x ³ y ³ z Xét: (x - y)(x2 - y2) + (y - z)(y2-

z2) + (z - x)(z2 - x2) ³ 0 Û

2(x3 + y3 + z3) ³ xy2 + xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2 (1) Cộng hai vế của (1) với x3 + y3 + z3 và biến đổi có:

3(x3 + y3 + z3) ³ (x + y + z)(x2 + y2 + z2) ³ (x + y + z).3 Û x3 + y3 + z3 ³ x + y + z 