SỞ GD & ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi 17/3/2011 Môn Toán Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức , với a là nghiệm dương của phương[.]
Trang 1
SỞ GD & ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi: 17/3/2011
Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1: (4,0 điểm)
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho hình tròn có diện tích bằng 1, lấy 17 điểm bất kỳ trong hình tròn đó
và không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm lập thành một tam giác mà diện tích nhỏ hơn
Bài 3: (4,0 điểm)
b) Cho phương trình (b2 + c2 - a2)x2 - 4bcx + (b2 + c2 - a2) = 0; trong đó x là
ẩn và a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng d song song với đáy, cắt cạnh bên AD tại P và cắt cạnh bên BC tại Q Cho biết đường thẳng d chia hình thang ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau
Tính độ dài cạnh PQ; với AB = 9cm và CD = 15cm
Bài 5: (4,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính BC và điểm A di động trên đường tròn
đó (với A khác B và C) Đường phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại K (với K khác A) Biết độ dài đường cao của tam giác ABC là AH = h
a) Tính diện tích tam giác AHK theo R và h
b) Tìm giá trị của h để diện tích tam giác AHK đạt giá trị lớn nhất
ĐÈ CHÍNH THỨC
Trang 2Một lời giải:
Bài 1:
dương, một nghiệm âm
(với 0< a < 1)
= (vì a+3>0)
ĐKXĐ: x
(1)
Tập nghiệm của phương trình là S = {2 }
Bài 2:
a) Chia hình tròn ra 8 phần bằng nhau Vì 17 = 8.2 + 1, nên tồn tại một phần chứa ít nhất 3 điểm (không thẳng hàng) Do đó có ít nhất 3 điểm lập thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn
Trang 3Ta có 2x - 1 - 2 .1 +1 =
(1) (vì x>0)
Vậy (x; y) = (1; 1)
Bài 3:
ĐKXĐ: x, y, z 0
(1)
(vì x, y, z 0)
b) (b2 + c2 - a2)x2 - 4bcx + (b2 + c2 - a2) = 0
* Nếu b2 + c2 - a2= 0, thì phương trình trở thành:
4bcx = 0 (luôn có nghiệm)
* Nếu b2 + c2 - a2 0, ta có
' = (-2bc)2 - (b2 + c2 - a2)2 = (a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)( b + c - a) > 0 (do a, b, c là ba cạnh của một tam giác)
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm
Bài 4:
Gọi h1, h2 lần lượt là chiều cao của hình thang
ABQP, PQCD
Đặt PQ = x
Ta có 2SABQP = 2SPQCD = SABCD
(x + 9)h1 = (x + 15)h2 = (9 + 15)(h1 + h2)
(x + 9)h1 = (x + 15)h2 = 12h1 + 12h2
(vì x > 0)
9 x 15
Q
D
P
C
h1
h2
Trang 4Vậy PQ = cm.
Bài 5:
a) Dễ thấy OK BC Gọi I là gaio điểm của AK và OH
Dấu " = " xảy ra khi h = h =
Vậy SAHK đạt giá trị lớn nhất khi h =
c) Ta có OH2 = HK2 - R2 = AH2 - R2 (1)
Ta có OH2 = R2 - AH2 (2)
(1) & (2) OH = tg =
R
I H K
A