së gi¸o dôc ®µo t¹o qung ninh kú thi häc sinh giái cÊp tØnh m«n To¸n líp 9 n¨m häc 2012 2013 Thêi gian lµm bµi 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 Rót gän biÓu thøc M = víi x ( , x < 3 Bµi 2 G[.]
Trang 1kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm học 2012-2013
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1
Rút gọn biểu thức M = với x , x < - 3.
Bài 2
Giải phơng trình:
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đờng thẳng (dm) xác
định bởi phơng trình: (m-1)x + (m+1)y = với m là
tham số Tính khoảng cách từ điểm gốc toạ độ O đến đờng thẳng (dm)
Bài 4
Cho đờng tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R) Điểm A
di chuyển trên cung lớn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn
Kẻ các đờng cao BD và CE của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H
1 Chứng minh: CH.CE + BH.BD = BC2
2 Chứng minh rằng đờng thẳng qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5
Tìm tất cả các số nguyên dơng x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100
Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 với x R
- Hết
Trang 2-híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n to¸n líp 9 n¨m häc 2012-2013
®iÓm
Trang 3ài 1
3,5
điể
m
Với x < -3, có: x+3 + 2 = + 2
và 6-2x + = … = (2 + )
Từ đó suy ra M = / hay M =
1,0 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ
B
ài 2
3,5
điể
m
Đặt = a, = b, ta có hệ: a - b = 1; a3 - 2b3 = 1
Giải hệ trên, tìm đợc b = 0, a = 1
Từ đó tìm đợc nghiệm x =1 Vậy phơng trình có duy
nhất nghiệm x =1
Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng 2 vế, nhng
khi biến đổi ph/tr sẽ có phép biến đổi không tơng
đ-ơng nên nếu thí sinh không thử lại trớc khi kết luận về
nghiệm của ph/tr đã cho thì trừ 1,5 điểm
1,0 đ 2,0 đ 0,5 đ
1,25 đ 0,5 đ
B
ài 3
3
điể
m
* Với m = 1, (dm) có ph/trình y = 1 => là đờng thẳng //
với Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ y = 1 => khoảng
cách từ điểm O đến (dm) = 1
* Với m = -1, (dm) có ph/trình x = -1 => là đờng thẳng //
với Oy, cắt Ox tại điểm có hoành độ độ x = -1 =>
khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1
* Với m 1, tìm đợc (dm) cắt Ox tại điểm A(
/(m-1); 0) và cắt Oy tại điểm B(0; ( /(m+1))
Trong OAB vuông tại O, kẻ đờng cao OH, có OA=
/(m-1) ,
OB = /(m-1) ,
d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/
từ đó tính đợc OH = 1 với mọi m 1
Vậy OH = 1 với mọi m
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
B
ài
4.1
2,5
điể
m
Gọi K là giao của AH với BC, suy ra AK BC và K ở giữa B
và C
Chứng minh đợc: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC
Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK)
= BC2
0,5 đ 1,5 đ 0,5 đ
B
ài
4.2
2,5
điể
m
Kẻ Ax là tiếp tuyến với đờng tròn (O; R) tại A
Có ABC = EDA; ABC = CAx
=> EDA = CAx => Ax // ED
do đó đờng thẳng At qua A và vuông góc với DE phải
vuông góc với Ax
suy ra At đi qua tâm O của đờng tròn (O; R) là điểm cố
định (đpcm !)
1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 4Hình vẽ bài 4:
H
x
O
A
D E
K
điểm B
ài 5
2
điể
m
Có: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 <
13
cùng với giả thiết, có 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z
=> x+y+z = 12
Ta có hệ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2)
Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), đợc:
y+2z = 4 (3)
Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y+2z ≥
4, mâu thuẫn)
Với z = 1, tìm đợc y = 2 và x = 9
Thử lại, thấy đúng Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z
= 1 thoả mãn
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
B
ài 6
2
điể
m
Biến đổi đợc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 = (x2 - x + 1)2
+1
= ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + 1 với x R
Do (x-(1/2))2 0 với xR =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)2 25/16
vớixR
F(x) = 9/16 khi x = 1/2
Vậy F(x) nhỏ nhất = 25/16
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
Trang 51 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số
điểm dành cho câu hoặc phần đó
3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhng không dới 0,25 đ
và phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số
điểm các phần đã chấm, không làm tròn
