ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VIỆT ANH Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1 TS Trần Xuân Quý 2 TS Đỗ Thị[.]
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
ĐINH VIỆT ANH
Trang 2Mục lục
1.1 Phương trình Diophantine mũ và một số kiến thức bổ trợ 3
1.1.1 Một số ví dụ về phương trình Diophantine mũ 3
1.1.2 Một số kiến thức bổ trợ 5
1.2 Về phương trình Pillai 9
Chương 2 Số nghiệm của phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby= c 15 2.1 Về phương trình Pillai suy rộng 15
2.2 Số nghiệm của phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax± sby= c 17
Trang 4Mở đầu
Theo tìm hiểu của chúng tôi, lớp phương trình Diophantine bậc nhất (tuyến tính) và bậc hai đã
có phương pháp giải và cũng được nhiều tài liệu giáo trình viết, thậm chí cũng đã có nhiều luậnvăn khai thác chủ đề này Tuy nhiên đối với lớp phương trình bậc cao hơn thì không có phươngpháp chung để giải (Khẳng định bởi nhà Toán học Nga M Yuri năm 1970) Như vậy đối với lớpphương trình Diophantine bậc hớn hai thì chỉ có thể tìm cách giải cho từng phương trình cụ thể.Các phương pháp quen thuộc thường được sử dụng ở bậc phổ thông là sử dụng các tính chất chiahết để thu hẹp tập nghiệm có thể, sử dụng ước lượng về độ lớn của nghiệm để thu hẹp tập hợpcác nghiệm có thể Ngày nay, với sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính, khi xác định được cận trêncủa nghiệm (nếu tồn tại) thì việc chỉ ra nghiệm của phương trình không khó khăn Vài thập kỷgần đây Scott và cộng sự đã có nhiều kết quả về lớp Phương trình Pillai, các tác giả tìm cách mở
còn gọi là phương trình Pillai)
Các kết quả nghiên cứu của Pillai phần lớn liên quan tới Diophantine Ví dụ, có những kếtnối sâu sắc với các bài toán Diophantine trong các công trình của ông về vấn đề Waring Pillai
đề cập tới Diophantine sớm nhất là vào năm 1930 [7]
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chủ yếu thảo luận về các câu hỏi liên quan đến các kếtquả về phương trình Pillai và một số mở rộng
Chính vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương
văn thạc sĩ của mình Mục đích của luận văn này là trình bày một nghiên cứu tổng hợp các kếtquả về số nghiệm của phương trình Pillai theo thứ tự lịch sử và trình bày kết quả của Scott vàStyer trong [18] cho phương trình Pillai tổng quát
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương, cụ thể:
Chương 1 Về phương trình Pillai
Trình bày được lời giải cho một số ví dụ cụ thể cho phương trinh Diophantine Pillai sử dụngtính chất chia hết, tính chất đồng dư Trình bày về dạng tuyến tính loga, đây là công cụ để xácđịnh cận trên của nghiệm phương trình Pillai
Trang 5Trình bày một khảo sát về lịch sử phát triển của phương trình Pillai, phương trình Pillai suyrộng Trình bày hai kết quả chính trong bài báo [18] xuất bản năm 2013 của Scott và cộng sự về
lý 2.2.20 và Định lý 2.2.21
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới - TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị PhươngQuỳnh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô Khoa Toán - Tin, thầy cô đã giảng dạy emtrong thời gian em theo học chương trình đào tạo cao học tại trường Đại học Khoa học, PhòngĐào tạo đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Xin chân thành cảm ơn
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 7 năm 2021
Tác giả
Đinh Việt Anh
Trang 6Chương 1
Về phương trình Pillai
Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về phương trình Diophantine mũ (phươngtrình Pillai là trường hợp đặc biệt), các khái niệm cơ bản về số học sẽ không trình bày lại trongluận văn (tài liệu [1,2]) Chúng tôi trình bày một số công cụ trong nghiên cứu phương trình Pillai
và dạng Pillai đó là dạng tuyến tính loga để xác định cận trên của nghiệm phương trình Pillai.Tổng quan về lịch sử phương trình Pillai và một số kết quả về phương trình Pillai các kết quả nàyđược trình bày lại từ tài liệu [19] năm 2009
1.1 Phương trình Diophantine mũ và một số kiến thức bổ trợ
1.1.1 Một số ví dụ về phương trình Diophantine mũ
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số vận dụng của lý thuyết đồng dư, các tính chất số học
để giải một số phương trình Diophantine mũ, các ví dụ này chính là các trường hợp đặc biệt của
1.2 và dạng suy rộng ở chương 2 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết chia hết, lý thuyết đồng dư,
được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2]
Ví dụ 1.1.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
5x− 8y= 1
LỜI GIẢI. Giả sử tồn tại x,y thỏa mãn 5x− 8y= 1, khi đó 5x− 8y≡ 1 (mod 21) Ta có
Trang 7Ví dụ 1.1.2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
3x− 7y= 2
LỜI GIẢI.
(TH1) Xét x,y ⩽ 2, khi đó ta thấy (x,y) = (1,0) và (x,y) = (2,1) thỏa mãn phương trình
(TH2) Xét x,y ⩾ 3, khi phương trình được viết lại như sau
hay
(1.1) được viết lại như sau
cho 13 hay
Trang 8mặt khác, vì ord13(7) = 12 nên ta có y − 1 = 12l, l ∈ N Như vậy vế trái của phương trình(1.1) được viết lại như sau
cho 19 hay
trình (1.1) được viết lại như sau
cho 37 hay
(1.1) được viết lại như sau
Mặt khác
Từ (1.2) và (1.3) suy ra phương trinh (1.1) không có nghiệm x,y ⩾ 3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm (x,y) = (1,0) và (x,y) = (2,1) và có đúng một nghiệmdương là (x,y) = (2,1)
b1logα1+ b2logα2+ ··· + bnlogαntrong đó α1, α2, , αn là các số đại số và b1, b2, , bn là các số nguyên Kết quả này đã khởiđầu tác động tới việc giải các phương trình Diophantine Kết quả suy rộng của định lý Gelfond-Schneider khởi đầu của một hướng mới và rất thú vị trong lý thuyết số được gọi là lý thuyết số,được gọi là lý thuyết Baker
Trang 9Định nghĩa 1.1.3 (a) Xét α1, α2, , αn là các số thực hoặc phức Ta nói α1, α2, , αn phụthuộc tuyến tính trên tập các số hữu tỉ (nguyên) nếu tồn tại các số hữu tỉ (nguyên) r1, r2, , rn
không đồng thời bằng không thỏa mãn
r1α1+ r2α2+ + rnαn̸= 0
(b) Dạng tuyến tính loga của số đại số là biểu thức có dạng
Λ = b0+ b1logα1+ b2logα2+ ··· + bnlogαn
Năm 1966, Baker đã tổng quát hóa định lý Gelfond-Schneider Năm 1970 ông đã nhận đượcHuy chương Field về các cống hiến của mình trong lý thuyết số, đặc biệt là về số siêu việt và hìnhhọc Diophantine Một trong các kết quả đó là các định lý sau
log a1, log a2, , log an, 2πi là độc lập tuyến tính trên tập các số thực thì ta có
b0+ b1logα1+ b2logα2+ ··· + bnlogαn̸= 0
Ví dụ 1.1.7 (1) Độ cao loga tuyệt đối h của số hữu tỉ p/q là
Trang 10(2) Xét α =√2 Độ cao loga tuyệt đối củaα là
1
5
,0
o
1
,0o