SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi 30/3/2010 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi : 30/3/2010
Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy
b) Cho biểu thức với a là số tự nhiên chẵn
Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên
Bài 2 : (4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6
b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x =
Bài 3 : (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b)Giải hệ phương trình:
Bài 4 ( 5,0 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB,
AC tại B và C Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK,
Q là giao điểm của MC với IH
a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
b) Chứng minh PQ // BC
c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 )
d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng
Bài 5 ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO, BO,
CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh :
9
-
HẾT -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Môn : TOÁN
1
4điểm
a
2điểm Ta có: 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33
(y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) = = (-33)
(-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3)
Ta xét các trường hợp sau :
Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên
Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) Các trường hợp còn lại giải ra đều không thoả mãn bài toán
0,75đ
0,5đ 0,5đ
0,25đ b
2điểm Vì a chẵn nên a = 2k
Do đó
Ta có :
Ta chứng minh : Thật vậy :
- Nếu k = 3n (với ) thì
- Nếu k = 3n + 1 (với ) thì
- Nếu k = 3n + 2 (với ) thì
Với mọi luôn chia hết cho 2 và cho 3
Mà (2, 3) = 1 Vậy A có giá trị nguyên
0,25đ
0,5đ 0,25đ
0,75đ 0,25đ
2
4điểm
a 2điểm a) 2x
3 – 9x2 + 13x – 6 = 2x3 – 2x2 – 7x2 + 7x + 6x – 6
= 2x2(x -1) – 7x(x – 1) +6(x – 1) = (x – 1)(2x2 – 7x + 6)
= (x – 1)(x – 2)(2x – 3)
0,5đ 1,0đ 0,5đ b
2điểm Đặt u = Ta có x = u + v và ; v =
u.v =
hay Vậy M = 40
0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 3
5điểm 2,5điểma PT: ĐKXĐ: 2 (1)
Chứng minh được:
Dấu “=” xảy ra x – 2 = 6 – x x = 4
0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 3Dấu “=” xảy ra (x – 4)2 = 0 x - 4 = 0 x = 4 Phương trình (1) xảy ra x = 4
Giá trị x = 4 : thỏa mãn ĐKXĐ Vậy:
0,5đ 0,25đ b
2,5điểm Điều kiện:
Giải (2) ta được:
Thay xy = 2 vào (1) ta được x + y = 3 (5)
Từ (5) và (3) ta được: ( thoả mãn ĐK) Thay xy = vào (1) ta được x + y = (6)
Từ (6)và(4) ta được: (thoả mãn ĐK)
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,25đ
4
5điểm
O 1
E'
A
H
B
P I Q
K E D
N O2
O M
C
Trang 41.0điểm
b
1,5điểm
c
1,25điểm
d
1,25điểm
a) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của
Vì ABC cân tại A nên
Gọi tia đối của tia MI là tia Mx
Ta có tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp
Vậy Mx là tia phân giác của của
b) Tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp
( cùng bằng )
Ta lại có ( tổng ba góc trong tam
giác)
Do đó tứ giác MPIQ nội tiếp
( cùng bằng )
Mà ( vì cùng bằng )
PQ// BC c) Ta có ( cùng bằng )
mà ( c/minh b)
Hai tia QP;QH nằm khác phía đối với QM
PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại tiêp điểm Q (1) Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của đường tròn
(O1) tại tiêp điểm P (2)
(1) và (2) PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn (O1) và
(O2)
d) Gọi E; E’lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC
Ta có PE2 = EM EN ( vì PEM NEP )
QE2 = EM EN ( vì QEM NEQ )
PE2= QE2 ( vì PE;QE >0)
PE= QE
Xét MBC có PQ // BC ( c/m b) nên:
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,25đ
0,5đ
Trang 5( định lí Ta Lét)
Mà EP = EQ E’B = E’C do đó E’ D Suy ra N, M, D thẳng hàng
0,75đ
5
2điểm
N A
O
K
P
Từ A và O kẻ AH BC
OK BC (H, K BC)
AH // OK
(2) (1) , (2)
Tương tự :
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
(a+ b + c) ( ) 9
Từ (3) ,(4) suy ra : (đpcm)
0,25đ 0,25đ
0,75đ
0,75đ
Ghi chú:
- Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn
cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài
- Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng bước lập luận, biến đổi Tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm
- Điểm toàn bài không làm tròn số