Đề thi cuối kì môn ĐS (ngày 29/6/2016) Lời giải Câu 1 Đặt ma trận cần tìm là ( ) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { { { Suy ra các ma trận thỏa mãn điều kiện có dạng ( ) với Câu 2 Gọi x FG x F[.]
Trang 1Đề thi cuối kì môn ĐS (ngày 29/6/2016)
Trang 2Lời giải:
Câu 1: Đặt ma trận cần tìm là ( ) Ta có
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( )
{
{
{
Suy ra các ma trận thỏa mãn điều kiện có dạng ( )
với
Câu 2 Gọi x FG x F và x G x = α1(1; 1; 2; 1) + α2(2; 3; 1; -1) = β1(2; 7; 3; -10) + β2(-1; 9; 10; -22) Ta được hệ phương trình: {
Đưa về ma trận ta được (
) (
) (
) (
)
Từ ma trận rút gọn, ta suy ra: -3β1 - 9β2 = 0 β1 = -3β2
Trang 3Suy ra x = β1(2; 7; 3; -10) + β2(-1; 9; 10; -22) = -3β2(2; 7; 3; -10) + β2(-1; 9; 10; -22)
= β2(-7; -12; 1; 8)
Vậy: Cơ sở của FG là (-7; -12; 1; 8) Số chiều của FG là 1 (dim(FG) = 1)
Câu 3
Ta có: f(x) = Ax
(
(
(
)
Ker f = {x = (x1; x2; x3)| f(x) = Ax = 0}
Ta xét
(
) (
) (
)
Ta được: { {
( )
Suy ra: Cơ sở của Ker f là ( ) Số chiều của Ker f là 1 (dim(Ker f) = 1)
Câu 4: (
)
- Tìm trị riêng:
[
Trang 4
- Tìm vector riêng:
Với , ta có: (
) ( ) , suy ra vector riêng (1,0,-1)
Với , ta có: (
) ( ) , suy ra vector riêng (1,1,-1)
Với , ta có: (
) ( ) , suy ra vector riêng (1,-1,0)
- Suy ra ma trận A chéo hóa dưới dạng với
)
- Suy ra:
( )
) (
)
) (
) (
)
Câu 5: ( )
Ma trận của dạng toàn phương: (
)
- Trị riêng: (đơn), (kép)
- Tìm vector riêng:
Với , ta có: (
) ( ) , suy ra vector riêng (1,2,-4)
Với , ta có: (
) ( ) , suy ra có 2 vector riêng (4,0,1) và (0,2,1) Dùng quá trình Gram – Schmidt ta có:
Trang 5( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
) Chọn ( )
Trực chuẩn hóa:
(
√
√ ) (
√
√
√ ) (
√ √
√ ) Suy ra M được chéo hóa trực giao dưới dạng với
(
)
(
√ √
Suy ra dạng toàn phương có thể viết lại dưới dạng:
( ) Phép đổi biến ( ) ( )
Câu 6:
a) Ta có cơ sở của F = { f1(1;1;-1), f2(1; -2; 1)}
Gọi x ( ;x x x1 2; 3) F
1
0
xf
Gọi x3 3 x2 6 x1 7 ( R), suy ra x (7, 6,3)
{(7, 6,3)}
F là không gian bù vuông góc của F
b) Độ dài đoạn thẳng AB
Ta có:B A (2;0; 2)
Trang 6Công thứcAB d A B( , ) B A (B A B)( A) 16 4
Vậy AB = 4
Tâm của đường tròn là trung điểm của AB: ( )
Suy ra đường tròn có phương trình:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )