Bài giảng xác xuất thống kê nguyễn độc lập

Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi NguyờnĐịnh nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử ch

Trang 1

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI

NGUYÊN Biên soạn: Nguyễn Độc Lập

Bộ môn: Toán - Tin

Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên

Trang 2

Chương II

Giới thiệu

Chương I

Chương III Chương IV

Chương V Chương VI Chương VII Chương VIII MỤC LỤC PHẦN II XÁC SUẤT

PHẦN III THỐNG Kấ

Trang 3

Trang 4

Chương III Các định lý xác suất

3.1 Công thức cộng xác suất

3.2 Công thức nhân xác suất

3.3 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

3.4 Công thức Bernoulli

Chương IV Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật PP xác suất

4.1 Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

4.2 Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

4.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

4.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Trang 5

Chương V Lý thuyết mẫu

5.1 Tổng thể và mẫu

5.2 Các đặc trưng của mẫu.

5.3 Mẫu thu gọn, phương pháp đổi biến

Chương VI Ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên

6.1 Các phương pháp ước lượng điểm

6.2 Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

Trang 6

Chương VII Kiểm định giả thiết thống kê

7.1 Quy tắc kiểm định giả thiết

7.2 Các sai lầm mắc phải khi kiểm định

7.3 Kiểm định giả thiết về kỳ vọng toán của ĐLNN có PP chuẩn.

7.4 Kiểm định giả thiết về xác suất hoặc tỷ lệ

Trang 7

Chương VIII Lý thuyết tương quan và hồi quy

8.1 Hệ số tương quan mẫu

8.2 Tính chất của hệ số tương quan mẫu

8.3 ý nghĩa của hệ số tương quan

8.4 Cách tính hệ số tương quan

8.5 Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm

8.6 Hàm hồi quy

8.7 Phương trỡnh đường hồi quy tuyến tính

8.8 Tỡm phương trỡnh hồi quy TT dựa vào hệ số tương quan mẫu

Trang 8

Trang 9

Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn

Chương I

Bổ túc về giải tích tổ hợp

Trang 10

Ví dụ 1: Với ba chữ số 1, 2, 3; Hỏi có thể tạo nên được bao

nhiêu số gồm hai chữ số khác nhau từ ba chữ số đã cho?

Giải: Tập hợp các phần tử là: 1 , 2 , 3 (3 phần tử) Số gồm hai chữ số khác nhau có thể là các cặp: 12, 13, 21, 23, 31,

Trang 11

Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp chập k từ n phần tử là

một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử cho (k<n) Ký hiệu: A n k

Từ n phần tử đã cho có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập

k khác nhau Chỉnh hợp này khác chỉnh hợp kia bởi có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp các phần

1 ) (

2 )(

1

(

k n

n k

n n

Trang 12

Bài giảng XSTK – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên

VÝ dô 2: Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®îc t¹o

nªn bëi 6 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

Gi¶i: §ã lµ chØnh hîp chËp 3 cña 6

120 6

5

4 )!

3 6 (

! 6

Chó ý: Trong c¸ch lÊy mÉu tõ tËp hîp chÝnh cã n phÇn tö, ta

lÊy mÉu chøa k phÇn tö vµ quy íc r»ng hai mÉu lµ kh¸c nhau nÕu:

+ Chóng kh¸c nhau vÒ tªn gäi trong mÉu

+ Chóng kh¸c nhau vÒ thø tù xuÊt hiÖn trong mÉu

Trang 13

VÝ dô: trong 6 sè 1,2,3,4,5,6 lÊy ra c¸c mÉu gåm 3 ch÷ sè

+ Hai mÉu (123) vµ (456) lµ kh¸c nhau (cã c¸c phÇn tö kh¸c

Trang 14

Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là

một nhóm có thứ tự gồm k phần tử n phần tử đã cho, mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,3, , k lần trong nhóm tạo thành (ở

Trang 15

VÝ dô 3: Cã bao nhiªu c¸ch xÕp 3 sinh viªn vµo mét bµn gåm

5 chç ngåi

Gi¶i: TËp ban ®Çu gåm 5 phÇn tö (n=5) Mçi c¸ch xÕp chç

lµ chØnh hîp chËp 3 cña 5 phÇn tö VËy sè c¸ch xÕp chç ngåi

lµ: 3 4 5 60

)!

3 5 (

! 5

Trang 16

1.2 Hoán vị

* Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ

tự gồm đủ n phần tử đã cho Ký hiệu số hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử là: P n  !n  A n n

* Cách tính: Do các hoán vị n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ

tự sắp xếp các phần tử đó (Đó chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử) Nên:

P n  n!  n(n  1 )(n  2 ) 2 1  n!  A n n

Trang 17

Ví dụ: Trên một ghế dài có 4 chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách

sắp xếp chỗ cho 4 sinh viên A, B, C, D ngồi

Giải: Mỗi cách xếp chỗ cho 4 sinh viên vào 4 chỗ ngồi là

hoán vị của 4 người

Tổng quát: Nếu trong n phần tử có m1 phần tử thuộc nhóm

Trang 18

* Cách tính: Để tính Cn k ta chú ý rằng hai mẫu là khác nhau

nếu chúng chứa các phần tử khác nhau (đó là mẫu không thứ tự)

Do đó nếu lấy một mẫu không thứ tự rồi hoán vị các phần

tử của nó sẽ được k! chỉnh hợp chập k từ n phần tử

Trang 19

Suy ra:

!

) 1 ) (

1 (

!

k

k n n

n k

A C

k

k n k

n

k n

(

!

1 2 )

)(

1 ) (

1 (

n k

k n k

n n

n k

A C

k n k

k

k n k

n

k n k

n k

n n k n

(

! (

!

C«ng thøc (2) tiÖn lîi khi tÝnh sè tæ hîp lín

! 123

! 1

! 124

1 124

123

124  C  

C

Trang 20

1 (

)!

1 (

)!

( )!

1 (

) 1 (

)!

1 (

)!

(

) 1 ( ) 1 (

! )!

1 (

)!

1 (

! )!

(

!

k n k

n k

n n k

k n

k k

n k

1 (

)!

1 (

1 1

k n k

Trang 21

2

! 9

! 8

! 2

! 10

2

10   

Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một

lượt Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu

Ví dụ 2: Một nhóm sinh viên gồm 12 người Hỏi có bao nhiêu

cách thành lập nhóm thực hành? (mỗi nhóm gồm 3 người)

Giải: Mỗi cách lấy 3 trong 12 người là một tổ hợp chập 3 của 12.

Vậy số cách thành lập là:

660 3

2 1

12 11 10 )!

3 12 (

! 3

Trang 22

1.4 NhÞ thøc Newton:

Ta cã: (x  a)2  x2  2a.x  a2  C x0x2 C21x.a  C22a2

3 3 3

2 2

3

2 1 3

3 0 3

3 2

2 3

3

.

3

3 )

(x  a  x  x a  x a  a  C x  C x a  C x a  C a

B»ng quy n¹p ta chøng minh ®îc:

n n n

n n

n

n n

n

a C a

x C

a x

C a

x C x

C a

m m n m n

n

a x

C a

x

0

)

Trang 23

C¸c hÖ sè Cn m trong (3) sÏ cã ®îc nhê tam gi¸c Pascal:

Trang 24

Chương II Các kháI niệm về xác suất

Trang 25

2.1 Phép thử và các loại biến cố

2.1.1 Định nghĩa: Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ

bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không đựợc gọi là thực hiện một phép thử; Còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử gọi là biến cố

Trang 26

2.1.2 Các loại biến cố

+ Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hay không

xảy ra khi thực hiện một phép thử và thường được ký

hiệu là A, B, C hoặc A1, A2, , An

Ví dụ 1): Tung một con xúc xắc, nếu A là biến cố "xuất

hiện mặt 6 chấm" thì A là biến cố ngẫu nhiên

+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi

thực hiện một phép thử Ký hiệu là 

Ví dụ 2): Tung một con xúc xắc,  là biến cố "xuất hiện mặt  6 chấm"

Trang 27

+ Biến cố không thể: là biến cố nhất định không xảy ra khi

thực hiện một phép thử Ký hiệu và V hoặc 

Ví dụ 3): Tung một xúc xắc, V là biến cố” xuất hiện mặt 7

chấm”

+ Biến cố sơ cấp: Một biến cố sơ cấp là một tập con gồm

đúng một phần tử của không gian mẫu

Ví dụ 4): 6 biến cố sơ cấp khi tung một con xúc xắc là

     1 , 2 , 6

Do đó, tập hợp các kết quả có thể xảy ra gọi là không gian mẫu của phép thử hoặc còn gọi là không gian các biến

cố sơ cấp

Trang 28

2.1.3 Quan hệ giữa các loại biến cố

+ Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xuất hiện kéo theo

biến cố B cũng xuất hiện, ta nói biến cố A kéo theo biến cố B

Ký hiệu A  B hay B  A

Ví dụ 1): Gieo một con xúc xắc Gọi là biến cố xuất hiện

mặt 2 chấm B là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A xuất hiện kéo theo B xuất hiện

Nếu biến cố A kéo theo biến cố B và biến cố B kéo theo A thì ta nói A và B là hai biến cố tương đương

Trang 29

+ Hợp (tổng) của của các biến cố: Hợp của hai biến cố A

và B là biến cố sao cho khi biến cố này xuất hiện nếu có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xuất hiện và ngược lại

Ký hiệu: A B Tổng quát: n i

i A



1

Ví dụ 2): Gieo một xúc xắc Gọi A i là biến cố xuất hiện mặt i chấm i  1 , 6 A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt lẻ Khi đó:

5 3

1 6

4

A

Trang 30

+ Giao (tích) của hai biến cố A và B là một biến cố sao

cho biến cố này xuất hiện khi cả hai biến cố A và B đồng thời

xuất hiện: Ký hiệu A  B Tổng quát: n i

i A



1



Ví dụ 3): Biến cố một sinh viên đỗ tốt nghiệp là giao các

biến cố các môn thi tốt nghiệp đạt từ 5 điểm trở lên

+ Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố khi A xuất hiện còn

B không xuất hiện Ký hiệu: A\ B

Ví dụ 4): Gieo một xúc xắc A là biến cố xuất hiện mặt mặt

chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt 2 Khi đó A\ B là biến cố xuất hiện mặt 4 hoặc 6

Trang 31

+ Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung

khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra sau phép thử Tức là





 B

và ngược lại, hoặc cả hai biến cố A và B đều không xảy ra sau phép thử

Hệ n sự kiện A1, A2, ,A n được gọi là xung khắc từng đôi

nếu A i  A j  ,(i  j).

+Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau

nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại B xảy ra thì A không xảy ra

Ký hiệu biến cố đối lập của A là A

A A

Trang 32

Ví dụ 5): Gieo một con xúc xắc Gọi A i( i 1 , 6 ) là biến cố xuất hiện mặt i chấm

A là biến cố xuất hiện mặt chẵn

B là biến cố xuất hiện mặt lẻ Khi đó: A1 và A2là xung khắc nhau, A1, A2, , A6 là xung khắc từng đôi

A và B là hai biến cố đối lập

Trang 33

+ Hệ đầy đủ các biến cố: Một hệ các sự kiện A1,A2, ,A n xung



i n

i A



1

, được gọi là hệ đầy đủ các sự kiện

Nếu khả năng xuất hiện các sự kiện đó là như nhau thì ta gọi đó là hệ đầy đủ đồng khả năng

Ví dụ 6): Xét phép thử gieo một xúc xắc, Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm ( i 1 , 6 ) Khi đó A1, A2, , A6 là hệ đầy đủ và đó cũng là hệ đầy đủ đồng khả năng

Nếu A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, A là biến cố xuất hiện mặt lẻ thì A và A cũng lập nên một hệ đầy đủ đồng khả năng

Trang 34

2.2 Xác suất và các định nghĩa về xác suất

2.2.1 Xác suất của biến cố

Biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người nên không đoán trước được Tuy nhiên, bằng trực giác,

có thể nhận thấy các biến cố khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau

Ví dụ 1): Tung một đồng xu, thì biến cố được mặt sấp có

khả năng xảy ra nhiều hơn so với biến cố xuất hiện mặt 6 chấm khi ta tung một con xúc xắc

Trang 35

Khi lặp đi, lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong cùng một điều kiện như nhau, người ta thấy tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định Bởi vậy ta có khả năng định lượng khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó

Vậy: Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng

cho khả năng khách quan xuất hiện một biến cố khi thực hiện một phép thử

Trang 36

2.2.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Ví dụ 1): Giả sử tung một xúc xắc cân đối và đồng chất

Hãy xác định xác suất của biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Giải: Khi tung xúc xắc, có thể xảy ra 6 trường hợp: xuất

hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 6 chấm

Các trường hợp này là duy nhất và đồng khả năng Biến

cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn có 3 trường hợp (mặt 2,

mặt 4, mặt 6) trong tổng số 6 trường hợp Vậy 0 , 5

Trang 37

2.2.3 Các tính chất của xác suất

1) 0  P(A)  (Vì 0  m  n)

2) P() = 1 (Vì m = n, biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1) 3) P() = 0 (Vì m = 0)

n i

A P A

P

1 1

) (



* Chú ý: Một biến cố có xác suất bằng 1 chưa chắc đã là

xác suất chắc chắn và nếu một biến cố có xác suất bằng 0 chưa hẳn đã là biến cố không thể có

Trang 38

Ví dụ 1): Trong một bình có a quả cầu trắng, b quả cầu

đen Lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu Tìm xác suất để lấy

được cầu trắng

Giải: Gọi là biến cố "lấy được cầu trắng" Lấy ngẫu nhiên

1 quả, ta có thể lấy được bất kỳ quả nào trong số a + b quả cầu Số kết quả đồng khả năng là a + b Biến cố A sẽ xảy ra khi lấy được 1 trong số a quả cầu trắng Ta thấy số kết quả thuận lợi là m  a

Vậy:

b a

a A

P



 ) (

Trang 39

Ví dụ 2) Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối

của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ được là chúng khác nhau Tính xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần

được đúng số cần gọi

Giải: Gọi B là biến cố "quay ngẫu nhiên một lần được

đúng số cần gọi" Số kết quả đồng khả năng là tất cả các phương thức để lập nên 1 cặp 2 số khác nhau từ 10 số tự nhiên đầu tiên

Đó là chỉnh hợp chập 2 của 10  n  A102  10 9  90

Số kết quả thuận lợi cho B chỉ có 1 Vậy

90

1 )

P

Trang 40

Ví dụ 3) Trong một bình có 6 quả cầu giống hệt nhau

được đánh số từ 1 dến 6 Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu Tính xác suất để số quả cầu lấy ra trùng với số thứ tự lần lấy

Giải: Gọi C là biến cố "số của quả cầu lấy ra trùng với số

(C 

P

Trang 41

Ví dụ 4) Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6

chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm Tính xác suất để:

a) Cả 3 sản phẩm đều là chính phẩm

b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm

Giải:

a) Gọi A là biến cố ấy được 3 chính phẩm

Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra m  C63  20

Số kết quả đồng khả năng là n  C103  120

Vậy

6

1 )

n

m A

P

Tiêu đề	Bài giảng xác xuất thống kê Nguyễn Độc Lập
Tác giả	Nguyễn Độc Lập
Trường học	Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Xác suất Thống Kê
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	298
Dung lượng	9,59 MB