Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân mặt

Cùng với đó là các chuẩn đầu ra: Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

NHÓM 9

Giảng viên: Thầy Võ Trần An

Danh sách thành viên

Nguyễn Quang Hưng 2111405 hung.nguyen1104@hcmut.edu.vn Trần Văn Hưng 2011342 hung.tranhung2001@hcmut.edu.vn

Võ Bạch Thiên Hương 1913664 huong.vothien.2602@hcmut.edu.vn Hoàng Quốc Huy 1810934 huy.hoang.quoc@hcmut.edu.vn Nguyễn Quốc Huy 2113520 huy.nguyen221003@hcmut.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 2 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TP.HCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật công nghệ nói chung Mục đích môn học là cung cấp đầy đủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều biến và

Lý thuyết chuỗi dùng cho các ngành khoa học kỹ thuật Nó sẽ giúp sinh viên khối kỹ thuật tiếp thu vấn đề một cách nhẹ nhàng và trang bị những kỹ năng cơ bản cho người học tự phát triển khả năng áp dụng toán học vào các bài toán thực tế

Môn Giải tích 2 bao gồm các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm nhiều biến, lý thuyết trường và chuỗi Cùng với đó là các chuẩn đầu ra: Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế , có khả năng hoạt động nhóm

MỤC LỤC

Lời nói đầu………3

I Bảng phân công công việc 5

II Nền tảng lý thuyết liên quan đến đề tài của nhóm 6

1 Tích phân mặt 6

a Định nghĩa 6

b.Cách tính tích phân mặt loại 1 6

2 Tích phân bội 7

a Định nghĩa 7

b Tích phân kép 7

c Cách tính tích phân kép 7

d Tích phân bội ba 8

e Cách tính tích phân bội ba 8

3 Tích phân mặt loại 1 9

a Định nghĩa 9

b Cách tính tích phân mặt loại 1 9

III Thực hành yêu cầu của bài tập 9

1 Phần 1 Câu 17 9

2 Phần 1 câu 18 13

3 Phần 2 câu 18 14

I Bảng phân công công việc

Họ Tên MSSV Phân công công việc Mức độ hoàn thành

Hoàng Quốc Huy 1810934 Phần 1 câu 17, viết báo cáo 100%

II Nền tảng lý thuyết liên quan đến đề tài của nhóm

1 Tích phân mặt

a Định nghĩa

Trong toán học, tích phân mặt là một tích phân xác định được tính trên một bề mặt (có thể là tập hợp các đường cong trong không gian); nó có thể được xem là một tích phân kép của từng tích phân đường Trên một bề mặt cho trước, phép tính tích phân này có thể tính cho các trường vô hướng của nó (đó là các hàm trả về các giá trị số), và trường vector (các hàm trả về giá trị vectơ)

Các tích phân mặt có nhiều ứng dụng trong vật lý, đặc biệt trong học thuyết cổ

điển của điện từ

b Cách tính tích phân mặt loại 1

Để tính toán cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần tham số hóa S bằng cách biểu

diễn S trong một hệ tọa độ cong, giống như là kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu Hãy gọi

một tham số hóa đó là x(s, t), với (s, t) thay đổi trong một miền T trong một mặt phẳng

Khi đó, tích phân mặt sẽ được cho bởi công thức sau

Biểu thức giữa 2 đường vạch thẳng là độ lớn của tích vectơ của các đạo hàm

riêng của x(s, t), và được biết như là đơn vị bề mặt.

Ví dụ như, nếu như chúng ta muốn tìm diện tích bề mặt của một bề mặt nào đó, ví dụ, ta có

2 Tích phân bội

a Định nghĩa

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn

một biến thực, ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z) Các tích phân của một hàm hai biến trên một

vùng trong không gian ℝ2 được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên

một miền của R3 được gọi là tích phân bội ba

Tích phân xác định của một hàm số dương có 1 biến là một diện tích nằm giữa đồ thị của

hàm số đó và trục x, tích phân kép của một hàm số dương 2 biến là thể tích được xác định bởi bề mặt tạo ra bởi hàm số đó (mặt phẳng trong tọa độ 3 chiều z = ƒ(x, y)) và mặt phẳng

chứa tập xác định của nó (Cùng một thể tích có thể thu được thông qua tích phân bội ba

—tích phân của một hàm ba biến—của hàm liên tụcf(x, y, z) = 1 trong những miền nói

trên giữa bề mặt và mặt phẳng.) Nếu có nhiều biến hơn thì phép tính tích phân sẽ tạo ra các siêu thể tích của các hàm đa chiều

b Tích phân kép

c Cách tính tích phân kép

d Tích phân bội ba

e Cách tính tích phân bội ba

Giả sử  là vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z

= z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy

Hình chiếu của Ω lên Oxy là D

3 Tích phân mặt loại 1

a Định nghĩa

S là mặt cong trong R3, f(x,y,z) xác định trên S

Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích Sk, Mk  Sk

b Cách tính tích phân mặt loại 1

Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền D, khi đó

III Thực hành yêu cầu của bài tập

1 Phần 1 Câu 17.

Vẽ miền D bị giới hạn bởi x2 + y2 ≥ 1 và phần nằm trong đường Cardioid

x2 + y2 = x + √x2+ y2 Tính phần diện tích bị giới hạn bằng phần mềm (Matlab, Wolfram Alpha) và giải thích

Phần hình vẽ

Hình 1

Từ dữ kiện, ta vẽ được 2 đồ thị của hàm số

Hình 2

Giới hạn diện tích bị giới hạn bởi 2 miền, ta được hình 2

Đường Cardioid x2 + y2 = x + √x2+ y2 khi chuyển về hệ tọa độ cực sẽ có dạng

r = a + acosφ => r = 1 + 1cosφ

 Cách 1:

Tính I = ∬1dxdy với D: { x2+ y2≥1

x2+ y2=x+√x2+ y2

Chuyển sang hệ tọa độ cực: {1≤ r ≤1+cosφ

−π

2 ≤ φ ≤ π2

I =

=

=

≈ 2,785398

Sử dụng Wolfram Alpha để tính toán:

Cách 2:

Diện tích của một hình quạt bán kính r được cho bởi:

A =

Cho r = f(φ) xác định một đường cong cực, với f liên tục và f(φ) ≥ 0 trên khoảng đóng

α ≤ φ ≤ β, với 0 ≤ β – α ≤ 2π Khi đó miền được tạo bởi đường cong r = f(φ) và các tia

φ = α và φ = β có diện tích

Diện tích cần tìm:

= = 2,7854

Sử dụng Wolfram Alpha để tính toán

2 Phần 1 câu 18

Vẽ miền D bị giới hạn bởi xy = 2; xy = 4; y = x; y = 4x Tô màu phần bị giới hạn bằng

geogebra, tính diện tích phần bị giới hạn bằng phần mềm và giải thích

Phần hình vẽ

Sử dụng phần mềm Geogebra để tính toán

Diện tích phần cần tính toán S = 2,77 (Đơn vị diện tích)

3 Phần 2 câu 18

Vẽ và tính diện tích phần mặt nón z=√x2+ y2 và nằm trong mặt trụ 2 x=x2+ y2

Phần hình vẽ

Phần tính toán:

2 x=x2+ y2 ≤ ¿(x−1)2+ y2 =1

Phương trình mặt cong z=√x2+ y2 D=hcΩ

Oxy

x2+ y2≥ 0; x2+ y2≤ 0

z x '= x

√x2+ y2; z ' y= y

√x2+ y2

S=∬

D

ds=∬

D √1+(z ' x)2

+(z ' y)2

dxdy

S=∬

D √2dxdy

Mà∬

D

dxdy là diện tích miền D, tức ∬

D

dxdy=π

Vậy S = √2π

Sử dụng Wolfram Alpha để tính toán: