Dương Minh Vũ Page 1 Bài giải đề thi Đại số tuyến tính 2011 Câu 1 Cho với a) Tìm để là một cơ sở của không gian vector b) là cơ sở chính tắc của Chọn Viết ma trận đổi cơ sở Rồi tính Từ đó chỉ ra cơ sở[.]
Trang 1Bài giải đề thi Đại số tuyến tính 2011
Câu 1: Cho với
a) Tìm để là một cơ sở của không gian vector b) là cơ sở chính tắc của Chọn Viết ma trận đổi cơ sở Rồi tính
Từ đó chỉ ra cơ sở của thỏa
Giải a) lập ma trận
Để là một cơ sở của không gian vector thì hệ vector độc lập tuyến tính và
Suy ra
Ta có:
Do đó, để thì và
với và thì là một cơ sở của không gian vector b)
- Xác định
Ta có:
Do đó:
- Tìm Ta có:
vậy,
Trang 2
- Tìm biết
Do
nên
Vậy,
Câu 2: Cho và (không gian con sinh bởi ) a) Giải thích tại sao là một cơ sở của không gian vector b) Xét Khi nào thì Tính tọa độ của vector theo cơ sở lúc đó Giải a) Ta có
Do đó, hệ là hệ độc lập tuyến tính tối đại của Suy ra là cơ sở của không gian vector khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm
Ta lập ma trận
Để có nghiệm thì
Vậy, Để thì
Khi đó:
Suy ra tọa độ của vector theo cơ sở là
Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính từ vào có biểu thức như sau:
Tìm một cơ sở cho mỗi không gian và
Giải - Tìm cơ sở của
Để tìm cơ sở của , ta tìm ảnh của cơ sở chính tắc của
Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một cơ sở của Ta có
Trang 3
Vậy, cơ sở của là và
- Tìm cơ sở của
hay là nghiệm của hệ
Do đó là không gian con các nghiệm của hệ và hệ nghiệm cơ bản của chính là một cơ sở của Ta lập ma trận
Vậy, hệ
Ta có thể viết lại như sau
Ta được hệ nghiệm cơ bản là
Do đó, và cơ sở của là
Câu 4: có các cơ sở và
có các cơ sở
Và
Xét là ánh xạ tuyế tính từ vào có ma trận
Tìm ma trận rồi suy ra biểu thức của Giải
- Xác định
Do đó,
Suy ra:
Trang 4
- Xác định
Do đó:
- Tính
Biểu thức của Từ
Ta có
Với thì
Vậy, biểu thức của là
Bài 5: Xét xem tập hợp và dưới đây có phải là không gian vector con của hay không? tại sao
Bài này rất dễ Các bạn tự giải nhé