Microsoft PowerPoint EM ch1 lecture 02 S1 13 14 ppt 1 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp HCM Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT Semester 1/13 14 Chương 1 Vectơ và trường Lecture[.]
Trang 1 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Chương 1 Vectơ và trường
Lecture-2: Giải tích vectơ (cont)
[1 Be familiar with the different vector operators used in Maxwell’s equations]
3) Các toán tử
Toán tử Gradient (grad)
Toán tử Divergence (div) & ðịnh lý Divergence
Toán tử Rotation (rot) & ðịnh lý Stokes
Toán tử Laplace
Các kết hợp toán tử bằng 0
ðịnh lý duy nhất nghiệm
Trang 2 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Toán tử Gradient (grad)
( , u u u , )
Φ = Φ
P u u u Q u ( 1+ du u1, 2 + du u2, 3+ du3)
Xét vô hướng và hai ñiểm lân cận
ℓ
⇒
Toán tử gradient: (VH VT)
.
d Φ = grad Φ d
ℓ
⇒
Toán tử Gradient (grad)
n
a
d
ℓ
α
0
Φ = Φ Φ = Φ + Φ0 d
.
d aℓ =
ℓ
Ý nghĩa của toán tử gradient:
n
a
4
d
ℓ
3
d
ℓ
2
d
ℓ
1
d
ℓ
0
Φ = Φ
hướng của gradΦ tại P ðộtăng cực ñại của Φ tại Plớn của gradΦ tại P bằng tốc ñộ
n
n
∂Φ
Φ ≡ ∇Φ =
∂
∂Φ
ℓ
n
dn = dna
2
Q
Trang 3 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Toán tử Gradient (grad)
Ví dụ: cho mặt kín trường vô hướng Φ=x2+2y2+z2 Xác ñịnh
vectơ ñơn vị pháp tuyến hướng ra khỏi mặt kín Φ=4 tại
P(1,1,1)
P
P n
P
a
grad
=
Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
ðịnh nghĩa toán tử Divergence:
0
V
AdS
V
∆
∆ →
∆
∫
Ý nghĩa của toán tử Divergence: mật ñộ nguồn
Không có Mð nguồn Có Mð nguồn dương Có Mð nguồn âm
0
div A =
0
div A >
0
div A <
∆ →
∆ →
∆ →
Trang 4 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
Biểu thức tính toán tử Divergence:
( 2 3 1) ( 1 3 2) ( 1 2 3)
ðịnh lý Divergence: trường liên tục trong thể tích V
S AdS = V divAdV
∫ ∫
Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
Ví dụ: tìm thông lượng của trường vectơ trong hệ toạn ñộ
cầu thoát ra khỏi mặt cầu tâm trùng gốc tọa ñộ bán kính
bằng 2m
a) (ñịnh lý Divergence ñúng)
b) (không áp dụng ñược ñịnh lý Divergence)
r
A = r a
2
5
r
r
=
Trang 5 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
ðịnh nghĩa toán tử rotation:
0
S
Max
Ad
S
∆
∆ →
∆
∫ ℓ
ℓ
Ý nghĩa của toán tử rotation: mật ñộ nguồn của trường có
tính chất xoáy
0
rot A =
0;
0;
S 0
S 0
∆ →
Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
Biểu thức tính toán tử rotation:
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
ðịnh lý Stokes: trường phải liên tục trên S
C Ad = Srot AdS
∫ ℓ ∫
Trang 6
Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
Ví dụ: tìm lưu số của trường vectơ trong hệ tọa ñộ trụ trên
ñường tròn bán kinh 2m trong mp z=const, tâm trên trục z và
hướng hợp với +z theo quy tắc cái ñinh ốc thuận
a) (ñịnh lý Stokes ñúng)
b) (không áp dụng ñược ñịnh lý Stokes)
A = r aφ
5
=
Toán tử Laplace
Tác dụng lên vô hướng:
2
div grad
∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ
Tác dụng lên vectơ:
2
A A grad divA rot rot A
Trang 7 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCM
Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14
Các kết hợp toán tử bằng 0
Kết hợp 1:
rot(gradΦ)=0
Kết hợp 2:
div(rot A)=0
Vdiv(rotA)dS = SrotAdS = 0
ðịnh lý duy nhất nghiệm
Trong không gian liên tục một trường vectơ sẽ hoàn toàn
xác ñịnh (duy nhất) có rot và div là xác ñịnh Nếu không
gian không liên tục (biên) thì cần thêm các ràng buộc trên
biên của vectơ trường trong 2 miền với nhau (ñiều kiện
biên)
Ví dụ: Mô hình toán của trường ñiện từ cần
2 phương trình div và rot của trường ñiện + 2 phương
trình div và rot của trường từHệ pt Maxwell trong
không gian liên tục
Các ñiều kiên biên trên mặt phân cách giữa 2 môi trường