HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Nguyễn Quốc Tuấn - 2014

Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không đơn giản đối với học sinh dự thi tuyển sinh đại học. Mà trong khung cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không đơn thuần như hầu hết chúng ta đã học ở hệ phương trình lớp 10. Do đó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn đề then chốt. Những vấn đề có thể nói là chuyên đề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh đại học. Cũng chính vì điều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở đơn giản trước đây chúng tôi không trình bày ở đây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ẩn. Mà nó được xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến đổi mà các em sắp được học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta đều có thể giải được.

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

Trang 2

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - đT:0905671232Ờ0989824932

LỜI NÓI đẦU

Trong những kỳ thi tuyển sinh ựại học hàng năm Hệ phương trình luôn là một ựề tài

và cũng là một bài toán hấp dẫn ựối với tuyệt ựại ựa số các em luyện thi tuyển sinh ựại học Bởi nó chứa nhiều kỹ năng, tư duy và kiến thức toán học đi kèm với nó là hàng loạt những phương pháp giải, những cách nhìn nhận vấn ựề xung quanh việc giải hệ phương trình

Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh ựại học gần ựây theo chiều hướng khó dần lên Nó có những bài toán không ựơn giản ựối với học sinh dự thi tuyển sinh ựại học Mà trong khung cấu trúc ựề thi của Bộ giáo dục và đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn Mang trong nó nhiều kỹ năng tắnh toán và phương pháp giải không ựơn thuần như hầu hết chúng ta ựã học ở hệ phương trình lớp 10

Do ựó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn ựề then chốt Những vấn ựề

có thể nói là chuyên ựề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh ựại học Cũng chắnh vì ựiều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở ựơn giản trước ựây chúng tôi không trình bày ở ựây Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai ựối với ẩn, Hệ phương trình ựối xứng loại I ựối với ẩn, Hệ phương trình ựối xứng loại II ựối với ẩn, Hệ phương trình ựẳng cấp bậc hai ựối với ẩn Mà nó ựược xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày Bởi sau khi dùng những phép biến ựổi mà các em sắp ựược học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình ựơn giản hơn rất nhiều

mà tất cả chúng ta ựều có thể giải ựược

Trường hợp bạn ựọc quên và không giải ựược, chúng tôi khuyên bạn nên ựọc lại những phần ựơn giản như vậy ựể chúng ta còn có thể ôn tập ựể luyện thi ựại học ựược tốt nhất có thể Hơn nữa trên Xuctu.com chúng tôi ựã cho ựăng hàng chục bài ựăng ựơn giản như vậy Ngoài ra bạn ựọc còn có thể học ựược những cách làm thông qua những Video tutorial của tác giả-thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn trên kênh học toán http://www.youtube.com/user/quoctuansp

Những phương pháp trọng tâm về hệ phương trình ựược chúng tôi chia thành

Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ựặt ẩn phụ

Phương pháp 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số Phương pháp 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ựánh giá

Mỗi phương pháp ựều ựược chúng tôi trắch dẫn lời giới thiệu Lúc nào thì dùng phương pháp ựó ựể giải Và hơn thế nữa mỗi loại chúng tôi ựã sưu tầm từ hàng trăm tài liệu chất lượng trên toàn quốc ựể giới thiệu ựến bạn ựọc Do ựó, tắnh bao quát của tài liệu có mức

ựộ ứng dụng và luyện tập rất cao cho chúng ta luyện thi tuyển sinh ựại học

Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ựến quyển sách này ựều có biết những Video Tutorial của tác giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com Do ựó quyển sách là một sự kết hợp tuyệt vời dành cho quý ựộc giả sở hữu theo ựúng chủ nhân của nó Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ựúng gốc sẽ ựược hổ trợ những Video Tutorial hướng dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ựúng cho chủ nhân Do ựó, tác giả khuyên bạn nên ủng hộ chắnh sách sở hữu trắ tuệ mà website ựưa ra Bởi trong những bài tập mà có hướng dẫn giải khó hiều Tác giả ựều cung cấp link ựến video hướng dẫn cụ thể Cũng xin lưu ý rằng, những Video Tutorial này không ựược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp ựường dẫn cho chắnh chủ nhân điều này thật quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ựúng trình tự mà tác giả mong muốn

Huế, 4-2014

Trang 3

Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Cách nhận biết: Là loại hệ phương trình mà trong ñó có thể dùng phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử hoặc dùng phương pháp ñổi ẩn thì sẽ chuyển một trong hai phương trình của hệ phương trình về hai hoặc 3 phương trình bậc nhất

BÀI TẬP MẪU CÓ LỜI GIẢI

Bài tập mẫu 1: Giải các hệ phương trình sau

Trang 4

5 45 10 2

5 45

5 10

5 45

10 10

5 45 5

x x

1 5 2

*

2

1 5 2

2

5 2 2 24 2 2

2 2

6 5 2 3 2 0

x x

Trang 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5

5

* 2

2 2

2

2 2

13

2 13

2

9 13

5

31 5

2

8

21 4

v u

Trang 6

2

6 6 2

Thay x= − 4 vào phương trình (2) ta thu ñược 17

0

x y

Với x= 2y+ 1 thay vào phương trình (2) của hệ phương trình thu gọn ta ñược

(y+ 1) ( 2y− = ⇔ = 2) 0 y 2 ⇒x= 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 5; 2

Bài tập mẫu 8: Giải hệ phương trình:

Trang 7

= = − ±

+ Do y≤ 1 ta có phương trình (1)

3 3

x+ = − − ≤y ⇒x≤ ⇒x+y − ≤ − <

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y; = 0; 0 ,(− + 11 6 3; 11 6 3 , − + ) (− − 11 6 3; 11 6 3 − − )

Bài tập mẫu 9: Giải hệ phương trình: 4

0

x y

− + +

= + +

−

0 2

1

0 1

2 2

y y

x x

y x y x

1

2

y x y

x

y x y

+

= +

0 1

1

2 2

y x

y x y x

=+

1

2

y x

x y

x x

1

11

x y

x x

1

1 0

− + +

= + +

−

0 2

1

0 1

2

y y

x x

y x y x

−++

+

=+

02

1

2

y y

x y x y

y x y x

−++

+

=+

012

1

2

y x y x

Trang 8

Biến ñổi phương trình dưới ta ñược x+ y = y x

Thay vào ta ñược

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( )4; 2

Trang 9

Hướng dẫn giải ðiều kiện: 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) (x y; = 0;1 , 2; 1− )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) (3; 2 , 3; 2− )

Bài tập mẫu 15: Giải hệ phương trình: 1( ) 2( )

2 4

Trang 10

ðiều kiện:

1 3

4 3

y

y y

Bài tập mẫu 16: Giải hệ phương trình: ( )

log log log 6

4

x y

ðiều kiện:

2

22

x y

Trang 11

Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

0

x y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2; 2)

Bài tập mẫu 19: Giải hệ phương trình: ( ) ( )

2 2

Trang 12

Với y= 2: Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta ñược

= ± + + =

x x

3 4 7

Trang 13

Bài tập mẫu 21:

Giải hệ phương trình:

3

3 3

Khi ñó từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

( )

3 3

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với:

11 3 13 2

x y

10 3 17 2

x y

Trang 14

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (125;5 ,) (± 4 2; 2)

Bài tập mẫu 24: Giải hệ phương trình: 7 2 4

5 8 0

x y x

Trang 15

Trang 16

Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ

Cách nhận biết: Là hệ phương trình sau khi biến ñổi có sự lập lại của những cụm ñơn giản

Và việc phát hiện ra nó có chứa ñược u= f x y( ); và v=g x y( ); Từ ñó ta có thể giải những

hệ phương trình theo u và v một cách ñơn giải rồi thế vào ẩn chính

BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài tập mẫu 1:Giải hệ phương trình

1 2

x y

Trang 17

Bài tập mẫu 3:Giải hệ phương trình ( )

Giải hệ phương trình này ñể tìm u, v thay vào lại ñể giải hệ chính

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( )x y; = 1;3

Bài tập mẫu 4:Giải hệ phương trình ( ) ( )

Trang 18

3

11

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với

+++

=

−+++

0216132

2

03232

2 3

3 2

x x x

y x y

y y

+++

=

−+++

20216132

2

103232

2 3

3 2

x x x

y x y

y y

x

(2) ⇔ 2(x+ 1)3+ 3y(x+ 1)2 + 4y= 0

Trang 19

⇔ 2 1 3 1 4 0

2 3

= +

x

do y = 0 không là nghiệm ⇔ +1= − 2

y x

1 2

0 3 2 3 2

2

y x

y y

1 2

2 3 4 6

4 2

y

x

y y

x y

3 4

Trang 20

Hướng dẫn giải ðiều kiện: 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) (x y; = −1;3)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) (x y; = ±1;1)

*0,

y

Trang 21

Bài tập mẫu 13: Giải hệ phương trình

12 12

5

25 3 50 3 119 0

17 3

55

3

225

Trang 22

6

2, 13

Trang 23

Hướng dẫn giải Phương trình (1) tương ñương

1 4 1

y

x y

u v u v

Trang 24

Với :

2 2

1

2 0

2

5 1

1

2

x y

Bài tập mẫu 19: Giải hệ phương trình 3 5 2

Trang 25

So sanhs ñiều kiện ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( )x y; = 1; 0

2 2

Suy ra hàm số ñồng biến trên R

Áp dụng kết quả trên vào phương trình thứ nhất ta thấy f x( )= f y( )⇔ =x y

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta ñược:

Trang 26

4

2 2 3 1 0

x x

Trang 27

Hướng dẫn giải ðiều kiện: x≥ − 2;y≥ − 2

x y

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với:

2 2 3

1 9

x

x y y y

x y x

 + − =

9

9 3

Trang 28

3 4

= + =

5

x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( ) (x y; = 1; 2 , −2;5)

Hệ phương trình ñược viết lại

Trang 29

1

1 2

5 4

u v

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( )x y; = 0;1

Bài tập mẫu 28: Giải hệ phương trình ( )

x x

Trang 30

2

1

66

Trang 31

v y

 (vì u>v) Từ ñó ta có: x =2; y =2.(T/m)

KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2)

 (vì u>v) Từ ñó ta có: x =2; y =2.(Thỏa ñ/k)

KL: Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y)=(2; 2)

Trang 32

Phương pháp 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng biến thiên hàm số

ðây là phương pháp thường xuyên ñược sử dụng trong kỳ thi tuyển sinh ñại học trong những năm gần ñây Tuy về cách sử dụng nó khá ñơn giản, nhưng việc nhận ra hàm số và những kiến thức kèm theo lại không ñơn giản tí nào

Phương pháp: Từ phương trình (1) hoặc (2) của hệ phương trình ta biến ñổi về thành phương trình mà mỗi vế của phương trình chỉ bao gồm chứa x hoặc y sao cho hàm số chưa chúng giống nhau về cụm ẩn Sau ñó ta sử dụng tính chất sau:

Trang 33

x y

Trang 34

Bài tập mẫu 4: Giải hệ phương trình 3( 2 )

(Do y= 0 không là nghiệm của hệ phương trình)

Cộng phương trình của hệ vế theo vế ta ñược ( )3 ( ) 2 3 2 ( )

  + + + =   +

= −

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( ) (x y; = 1; 0 , −2;3)

Trang 35

ðiều kiện: 2 2

x y

Với x= 0 thì y= 1 thảo mãn ñiều kiện

2 2

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta suy ra y < 0

Trang 36

4 log 2y 4.2y 2 log y 2 0

Nên hệ phương trình f y( )=0 có nghiệm duy nhất y= − 1 ⇒x= 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) (x y; = 4; 1− )

Trang 37

Bài tập mẫu 9: Giải hệ phương trình ( ) ( )

Dễ thấy x= 0 không thỏa mãn hệ phương trình

Trang 38

1

x y

Trang 39

Trang 40

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:

Giải hệ phương trình sau:

4 4

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( )2

4y= + −x y 1 , ⇒ y≥ 0ðặt 4

=



 =

Với y= 0 ta ñược nghiệm của ( ) ( )x y; = 1; 0

Với y= 1 ta ñược nghiệm là ( ) ( )x y; = 2;1

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) ( )x y; = 1; 0 , 2;1

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:

Giải hệ phương trình sau:

Trang 41

Với y= 2x+ 1, thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

Khi ñó nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 0;1

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2013:

Giải hệ phương trình sau: 3 1 02

Trang 42

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012: Giải hệ phương trình sau

1 2

Trang 43

1 4

= −

 Với x=1 ta ñược y= − 1

Với x= − 3 ta ñược y= 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là (1; 1− ) và (−3; 7)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010: Giải hệ phương trình sau

Trang 44

Từ hệ phương trình ñã cho ta có :

0 2

1

x y

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Giải hệ phương trình sau

3

y> , phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta 3y− = 1 2x

Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với

1

1 2

1 1

3 1 3 1 3

2 2

Trang 45

x= ⇒ y= Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) 1

1 3

2

2 2

2

151

+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm

+ Hệ phương trình (II) có nghiệm ( ) 1

Trang 46

ðiều kiện: xy>0 ( )* , hệ phương trình ñã cho tương ñương với

4

x y

y y

5 4

, 5

3 3

2

x x

Trang 47

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( )( ) ( )

Từ ñiều kiện ta có x+ >y 0 nên ( )1 ⇔2y+1 3( )

Thay (3) vào(2) ta ñược(y+ 1) 2y = 2(y+ ⇔ = 1) y 2 (do y+ > 1 0)⇒ x= 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 5; 2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ñể hệ phương trình có nghiệm thì m≥ 22 hoặc 7 2

Trang 48

Nên phương trình f x( )=0 có nghiệm trong khoảng (− + ∝1; )

Suy ra f(x) là hàm số ñồng biến trong khoảng (− + ∝1; )

Do ñó, phương trình f x( )=0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (− + ∝1; )

Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất

phương trình ta suy ra: x+ = +y 3 t

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta ñược x+ + +y 2 2 xy+ + + =x y 1 16 2( )

+ =





=

 suy ra nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3;3

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2005: Giải hệ phương trình sau

Từ phương trình (2) của hệ suy ra 3 1 log( + 3x)−3log3y= ⇔3 log3x=log3 y⇔ =x y

Thay y=x vào phương trình (1) ta có

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2004: Giải hệ phương trình sau

u v

Tiêu đề	Hệ Phương Trình
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Huế
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Sách hướng dẫn luyện thi tuyển sinh đại học
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Huế

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	1,25 MB