Một số quy luật phân phối xác xuất thông dụng

Chương 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNGQUY LUẬT KHÔNG MỘT - Ap QUY LUẬT NHỊ THỨC - Bn,p QUY LUẬT POISSON - Pλ QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - Ua,b QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - Nµ;

Trang 1

Chương 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)

QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)

QUY LUẬT POISSON - P(λ)

QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b)

QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ; σ2)

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT SỬ DỤNG

TRONG THỐNG KÊ

Trang 2

Tổng quát: Giả sử tiến hành một phép thử trong đó biến cố A cóthể xảy ra với xác suất p Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trongphép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với 2 giá trị có thể là

0 hoặc 1, với xác suất tương ứng là P(X = 0) = P(¯A) = 1 − p vàP(X = 1) = P(A) = p

Trang 3

Ví dụ

Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 1 sản

phẩm Gọi A:"Lấy được phế phẩm" Ta có: P(A) = 0, 4 Gọi X là

số phế phẩm được lấy ra, tức là số lần biến cố A xuất hiện trong

phép thử trên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các

xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4

Trang 4

Trang 5

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có

bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân

theo quy luật không - một với tham số p

Kí hiệu: X ∼ A(p)Bảng phân phối xác suất của X

X 0 1

Px 1-p pCác tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p)

Trang 6

Định nghĩa

Kí hiệu: X ∼ A(p)

Bảng phân phối xác suất của X

X 0 1

Trang 7

Định nghĩa

Trang 8

Định nghĩa

X 0 1

Px 1-p pCác tham số đặc trưng:

E(X) = p; V(X) = p(1-p)

Trang 9

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể cóbằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuântheo quy luật không - một với tham số p

X 0 1

Trang 10

Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng

để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với hai

phạm trù luân phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/

không thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối )

Đặc điểm cơ bản: Kỳ vọng toán phản ánh cơ cấu vì E(X) =p

Trang 11

Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng

để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với haiphạm trù luân phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/không thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối )

Đặc điểm cơ bản: Kỳ vọng toán phản ánh cơ cấu vì E(X) =p

Trang 12

Giả sử có một lược đồ Bernoulli, gọi X là số lần xuất hiện biến cố

A trong n phép thử độc lập đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhậncác giá trị: 0, 1, , n, với các xác suất tương ứng được tính bởicông thức:

Px = P(X = x ) = Cnxpx(1 − p)n−x, x = 0, 1, , n

Trang 13

Giả sử có một lược đồ Bernoulli, gọi X là số lần xuất hiện biến cố

A trong n phép thử độc lập đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhậncác giá trị: 0, 1, , n, với các xác suất tương ứng được tính bởicông thức:

Px = P(X = x ) = Cnxpx(1 − p)n−x, x = 0, 1, , n

Trang 14

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1, , n

với xác suất tương ứng được tính bằng công thức

Trang 17

Các tham số đặc trưng:

E (X ) = np

V (X ) = np(1 − p) → σ x = pnp (1 − p)

np + p − 1 ≤ m 0 ≤ np + p

Trang 21

Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức

Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli.

Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập và cùng phân phối A(p) thì:

Trang 22

Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa

Trang 23

Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa

Trang 24

Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli.

Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập và cùng phân phối A(p) thì:

Trang 25

Ví dụ

Một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 5 lựa chọntrong đó chỉ có 1 đáp án đúng Một học sinh dự thi bằng cáchchọn ngẫu nhiên một đáp án cho mỗi câu hỏi

a Tìm quy luật phân phối xác suất của số câu trả lời đúng

b Mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, sai 0 điểm Tính xác suất đểhọc sinh đó được ít nhất 15 điểm

c Tìm số điểm trung bình học sinh đó

Trang 26

Ví dụ

a Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10

phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lời

đúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2 Gọi X là số câu trả

lời đúng cho 10 câu hỏi X ∼ B (10; 0,2)

b Học sinh đạt ít nhất 15 điểm nếu trả lời đúng ít nhất 8 câu

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

c E(2X) = 2.E(X) = 2 10 0,2 = 4

Trang 27

Ví dụ

a Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10

phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lời

đúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2 Gọi X là số câu trả

lời đúng cho 10 câu hỏi X ∼ B (10; 0,2)

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

c E(2X) = 2.E(X) = 2 10 0,2 = 4

Trang 28

Ví dụ

a Coi việc trả lời 1 câu hỏi của học sinh là 1 phép thử, ta có 10phép thử độc lập và trong mỗi phép thử, biến cố “học sinh trả lờiđúng” có thể xảy ra với xác suất luôn bằng 0,2 Gọi X là số câu trảlời đúng cho 10 câu hỏi X ∼ B (10; 0,2)

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

c E(2X) = 2.E(X) = 2 10 0,2 = 4

Trang 29

Ví dụ

Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 15%

a Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm Tìm xác suất để được khôngquá 1 phế phẩm

b Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm Tìm xác suất để số chínhphẩm sản xuất ra sai lệch so với số chính phẩm trung bình nhỏhơn 1

c Nếu mỗi đợt sản xuất trung bình muốn có 12 chính phẩm thìphải cho máy đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm

Trang 30

c Giả sử phải sản xuất n sản phẩm Gọi Z là số chính phẩm đượcsản xuất ra Z ∼ B(n; p = 0,85).

=⇒ E (Z ) = np = 0, 85.n = 12 =⇒ n = 12

0, 85 = 14, 1 =⇒ n = 15

Trang 32

c Giả sử phải sản xuất n sản phẩm Gọi Z là số chính phẩm đượcsản xuất ra Z ∼ B(n; p = 0,85).

=⇒ E (Z ) = np = 0, 85.n = 12 =⇒ n = 12

0, 85 = 14, 1 =⇒ n = 15

Trang 33

b Xác suất để trong 1 ca sản xuất có trên 48 máy tốt?

c Trung bình có bao nhiêu máy tốt?

d Giả sử mỗi kĩ sư máy chỉ có khả năng sửa chữa kịp thời tối đa 2máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất Hỏi nên bố trí bao nhiêu kĩ sưmáy trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất?

Trang 34

Ví dụ

a + A: "1 máy bị hỏng"

+ 50 máy hoạt động độc lập ⇐⇒ 50 phép thử độc lập

+ X là số máy hỏng trong 1 ca sản xuất = số lần xảy ra biến cố A

Bài toán thoả mãn lược đồ Bernoulli, do đó X ∼ B(n = 50;p =

0,07)

b P(có trên 48 máy tốt) = P(X ≤1) = P(X = 0) + P(X = 1)

c Gọi Y là số máy tốt Ta có Y ∼ B(n = 50; p = 0,93)

E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5

d Ta phải tìm k sao cho P(X = k) = max Ta có:

2,57 = np + p - 1 ≤ k ≤ np + p = 3,57 Vậy k = 3, suy ra nên

bố trí 2 kĩ sư trực cho 1 ca sản xuất là hợp lí nhất

Trang 35

Ví dụ

0,07)

E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5

Trang 36

Ví dụ

0,07)

E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5

Trang 37

E(Y) = n.p = 50.0,93 = 46,5

Trang 38

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X

= 0,1, với xác suất tương ứng được tính bằng công thức

PX = e−λ·λ

x

x !gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số λ Kí hiệu

X ∼ P(λ)Các xác suất PX được tính sẵn thành bảng

Trang 39

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X

= 0,1, với xác suất tương ứng được tính bằng công thức

PX = e−λ·λ

x

x !gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số λ Kí hiệu

X ∼ P(λ)

Các xác suất PX được tính sẵn thành bảng

Trang 40

Các tham số đặc trưng

E (X) = V (X) = λ λ-1 ≤ m 0 ≤ λ

Điều kiện áp dụng quy luật Poisson

Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20.

Cnxpx(1 − p)n−x ≈e

−λ λx

x ! λ = npNếu X 1 , X 2 độc lập, X 1 ∼ P(λ 1 ), X 2 ∼ P(λ 2 ) thì X 1 + X 2 ∼ P(λ 1 + λ 2 ).

Trang 41

E (X) = V (X) = λ

λ-1 ≤ m 0 ≤ λ

−λ λx

Trang 42

E (X) = V (X) = λ

λ-1 ≤ m 0 ≤ λ

−λ λx

Trang 43

E (X) = V (X) = λ

λ-1 ≤ m 0 ≤ λ

Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công

thức Bernoulli nếu thỏa mãn : p ≤ 0,1 và n ≥ 20.

−λ λ x

x ! λ = np

Nếu X 1 , X 2 độc lập, X 1 ∼ P(λ 1 ), X 2 ∼ P(λ 2 ) thì X 1 + X 2 ∼ P(λ 1 + λ 2 ).

Trang 44

E (X) = V (X) = λ

λ-1 ≤ m 0 ≤ λ

−λ λ x

x ! λ = npNếu X 1 , X 2 độc lập, X 1 ∼ P(λ 1 ), X 2 ∼ P(λ 2 ) thì X 1 + X 2 ∼ P(λ + λ ).

Trang 45

Ví dụ

Xác suất để 1 chai rượu bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0003.Người ta vận chuyển 2000 chai rượu

a) Tìm xác suất để có nhiều nhất 5 chai bị vỡ

b) Tìm số chai bị vỡ trung bình khi vận chuyển

c) Tìm số chai vỡ có khả năng xảy ra nhiều nhất khi vận chuyển

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Ví dụ

a) Gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển 2000 chai rượu

X ∼ P (λ = 2000.0,0003 = 6)

P(X ≤ 5) = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,0025 + 0,0149+ 0,0446 + 0,0892 + 0,1339 + 0,1606 = 0,4457

b) E(X) = λ = 6

c) λ - 1 ≤ m0 ≤ λ → 5 ≤ m0 ≤ 6 → m0 = 5; 6

Trang 49

Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận bất kì giá trị nào trênkhoảng (a,b), a,b ∈ R và ứng với mỗi giá trị là một hàm mật độxác suất như nhau thì X có phân phối đều

Khi đó, hàm mật độ xác suất f(x) = C, ∀x ∈ (a; b)

Cdx = bC − aC → C = 1

b − a

Trang 50

Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận bất kì giá trị nào trênkhoảng (a,b), a,b ∈ R và ứng với mỗi giá trị là một hàm mật độxác suất như nhau thì X có phân phối đều

Khi đó, hàm mật độ xác suất f(x) = C, ∀x ∈ (a; b)

Cdx = bC − aC → C = 1

b − a

Trang 51

0 x /∈ (a, b)

Trang 52

0 x /∈ (a, b)

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Trang 56

Ví dụ

Giả sử lãi xuất của một loại cổ phiếu dao động trong khoảng từ 6đến 12 % Hỏi có nên đầu tư vào loại cổ phiếu này không biết rằnglãi suất tiền gửi ngân hàng là 8%

Trang 57

Ví dụ

Giả sử lãi xuất của một loại cổ phiếu dao động trong khoảng từ 6đến 12 % Hỏi có nên đầu tư vào loại cổ phiếu này không biết rằnglãi suất tiền gửi ngân hàng là 8%

Trang 58

Ví dụ

Gọi X là lãi suất cổ phiếu (%) Do khôngbiết thông tin gì thêmnên ta coi X phân phối đều trong khoảng (6;12) X có hàm mật độxác suất:

f (x ) =

1 12−6 = 16 x ∈ (6, 12)

1

6dx =

23Vậy nên đầu tư vào cổ phiếu

Trang 59

Trang 60

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng

(−∞; +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số

µ và σ nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

f (x ) = 1

σ√2πe

−(x −µ)22σ2

Trang 61

Đồ thị của hàm mật độ xác suất có dạng:

Các tham số đặc trưng: E (X) = µ; V(X) = σ2

Kí hiệu : X ∼ N(µ, σ2)

Trang 62

Đồ thị của hàm mật độ xác suất có dạng:

Các tham số đặc trưng: E (X) = µ; V(X) = σ2

Kí hiệu : X ∼ N(µ, σ2)

Trang 63

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục U nhận giá trị trong khoảng (−∞; +∞)gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn hóa nếu nó phân phốichuẩn với µ = 0 và σ2= 1

Kí hiệu: U ∼ N(0;1)

Trang 64

Hàm mật độ của U:

ϕ(u) = √1

2π · e

− u2 2

Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng:

Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u)

= - ϕ(u)Chú ý Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X −µσ ∼ N(0, 1)

Trang 65

Hàm mật độ của U:

ϕ(u) = √1

2π · e

− u2 2

Đồ thị của hàm có mật độ xác suất ϕ(u) có dạng:

Các giá trị của hàm ϕ(u)được tính sẵn thành bảng với ϕ(-u)

= - ϕ(u)Chú ý Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì U = X −µσ ∼ N(0, 1)

Tiêu đề	Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
Trường học	Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành	Thống kê xác suất
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	132
Dung lượng	1,05 MB